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状态-人口单调性
州人口单调性是分配方法的一个属性，分配方法是在联邦州之间分配议会席位的方法。该财产表示，如果一个州的人口增长速度快于其他州，那麽它不应该失去一个席位。不能满足这个性质的分配方法被称为存在人口悖论。
在分配文献中，这个属性被简单地称为总体单调性。然而，术语“种群单调性”更常用于表示资源分配规则的一个非常不同的属性：
在资源分配中，属性与参与划分过程的代理集合有关。人口增加意味着先前存在的代理人有权获得更少的物品，因为有更多的嘴可以餵食。有关详细信息，请参阅总体单调性。
在分配中，财产与单个州的人口有关，这决定了该州的权利。人口增加意味着一个州有权获得更多席位。公平划分中的平行属性称为权重单调性：当代理人的“权重”（-权利）增加时，他的效用不应该减少。
状态人口单调性（PM）有几种变体；有关定义和符号，请参见分配数学。
PM
PM最简单的定义是，如果一个州的人口i增加而其他州的人口保持不变（因此i增加而其他州的权利减少），然后分配i弱增加。这个概念由AgnerKrarupErlang于1907年提出，并由AanundHylland于1978年研究。
这个概念的问题在于，在实践中，各州的人口不会保持不变，它们会同时增加。
强PM
一个更强的PM变体要求，如果状态的权利i增加（即：其人口除以所有人口的总和），然后分配i弱增加。这种变体太强了：只要至少有3个状态，并且席位数不完全等于状态数，则没有部分分配方法（=固定数目的状态和席位的分配方法）是强-PM.证明：通过矛盾假设部分分配M*是强-PM。考虑几种情况：
H=1-只有一个座位。考虑两个权利向量：
所有权利均等于1/n.然后通过对称，米*必须全部归还n某些状态的分配i收到1，其他人收到0。
一些两个州的权利大于1/n.然后由强大的PM双方必须至少获得1个席位，但这是不可能的。
1<H<n-席位比州少。考虑三个权利向量：
任意向量T1>⋯>Tn,其中第一个的权利H-1状态满足1/n<Ti<1/(n-1)，以及国家的权利H小于1/n.将此类向量的分配表示为A1≥⋯≥An.
第一人的权利n-1状态都等于T1+ε，在哪裡ε足够小，使得T1+ε<1/(n-1)，以及国家的权利n小于1/n.然后通过强PM和对称性第一个n-1各州必须至少收到A1任何分配的席位。这至少需要(n-1)A1座位。这是不可能的，如果H<n-1.即使H=n-1,只有当A1=1.这意味着任何有权少于1/(n-1)必须获得最多1个席位，并且任何拥有少于1个席位的州1/n必须获得0个席位。
[为了H=n-1]：状态1的权利是1/(n-1)-ε其他国家的权利是(1-1/(n-1)+ε)/(n-1),小于1/n.那麽，状态1的分配必须是A1=1而其他州为0。但是分配的总和小于席位的数量-一个矛盾。
H>n-通常情况-席位多于州。
在特殊情况下H=n,有强PM规则。
种群对单调性
如果两个州的权利之间的比率一世,j增加，然后状态i州政府不应减少席位j获得更多席位。此属性也称为投票率单调性；有关更多信息，请参见该页面。
选民单调性
选民单调性是一个比pairwise-PM弱的属性。它说，如果党i吸引了更多的选民，而所有其他党派保持相同数量的选民，那麽党i一定不能失去一个席位。选民单调性的失败被称为缺席悖论，因为选民可以通过不投票来帮助他的政党。具有Droop配额的最大馀数方法使选民单调性失败。
弱种群单调性（“一致性”）
弱人口单调性，也称为一致性，是一个静态属性：它表示人口较多的州不应获得较小的分配。形式上，如果Ti>Tj然后Ai≥Aj.
所有已知的分配方法都是一致的。特别是，最高平均方法和最大馀数方法是一致的。
一些除数方法有一个很好的点，其中除数序列从0开始。例如，在Adams分配方法中，当前分配为0的每个代理的商为Ti/0这是无限的。因此，如果物品比代理少，那麽理论上，亚当斯方法允许任意分配对象，甚至将更多物品分配给权利较小的代理，这与一致性相矛盾。在实践中，这种情况很少发生，因为项目的数量通常大于代理的数量。形式上，Adams的方法通常被定义为，只要项目数小于代理数，它就会返回一个空集。
阿罗不可能定理
阿罗不可能定理，一般可能性定理或阿罗悖论是社会选择理论中的一个不可能定理，它指出当选民有三个或更多不同的选择（选项）时，没有排名投票选举系统可以将个人的排名偏好转化为社区-广泛（完整和传递）排名，同时还满足指定的一组标准：不受限制的域、非独裁、帕累托效率和不相关备选方案的独立性.该定理经常在讨论投票理论时被引用，因为它被Gibbard-Satterthwaite定理进一步解释。该定理以经济学家和诺贝尔奖获得者肯尼斯·阿罗（KennethArrow）的名字命名，他在博士论文中证明了该定理，并在其1951年出版的《社会选择与个人价值观》一书中推广了该定理。原论文题目为“社会福利概念中的一个难点”。
简而言之，该定理指出，无法设计出始终满足以下三个“公平”标准的排序选举制度：
如果每个选民都更喜欢备选方案X而不是备选方案Y，那麽该群体更喜欢X而不是Y。
如果每个投票者对X和Y的偏好保持不变，那麽该组对X和Y的偏好也将保持不变（即使投票者对X和Z、Y和Z或Z和W等其他对的偏好发生了变化）。
没有“独裁者”：没有一个单一的选民拥有决定群体偏好的权力。
该定理未涵盖红衣主教投票选举系统，因为它们传达的信息多于等级顺序。然而，吉巴德定理表明，战略投票仍然是一个问题。
阿罗採用的公理化方法可以在一个统一的框架内处理所有可能的规则（基于偏好）。从这个意义上说，这种方法与早期投票理论中的方法有本质的不同，后者的规则是逐一研究的。因此可以说，当代社会选择理论范式就是从这一定理开始的。
该定理的实际后果是有争议的：阿罗说过“大多数係统不会一直运行不佳。我所证明的只是有时所有系统都可能运行不佳。”
陈述
许多学科都需要汇总偏好：在福利经济学中，人们试图找到可接受且稳定的经济结果；在决策理论中，一个人必鬚根据几个标准做出理性选择；最自然的是在选举系统中，这是从众多选民的偏好中提取与治理相关的决定的机制。
阿罗定理的框架假设我们需要在给定的一组选项（结果）上提取偏好顺序。社会中的每个人（或等效地，每个决策标准）都会对一组结果给出特定的偏好顺序。我们正在寻找一种排名投票的选举系统，称为社会福利函数（偏好聚合规则），它转换偏好集（profile偏好）转化为单一的全球社会偏好秩序。阿罗定理说，如果决策机构至少有两个成员和至少三个选项来决定，那麽就不可能设计一个满足所有这些条件的社会福利函数（假设是公平选举的合理要求）系统）一次：
非独裁
社会福利函数应该考虑到多个选民的意愿。它不能简单地模彷单个选民的偏好。
不受限制的领域或普遍性
对于任何一组个人选民偏好，社会福利函数应该产生一个独特而完整的社会选择排名。因此：
它必须以一种导致社会偏好的完整排名的方式这样做。
每次以相同方式呈现选民的偏好时，它必须确定性地提供相同的排名。
无关选择的独立性（IIA）
x和y之间的社会偏好应该只取决于x和y之间的个人偏好（成对独立）。更一般地说，个人对不相关替代品（某个子集之外的替代品）排名的变化应该不会影响该子集的社会排名。例如，如果候选人x在社会上排名在候选人y之前，那麽即使第三个候选人z从参与中移除，x也应该在社会上排名在y之前。（见下面的备註。）
单调性，或社会和个人价值观的正相关
如果任何人通过推广某个选项来修改他或她的偏好顺序，那麽社会偏好顺序应该只通过推广相同的选项或不改变来响应，而不是将其置于比以前更低的位置。个人不应该能够通过将其排名更高来损害选项。
非强製或公民主权
每个可能的社会偏好顺序都应该可以通过一组个人偏好顺序来实现。这意味着社会福利函数是满射的：它有一个不受限制的目标空间。
阿罗定理的后来(1963)版本将单调性和非强制标准替换为：
帕累托效率_
如果每个人都比另一个人更喜欢某个选项，那麽由此产生的社会偏好顺序也必须如此。这再次要求社会福利函数对偏好曲线的敏感性最低。
这个后来的版本更通用，条件更弱。单调性公理、非强制公理和IIA一起暗示帕累托效率，而帕累托效率（本身暗示非强制）和IIA一起并不暗示单调性。
无关选择的独立性（IIA）
IIA条件具有三个目的（或效果）：
规范的
不相关的替代方案应该无关紧要。
实际的
使用最少的信息。
战略
为真实揭示个人偏好提供正确的激励措施。儘管战略财产在概念上与IIA不同，但它是密切相关的。
阿罗的候选人死亡示例（1963年，第26页）表明议程（一组可行的备选方案）从X={a,b,c}缩小到S={a,b}因为候选人c的死亡。这个例子具有误导性，因为它会给读者一种印象，即IIA是一个涉及两个议程和一个概要的条件。事实上，IIA只涉及一个议程（{x,y}在成对独立的情况下），但两个配置文件。如果将条件应用于这个令人困惑的示例，则需要：假设满足IIA的聚合规则在(cab,cba)给出概要时从议程{a,b}中选择b，即个体1更喜欢ca比b，2更喜欢c比b比a。然后，如果配置文件是，它仍然必须从{a,b}中选择b，例如：(abc,bac);(acb,bca);(acb,cba);或(abc,cba)。
换句话说，阿罗将IIA定义为，备选方案x和y之间的社会偏好仅取决于x和y之间的个人偏好（而不取决于涉及其他候选人的偏好）。
定理的正式陈述
设A是一组结果，N是一组选民或决策标准。我们将用L(A)表示A的所有完全线性排序的集合。
一个（严格的）社会福利函数（偏好聚合规则）是一个函数
F：L(A)ñ→L(A)
它将选民的偏好聚合到A上的单个偏好顺序中。
选民偏好的N元组(R1,…,RN)∈L(A)N称为偏好配置文件。阿罗不可能性定理以其最强和最简单的形式表明，只要可能的选择集合A具有超过2个元素，那麽以下三个条件就会变得不相容：
一致或弱帕累托效率
如果对于所有排序R1,...,RN，备选a的排名严格高于b，则a的排名严格高于bF(R1,R2,...,RN)。（一致意味着不强加。）
非独裁
没有个人，我的严格偏好总是佔上风。也就是说，不存在i∈{1,…,N}使得对于所有(R1,…,RN)∈L(A)N以及所有a和b，当a的排名严格高于b时，Ri然后a的排名严格高于bF(R1,R2,...,RN)。
无关选择的独立性
对于两个偏好配置文件(R1,...,RN)和(S1,...,SN)，使得对于所有个人i，备选方案a和b在Ri中的顺序与在Si中的顺序相同，备选方案a和b在F(R1,…,RN)中具有相同的顺序如在F(S1,...,SN)中。
非正式证明
基于经济理论中出现的两个证明。为简单起见，我们将所有排名都视为不可能出现平局。考虑到可能的联繫的完整证明与此处给出的证明没有本质区别，只是在某些情况下应该说“不高于”而不是“低于”或“不低于”而不是“高于”。完整的细节在原始文章中给出。
我们将证明，任何尊重不受限制的领域、一致意见和无关选择（IIA）独立的社会选择系统都是独裁。关键思想是确定一个关键选民，其选票会影响社会结果。然后我们证明这个选民是一个部分独裁者（在特定的技术意义上，如下所述）。最后，我们通过证明所有部分独裁者都是同一个人来得出结论，因此这个选民是独裁者。
第一部分：B比A有一个“关键”选民
假设社会有三种选择，称它们为A、B和C。首先假设每个人都最不喜欢选项B：每个人都喜欢A到B，每个人都喜欢C到B。通过一致同意，社会还必须同时偏好A和C而不是B。将此情况称为配置文件0。
另一方面，如果每个人都偏爱B而不是其他一切，那麽社会将不得不一致地偏爱B而不是其他一切。现在以任意但固定的顺序排列所有选民，并且对于每个i让profilei与profile0相同，但将B移动到选民1到i的选票顶部。因此，配置文件1在选民1的选票顶部有B，但对于其他任何人都没有。配置文件2在投票者1和2的顶部有B，但没有其他人，依此类推。
由于B最终会移动到社会偏好的顶部，因此必须有一些配置文件，数字k，B首先在社会排名中高于A。我们称投票人k的选票变化导致这种情况发生为B而不是A的关键投票人。请注意，B对A的关键选民与A对B的关键选民不是先验的。在证明的第三部分中，我们将证明这些确实是相同的。
另请注意，如果配置文件0是任何配置文件，其中A被每个选民排在B之上，并且B超过A的关键选民仍然是选民k，则IIA也适用相同的论点。我们将在下面使用这个观察。
第二部分：B对A的关键选民是B对C的独裁者
在这部分论证中，为了简单起见，我们将投票者k称为B对A的关键投票者，作为关键投票者。我们将证明关键选民决定了社会对B而不是C的决定。也就是说，我们表明，无论社会其他人如何投票，如果PivotalVoter将B排在C之上，那麽这就是社会结果。再次注意BoverC的独裁者与CoverB的独裁者不同。在证明的第三部分中，我们将看到这些结果也是相同的。
在下文中，我们将选民1到k-1称为第一段，将选民k+1到N称为第二段。首先，假设选票如下：
第一段中的每个选民都将B排在C之上，C排在A之上。
关键选民将A排在B之上，将B排在C之上。
第二部分中的每个选民都将A排在B之上，将B排在C之上。
然后根据第一部分的论点（以及该部分的最后一个观察结果），社会结果必须A高于B。这是因为，除了C的重新定位之外，此配置文件与第一部分中的配置文件k-1相同。此外，通过一致意见，社会结果必须将B排在C之上。因此，我们完全知道这种情况下的结果。
现在假设关键选民将B移到A上方，但将C保持在相同的位置，并想像任何数量（甚至全部！）的其他选民改变他们的选票以将B移到C下方，而不改变A的位置。然后除了重新定位C之外，这与第一部分中的配置文件k相同，因此社会结果将B排在A之上。此外，根据IIA，社会结果必须将A排在C之上，就像在前面的案例中一样。特别是，社会成果将B排在C之上，儘管PivotalVoter可能是唯一将B排在C之上的选民。根据IIA，这个结论独立于A在选票上的位置，因此关键选民是B对C的独裁者。
第三部分：存在一个独裁者
在这部分论证中，我们回顾了选民的原始顺序，并比较了不同关键选民的位置（通过将第一部分和第二部分应用于其他候选人对来确定）。首先，B对C的关键选民必须比B对C的独裁者更早出现（或在同一位置）：当我们考虑适用于B和C的第一部分的论点时，依次将B移到顶部在选民的选票中，社会将B排在C之上的枢轴点必须在我们到达B高于C的独裁者之前或之前出现.同样，颠倒B和C的角色，C对B的关键选民必须在或比B对C的独裁者更晚。简而言之，如果kX/Y表示X对Y的关键选民的位置（对于任何两个候选人X和Y），那麽我们已经证明
kB/C≤kB/A≤kC/B。
现在在B和C切换的情况下重複上面的整个论点，我们也有
kC/B≤kB/C。
因此，我们有
kB/C=kB/A=kC/B
其他对的相同论点表明，所有关键选民（以及所有独裁者）都出现在选民名单中的同一位置。这个选民是整个选举的独裁者。
解释
儘管阿罗定理是一个数学结果，但它通常以非数学方式表达，例如没有一种投票方法是公平的，每种排名投票方法都有缺陷，或者唯一没有缺陷的投票方法是独裁。这些陈述是对阿罗结果的简化，并非普遍认为是正确的。阿罗定理确实表明，确定性优先投票机制——即偏好顺序是投票中的唯一信息，并且任何可能的投票集合都会给出唯一的结果——不能同时满足上面给出的所有条件.
各种理论家都建议削弱IIA标准作为摆脱悖论的一种方式。排名投票方法的支持者认为IIA是一个不合理的强标准。它是最有用的选举制度中被破坏的一种。这一立场的拥护者指出，标准IIA标准的失败是由周期性偏好的可能性所暗示的。如果选民按以下方式投票：
A>B>C1票
1票给B>C>A
1票投给C>A>B
那麽该组的成对多数偏好是A胜过B，B胜过C，C胜过A：对于任何成对比较，这些都会产生石头剪刀布偏好。在这种情况下，如果要求社会偏好是可传递的（或非循环的），则任何满足基本多数主义要求（即获得多数票的候选人必须赢得选举）的聚合规则都将不符合IIA标准。要看到这一点，假设这样的规则满足IIA。由于尊重多数偏好，社会偏好A胜于B（两票投A>B，一票投B>A），B投C，C投A。因此产生了一个循环，这与社会偏好是及物的。
所以，阿罗定理真正表明的是，任何多数获胜的选举制度都是一场非平凡的博弈，应该使用博弈论来预测大多数投票机制的结果。这可以被视为一个令人沮丧的结果，因为博弈不需要有有效的均衡；例如，投票可能会产生一个最初没有人真正想要的替代方案，但每个人都投了贊成票。
备註：来自属性向量和IIA属性的标量排名
在现实複杂性的人类决策中可能无法满足IIA属性，因为标量偏好排名有效地源自属性向量的加权（通常不是显式的）（一本处理阿罗定理的书邀请读者考虑为田径十项全能创建标量测量的相关问题事件——例如，如何使铁饼项目中的600分与1500米比赛中的600分“相称”），并且这种标量排名可以敏感地取决于不同属性的权重，而默认权重本身会受到上下文的影响以及由明显“不相关”的选择所产生的对比。EdwardMacNeal在他的着作MathSemantics：让数字说话有意义（1994）的“调查”一章中讨论了与“最宜居城市”排名有关的敏感性问题。
基于偏好配置文件功能的替代方案
为了摆脱阿罗定理的否定结论，社会选择理论家研究了各种可能性（“出路”）。本节包括处理
聚合规则（将每个偏好配置文件映射到社会偏好的函数），以及
其他功能，例如将每个偏好配置文件映射到备选方案的功能。
由于这两种方法经常重叠，我们同时讨论它们。这些方法的特点是它们通过消除、削弱或替换阿罗强加的一个或多个条件（标准）来研究各种可能性。
无数个人
一些理论家（例如，Fishburn和Kirman和Sondermann）指出，当人们放弃只有有限多个个体的假设时，可以找到满足Arrow的所有其他条件的聚合规则。
然而，这种聚合规则实际上是有限的，因为它们基于超滤器，高度非构造性的数学对象。特别是，Kirman和Sondermann认为，这样的规则背后有一个“隐形独裁者”。Mihara表明这样的规则违反了算法的可计算性。这些结果可以看出阿罗定理的稳健性。
另一方面，超滤器（实际上，在无限模型中构建它们依赖于选择公理）也是有限模型中固有的（不需要选择公理）。它们可以被解释为决定性的层次结构，唯一的区别是层次结构的顶层——阿罗的独裁者——总是存在于有限的模型中，但在无限的层次结构中可能无法实现（=缺失）。在后一种情况下，“隐形独裁者”只不过是无限的决定性等级制度本身。如果需要，它可以补充一个限制点，然后成为一个“可见的独裁者”。由于独裁者与决定性的等级制度密不可分，独裁禁令自动禁止决定性等级制度，另见“放宽独裁禁令”。
限製备选方案的数量
当只有两个备选方案可供选择时，梅定理表明，只有简单多数规则满足一组特定标准（例如，平等对待个人和备选方案；增加对获胜备选方案的支持不应使其成为失败的备选方案）.另一方面，当存在至少三个备选方案时，阿罗定理指出了集体决策的困难。为什麽少于三个备选方案的情况与至少三个备选方案的情况之间存在如此明显的差异？
中村定理（关于简单游戏的核心）给出了更普遍的答案。它确定如果备选方案的数量小于某个称为Nakamura数的整数，那麽有问题的规则将毫无问题地识别“最佳”替代方案；如果备选方案的数量大于或等于Nakamura数，则该规则并不总是有效，因为对于某些配置文件存在投票悖论（诸如备选方案A在社会上偏好于备选方案B、B到C和C到A)会出现。由于中村多数规则的数量是3（除了四个人的情况），可以从中村定理得出结论，多数规则可以理性地处理多达两种选择。一些超多数规则（例如需要2/3票数的规则）的Nakamura数可以大于3，但此类规则违反了Arrow给出的其他条件。
配对投票
“绕过”阿罗悖论的一种常见方法是将备选集限制为两个备选方案。因此，每当需要对两个以上的备选方案进行测试时，使用一种将它们配对并逐对投票的机制似乎非常诱人。儘管这种机制乍一看很诱人，但它通常还远远不能满足帕累托效率，更不用说IIA了。决定配对的特定顺序对结果有很大影响。这不一定是该机制的坏特性。许多运动使用锦标赛机制——本质上是一种配对机制——来选择获胜者。这为较弱的球队提供了相当大的获胜机会，从而在整个比赛中增加了兴趣和紧张感。这意味着控制选择配对顺序的人（议程製定者）对结果有很大的控制权。无论如何，当将整个投票过程视为一场游戏时，阿罗定理仍然适用。
域限制
另一种方法是放宽普遍性条件，这意味着限制聚合规则的范围。沿着这条线最着名的结果是假设“单峰”偏好。
邓肯布莱克已经证明，如果每个人只有一个维度有“单峰”偏好，那麽阿罗的所有条件都符合多数规则。假设备选集存在某种预定的线性排序。个人偏好是单峰的关于这个排序，如果他在这条线上有一个他最喜欢的特殊位置，并且随着备选方案离该位置越来越远，他对备选方案的厌恶会变得更大（即，他的效用函数图有一个峰值，如果根据水平轴上的线性顺序放置替代品）。例如，如果选民投票决定在哪裡设置音乐的音量，那麽可以合理地假设每个选民都有自己理想的音量偏好，并且随着音量逐渐变得太大或太安静，他们会越来越不满意。如果域被限制在其中每个人对线性排序有一个单一的峰值偏好的配置文件，那麽简单的聚合规则，包括多数规则，具有非循环（定义如下）社会偏好，因此是“最佳”选择。特别是，当有奇数个个体时，社会偏好变得可传递，社会上“最佳”的选择等于个体所有峰值的中值（布莱克的中值选民定理）。在单峰偏好下，多数规则在某些方面是最自然的投票机制。
人们可以在高维备选方案集上定义“单峰”偏好的概念。但是，只有在特殊情况下才能确定峰值的“中值”。相反，我们通常会遇到McKelvey混沌定理所建议的破坏性情况：对于任何x和y，可以找到一系列替代方案，使得x被多数击败x1，x1被x2击败，直到xk由y。
放松的传递性
通过放宽社会偏好的传递性，我们可以找到满足阿罗其他条件的聚合规则。然而，如果我们对这些规则施加中立性（对替代方案的平等对待），那麽存在一个拥有“否决权”的个人。所以这种方法提供的可能性也非常有限。
首先，假设一个社会偏好是准传递的（而不是传递的）；这意味着严格的偏好≻("betterthan")是及物的：如果X≻y和y≻z，然后X≻z.那麽，确实存在满足阿罗条件的非独裁聚合规则，但这种规则是寡头的。这意味着存在一个联盟L使得L是决定性的（如果L中的每个成员都更喜欢x而不是y，那麽社会更喜欢x而不是y），并且L中的每个成员都有否决权（如果她更喜欢xy，那麽社会不能偏爱y而不是x)。
其次，假设社会偏好是非循环的（而不是传递的）：不存在替代品X1,…,Xķ形成一个循环（X1≻X2,X2≻X3,…,Xķ-1≻Xķ,Xķ≻X1）。那麽，只要有至少与个体一样多的备选方案，满足阿罗其他条件的聚合规则就是合议的。这意味着有些人属于所有决定性联盟的交集（“学院”）。如果有人拥有否决权，那麽他就属于学院。如果该规则被认为是中立的，那麽它确实有人拥有否决权。
最后，布朗定理留下了非循环社会偏好的情况，其中选择的数量少于个人的数量。使用中村数可以对这种情况给出明确的答案。请参阅限製备选方案的数量。
放宽假设IIA
除了IIA之外，还有许多满足Arrow条件的聚合规则示例。博尔达规则就是其中之一。然而，这些规则很容易受到个人的战略操纵。
另见上述定理的解释。
放宽帕累托标准
Wilson(1972)表明，如果聚合规则是非强加的且非空的，那麽只要同时满足除帕累託以外的阿罗条件，则存在独裁者或逆独裁者。在这裡，逆独裁者是个人i，只要i更喜欢x而不是y，那麽社会就会更喜欢y而不是x。
AmartyaSen提供了传递性的放松和帕累托原则的去除。他展示了另一个有趣的不可能性结果，被称为“帕累托自由主义者的不可能性”（详见自由主义悖论）。森继续争辩说，这表明要求与投票机制相关的帕累托最优是徒劳的。
放宽独裁禁令
AndranikTangian(2010)引入了独裁者“代表性”的衡量标准，例如，“人气指数”定义为社会群体的平均规模，其成对偏好由独裁者共享（=代表），对所有备选方案和所有偏好配置文件。结果表明，总是存在“好”阿罗的独裁者，他们平均代表多数。由于他们是社会的代表——就像民选总统一样——没有不言而喻的理由禁止他们。将独裁者的概念仅限于“坏”的人，即那些平均代表少数人的人，阿罗的公理被证明是一致的。
社会选择而不是社会偏好
在社会决策中，对所有备选方案进行排名通常不是目标。找到一些替代方案通常就足够了。专注于选择替代方案的方法研究了社会选择功能（将每个偏好配置文件映射到替代方案的功能）或社会选择规则（将每个偏好配置文件映射到替代方案子集的功能）。
至于社会选择函数，Gibbard-Satterthwaite定理是众所周知的，它指出，如果一个社会选择函数的范围包含至少三个备选方案是策略证明的，那麽它就是独裁的。
至于社会选择规则，我们应该假设它们背后存在社会偏好。也就是说，我们应该将规则视为选择某些社会偏好的最大元素（“最佳”选择）。社会偏好的最大元素集合称为核心。已经用两种方法研究了核心中存在替代物的条件。第一种方法假设偏好至少是非循环的（这对于偏好在任何有限子集上具有最大元素是必要且充分的）。因此，它与放宽及物性密切相关。第二种方法放弃了非循环偏好的假设。熊部和三原採用这种方法。他们更直接地假设个人偏好具有最大要素，并检查社会偏好具有最大要素的条件。有关这两种方法的详细信息，请参见Nakamura编号。
其他选择
阿罗最初拒绝将基数效用作为表达社会福利的有意义的工具，因此将他的定理集中在偏好排名上，但后来表示具有三或四类的基数评分系统“可能是最好的”。
阿罗的框架假设个人和社会偏好是对一组备选方案的“排序”（即满足完整性和传递性）。这意味着如果偏好由效用函数表示，它的值是一个序数效用，因为它是有意义的，因为更大的值表示更好的选择。例如，对于备选方案a、b、c、d分别具有4、3、2、1的序数效用与具有1000、100.01、100、0相同，而后者又与具有99、98相同,1,.997。它们都代表了a优于b到c到d的顺序。序数偏好假设，排除了人际比较效用，是阿罗定理的一个组成部分。
由于各种原因，基于基数效用的方法，其中效用的意义不仅仅是给出备选方案的排名，在当代经济学中并不常见。然而，一旦採用这种方法，就可以考虑偏好的强度，或者可以比较不同个体的(i)效用的收益和损失或(ii)效用的水平。特别是，Harsanyi(1955)给出了功利主义的理由（根据个人效用的总和来评估替代方案），起源于JeremyBentham。Hammond(1976)给出了最大化原则的证明（根据最差个人的效用评估替代方案），源自JohnRawls。
并非所有投票方法都仅使用所有候选人的排序作为输入。通常被称为“评级”或“基数”（与“排名”、“序数”或“优先”相反）选举系统的方法可以被视为使用只有基数效用才能传达的信息.在这种情况下，如果其中一些满足重新制定的所有Arrow条件，这并不奇怪。范围投票就是这样一种方法。这种说法是否正确取决于如何重新表述每个条件。通过Arrow的某些概括的其他额定选举制度.请注意，阿罗定理不适用于诸如此类的单一获胜者方法，但吉巴德定理仍然适用：没有无缺陷的选举系统是完全无策略的，因此“没有完美的选举系统”的非正式格言仍然具有数学意义基础。
最后，虽然不是调查某种规则的方法，但JamesM.Buchanan、CharlesPlott和其他人提出了批评。它认为认为可能存在类似于个人偏好的社会偏好是愚蠢的。Arrow(1963,Chapter8)回答了早期看到的这种批评，这些批评至少部分来自误解。
布里丹的驴
布里丹的驴是自由意志概念中哲学悖论的例证。它指的是一种假设情况，其中一头同样飢饿和口渴的驴（驴）正好放在一堆乾草和一桶水之间。由于悖论假设驴总是会去靠近哪个更近的地方，它会死于飢饿和口渴，因为它无法在乾草和水之间做出任何理性的决定。悖论的一个常见变体是用两堆相同的干草代替乾草和水；驴子无法在两者之间做出选择，饿死了。
这个悖论以14世纪法国哲学家让·布里丹（JeanBuridan）的名字命名，它讽刺了他的道德决定论哲学。虽然这幅插图是以布里丹命名的，但哲学家们已经在他面前讨论过这个概念，尤其是亚里士多德，他提出了一个同样飢饿和口渴的人的例子，和Al-Ghazali，他使用了一个面临同样选择的人的例子好日子。
这种情况的一个版本表现为数字电子学中的亚稳态，当电路必鬚根据本身未定义的输入（既不是零也不是一）在两种状态之间做出决定时。如果电路在这种“未决定”状态下花费的时间超过了它应该花费的时间，亚稳态就会成为一个问题，这种状态通常由系统使用的时钟速度决定。
历史
这个悖论早于布里丹；它可以追溯到古代，在亚里士多德的《论天堂》中被发现。亚里士多德在嘲笑诡辩派的观点时，即地球是静止的，仅仅是因为它是球形的，并且在它上面的任何力在所有方向上都必须相等，他说这就像说
......一个人，像口渴一样饿，处于食物和饮料之间，必须留在原地并饿死。
——亚里士多德，在天堂295b，c。公元前350年
然而，希腊人只是在物理力平衡的背景下将这个悖论用作类比。12世纪的波斯学者和哲学家Al-Ghazali讨论了这一悖论在人类决策中的应用，询问是否可以在没有偏好的情况下在同样好的课程之间做出选择。他认为自由意志可以打破僵局。
假设在一个男人面前有两个相似的日期，他对他们有强烈的渴望，但又无法同时接受。他肯定会通过他身上的一种品质来选择其中之一，这种品质的本质是区分两种相似的事物。
—AbuHamidal-Ghazali，《哲学家的不一致》，c。1100
摩尔哲学家Averroes(1126–1198)在评论Ghazali时持相反的观点。儘管布里丹在任何地方都没有讨论过这个具体问题，但其相关性在于他确实提倡一种道德决定论，即除了无知或障碍之外，面对替代行动方案的人必须始终选择更大的利益。面对同样好的选择，布里丹认为不可能做出理性的选择。
如果两个过程被判断为相等，那麽意志就无法打破僵局，它所能做的就是暂停判断，直到情况发生变化，正确的行动方向明确为止。
—让·布里丹，c。1340
后来的作家用驴子来讽刺这种观点，驴子麵对食物和水，在思考决定时必然会死于飢饿和口渴。
讨论
一些硬决定论的支持者承认这种情况令人不快，但否认它说明了一个真正的悖论，因为有人暗示一个人可能会死于两条同样合理的行动路线之间并不矛盾。例如，本尼迪克特·德·斯宾诺莎(BenedictdeSpinoza)在他的《伦理学》(Ethics)中提出，一个认为两个选项确实同样令人信服的人不可能是完全理性的：
[我]可能会反对，如果人不是出于自由意志而行动，那麽如果行动的动机是平等的，会发生什麽，就像布里丹的驴一样？[作为回答，]我很愿意承认，一个人处于所描述的平衡状态（即，除了飢饿和口渴，某种食物和某种饮料，与他的距离相等）将死于飢饿和口渴。如果有人问我，这样的人是否应该被认为是驴子而不是男人？我回答说，我不知道，我也不知道应该如何看待一个人，谁会上吊，或者我们应该如何看待孩子、傻瓜、疯子等等。
—巴鲁克·斯宾诺莎（BaruchSpinoza），伦理学，第2册，命题49，scholium
其他作家选择否认插图的有效性。一个典型的反驳论点是，悖论中描述的理性是如此有限，以至于成为真实事物的稻草人版本，这确实允许考虑元论点。换句话说，完全理性地认识到两种选择都同样好，并且任意（随机）选择一个而不是挨饿；儘管它们足够相同的决定也受制于布里丹的屁股。可以做出随机决定的想法有时被用作为信仰辩护的尝试或直觉性（亚里士多德称为noetic或noesis）。论点是，就像飢饿的驴一样，我们必须做出选择，以免陷入无休止的怀疑之中。存在其他反驳论点。
根据EdwardLauzinger的说法，Buridan的屁股没有考虑到人类在做决定时总是带来的潜在偏见。
社会心理学家KurtLewin的场论通过实验处理了这个悖论。他证明了实验室老鼠在两个同样有吸引力的（接近-接近）目标之间进行选择时会遇到困难。对接近-接近决定的典型反应是最初的矛盾心理，儘管随着有机体朝着一种选择而远离另一种选择，该决定变得更具决定性。
布里丹原理
美国计算机科学家LeslieLamport在1984年的一篇论文中为Buridan的屁股的情况提供了数学基础，在该论文中，Lamport提出了一个论点，即在Buridan的屁股问题的简单数学模型中，给定关于连续性的某些假设，总有一些开始无论採取何种策略，驴子都会饿死的情况。他以一名司机停在铁路道口的例子进一步说明了这个悖论试图在火车到达之前决定他是否有时间过马路。他证明，无论司机採取多麽“安全”的政策，因为优柔寡断会导致行动无限期延迟，一小部分司机会被火车撞到。
兰波特将此结果称为“布里丹原理”：
基于具有连续值范围的输入的离散决策不能在有限的时间长度内做出。
他指出，仅仅因为我们没有看到驴子或人因优柔寡断而饿死，或者布里丹在现实生活中未定状态的其他例子，并不能反驳这一原则。Buridan的未定状态持续一段可感知的时间长度可能只是不太可能，以至于它没有被观察到。
应用于数字逻辑：亚稳态
主条目：电子学中的亚稳态
Buridan原理的一个版本出现在电气工程中。具体来说，数字逻辑门的输入必须将连续电压值转换为0或1，通常对其进行採样然后进行处理。如果输入发生变化并且在採样时处于中间值，则输入级的作用类似于比较器。然后可以将电压值比作驴的位置，值0和1代表乾草捆。在飢饿驴的情况下，存在转换器无法做出正确决定的输入，并且输出在亚稳态中保持平衡两个稳定状态之间的状态持续不确定的时间长度，直到电路中的随机噪声使其收敛到稳定状态之一。
在异步电路中，仲裁器用于做出决定。他们保证在任何给定时间点最多选择一个结果，但可能需要一个不确定的（儘管通常非常短）时间来选择。
亚稳态问题是数字电路设计中的一个重要问题，并且在异步输入（与时钟信号不同步的数字信号）出现的任何地方都可能出现亚稳态。问题可控的最终原因是亚稳态持续时间超过给定时间间隔t的概率是t的指数下降函数。在电子设备中，这种“未决定”状态持续时间超过几纳秒的概率虽然总是可能的，但可以忽略不计。
在流行文化中
1848年民主党总统候选人刘易斯·卡斯（LewisCass）与亚伯拉罕·林肯（AbrahamLincoln）的布里丹屁股形成鲜明对比：“议长先生，我们都听说过这种动物站在两堆乾草之间犹豫不决，饿死。像这样的人永远不会卡斯将军碰巧，把一堆堆隔开一千里，他会在它们中间站着不动，同时吃掉它们，而沿线的青草也容易同时受到一些伤害。”（这是指卡斯在内战前夕对“人民主权”的支持。）
布里丹的驴子，1932年的法国喜剧电影，就是以这个悖论命名的。
“布里丹的屁股”是FX电视连续剧Fargo第一季第六集的名称。
在神秘博士小说八位博士中，第五位和第八位博士面对的是一个拉斯顿战士机器人。当机器人接近他们时，医生们与机器人的距离完全相同；无法决定先攻击哪个（因为机器人通过感知大脑模式进行攻击，这在两个医生中是相同的），机器人关闭了。
Devo的一首歌的歌词，来自他们专辑FreedomofChoice的主打歌，描述了类似的情况：“在古罗马，有一首诗/关于一隻找到两根骨头的狗”，他无法在两者之间做出选择，“一直转圈，直到他死了。”
在《生活大爆炸》第10季中，谢尔顿和艾米讨论了布里丹的驴（改名为驴）的历史，以及它在他们生活中的应用。艾米通过让谢尔顿参与对该理论及其历史的讨论，创造了一个更理想的选择，从而解决了这个悖论（谢尔顿希望住在不同的公寓裡）。
男孩遇见世界
在坚不可摧的KimmySchmidt（Kimmy的室友Lemonades）第3季的第2集中，Kimmy从Perry那裡了解到Buridan的屁股，Perry可能是他的爱情对象，也是RobertMosesCollegeforEveryone未来学生的导游。
在《巫师3：狂猎》中，可以在佈告栏上找到一个卖驴肉的农民的便条，该农民因无法在两堆不同的食物之间做出选择而饿死。
波兰19世纪诗人亚历山大·弗雷德罗(AleksanderFredro)讲述了一个驴子的故事，该驴子因无法在燕麦和乾草之间做出选择而饿死，在两个食槽中供应。
在Route66节目的“Peace,Pity,Pardon”一集中，林肯凯斯告诉他的好友ToddStiles，他不确定他是否想要从军队获得退伍文件，或者是否想在休假后重新入伍。斯蒂尔斯随后讲述了布里丹驴的故事，但错误地将这一理论归因于一位希腊哲学家。在告诉凯斯关于布里丹的屁股后，他说“优柔寡断比好奇心杀死了更多的猫”。
连锁店悖论
连锁店悖论是涉及连锁店博弈的明显博弈论悖论，其中“威慑策略”似乎是最优的，而不是标准博弈论推理的反向归纳策略。
连锁店游戏
垄断者（玩家A）在20个城镇设有分支机构。他面对20个潜在的竞争对手，每个城镇一个，他们可以选择出来。他们按顺序进行，一次一个。如果潜在的竞争对手选择out，他得到1的回报，而A得到5的回报。如果他选择在中，他将获得2或0的回报，这取决于玩家A对他的行动的反应。玩家A，响应选择在，必须选择两种定价策略之一，合作或咄咄逼人。如果他选择合作，玩家A和竞争者都获得2的收益，如果A选择激进的，每个玩家获得0的收益。
这些结果导致了两种博弈理论，归纳（博弈理论的最优版本）和威慑理论（弱支配理论）：
归纳理论
考虑由第20位也是最后一位参赛者做出的决定，是否选择在或出来。他知道，如果他选择在中，玩家A从选择合作中获得的收益高于激进，并且作为游戏的最后阶段，玩家A不再需要从市场上恐吓任何未来的竞争对手。知道这一点后，第20个竞争者进入市场，玩家A将合作（收到2而不是0的回报）。
可以说，最后阶段的结果是一成不变的。现在考虑第19期和潜在竞争对手的决定。他知道A将在下一阶段合作，无论第19阶段发生什麽。因此，如果玩家19进入，激进策略将无法阻止玩家20进入。玩家19知道这一点并选择在.玩家A选择合作。
当然，这种反向归纳的过程一直追溯到第一个竞争对手。每个潜在的竞争对手选择在中，玩家A总是合作。A获得40(2×20)的收益，每个竞争者获得2。
威慑理论
该理论表明玩家A将能够获得高于40的收益。假设玩家A发现归纳论证令人信服。他将决定在最后多少个阶段执行这样的策略，例如3。在第1-17阶段，他将决定始终积极反对IN的选择。如果所有潜在竞争者都知道这一点，潜在竞争者1-17不太可能打扰连锁店，从而冒着安全支付1的风险（“A”如果选择“不会报復”out")。如果有几个人在游戏初期确实测试了连锁店，并且看到他们受到了激进策略的欢迎，那麽其馀的竞争对手可能不会再测试了。假设所有17人都被吓倒，玩家A收到91(17×5+2×3).即使多达10名参赛者进入并测试玩家A的意志，玩家A仍将获得41(10×0+7×5+3×2)的收益，即比归纳（游戏理论上正确）的回报更好。
连锁店悖论
如果玩家A遵循博弈论收益矩阵来获得最优收益，那麽他们的收益将低于使用“威慑”策略的收益。这造成了一个明显的博弈论悖论：博弈论指出归纳策略应该是最优的，但看起来“威慑策略”反而是最优的。
“威慑策略”不是子博弈的完美均衡：它依赖于响应的不可信威胁在与咄咄逼人。一个理性的玩家不会进行不可信的威胁，但矛盾的是，执行威胁似乎对玩家A有利。
塞尔滕的回应
ReinhardSelten对这个明显的悖论的回应是认为“威慑”的想法虽然按照博弈论的标准是不合理的，但实际上是个人实际採用的合理性可以接受的想法。Selten认为，个人可以做出三个层次的决定：常规、想像和推理。
资料齐全？
博弈论基于这样一种思想，即每个矩阵都是在假设完整信息的情况下建模的：“每个玩家都知道其他玩家可用的收益和策略”，其中“收益”一词描述了行为——玩家正在尝试什麽最大化。如果在第一个城镇，竞争者进入并且垄断者俱有侵略性，那麽第二个竞争者观察到，从收益和策略的常识的角度来看，垄断者没有最大化假设的收益；期望垄断者在这个城镇这样做似乎是可疑的。
如果竞争者对垄断者怀有恶意的可能性给出了很小的概率，并将内在价值置于（或表现出）侵略性上，并且垄断者知道这一点，那麽即使垄断者有上述收益，也会对进入市场做出反应一个具有侵略性的早期城镇将是最优的，如果它增加了后来的竞争者对垄断者怀有恶意的可能性。
Selten的决策水平
日常水平
个人利用他们过去对决策结果的经验来指导他们对当前选择的反应。“决策情况之间相似性的基本标准是粗略的，有时是不充分的”。（塞尔腾）
想像水平
个人试图想像不同选择的选择如何影响未来事件的可能进程。该级别採用程序决策中的常规级别。这种方法类似于计算机模拟。
推理水平
个人有意识地努力以理性的方式分析情况，使用过去的经验和逻辑思维。这种决策模式使用简化模型，其假设是想像的产物，是博弈论允许和预期的唯一推理方法。
做决定的过程
预先决定
人们选择使用哪种方法（常规、想像或推理）来解决问题，而这个决定本身是在常规层面上做出的。
最终决定
根据选择的级别，个人开始决策程序。然后，个人针对每个可用级别做出（可能不同的）决定（如果我们选择了想像力，我们将做出常规决定和可能的和想像的决定）。Selten认为，个人总是可以做出常规决定，但也许不是更高的水平。一旦个人做出了所有级别的决定，他们就可以决定使用哪个答案……最终决定。最终决定是在常规层面做出的，并支配实际行为。