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阿比林悖论
在阿比林悖论中，一群人集体决定採取与群体中许多或所有个人的偏好相反的行动方案。它涉及群体沟通的常见故障，其中每个成员错误地认为他们自己的偏好与群体的相反，因此不会提出反对意见，甚至表示支持他们不想要的结果。与阿比林悖论有关的一个常用短语是不希望“摇摆不定”。这与群体思维的不同之处在于，阿比林悖论的特点是无法管理协议。
解释
该术语由管理专家JerryB.Harvey在其1974年的文章“阿比林悖论：协议管理”中引入。现象的名称来自哈维在文章中用来阐明悖论的轶事：
在德克萨斯州科尔曼一个炎热的下午，一家人在门廊上舒舒服服地玩多米诺骨牌，直到岳父建议他们去阿比林(Abilene)去[50英里(80公里)]吃晚饭。妻子说：“听起来是个好主意。”丈夫虽然因开车时间长而热而有所保留，但认为他的喜好一定与团队格格不入，并说：“听起来不错，我只是希望你妈妈想去。”婆婆说：“我当然想去，好久没去阿比林了。”
驱动器很热、多尘且很长。当他们到达自助餐厅时，食物和开车一样糟糕。四个小时后，他们筋疲力尽地回到家中。
其中一个不诚实地说，“这是一次很棒的旅行，不是吗？”婆婆说，其实，她宁愿呆在家裡，但因为其他三个人那麽热情，她还是去了。丈夫说：“我不高兴做我们正在做的事情。我只是为了满足你们其他人。”妻子说：“我只是为了让你开心。如果我想在那样炎热的天气裡出去，我一定是疯了。”岳父接着说，他只是建议，因为他认为其他人可能会感到无聊。
这群人坐了下来，对他们一起决定去一次他们都不想要的旅行感到困惑。他们每个人都希望能舒服地坐着，但当他们还有时间享受下午的时候，却没有承认这一点。
阿比林悖论类似于群体思维。然而，群体思维个体的行为并没有违背他们有意识的意愿，并且通常对群体决策感觉良好。与群体思维理论一样，阿比林悖论理论用于说明群体不仅在管理分歧方面存在问题，而且在运作不佳的群体中，协议也可能是一个问题。
研究
这种现像是由社会从众和社会影响的社会心理学理论解释的，这表明人类通常非常厌恶与群体趋势相反的行为。根据哈维的说法，当个人经历“行动焦虑”时，这种现象可能会发生——如果他们不同意，团队可能会对他们表达消极态度。这种行动焦虑源于哈维所说的“消极幻想”——如果个人对自己的观点诚实，群体可能会说或做的不愉快的想像——当存在不愉快和不同意的负面后果的“真正风险”时。个人可能会经历“分离焦虑”，害怕被群体排斥。
理论应用
该理论经常被用来帮助解释极其糟糕的群体决策，尤其是“委员会统治”优越性的概念。例如，哈维将水门事件作为阿比林悖论的一个潜在实例。水门事件丑闻发生在1970年代的美国，当时尼克松政府的许多高级官员串通起来掩盖真相，并可能在华盛顿特区的民主党全国委员会总部执行闯入事件。人们被指控掩盖事实，表明他们对这个决定有个人疑虑，但害怕表达出来。在一个例子中，竞选助手赫伯特·波特说他“不是一个在会议上站起来说应该停止这种情况的人”，他将这一决定归因于“害怕随之而来的集体压力，害怕不成为团队合作者”。
分配悖论
当政治体系中的分配规则产生出乎意料或似乎违反常识的结果时，就会出现分配悖论。
分摊是根据某种规则分成几部分，该规则通常是比例之一。某些数量，例如牛奶，可以按任何比例分配；其他的，比如马，不能——只有整数可以。在后一种情况下，在尽可能接近地遵守比例规则的愿望与将每个部分的大小限制为离散值的约束之间存在着内在的张力。这有时会导致不直观的观察或悖论。
已经确定了与分配相关的几个悖论，也称为公平划分。在某些情况下，如果允许，对分配方法进行简单的事后调整可以解决观察到的悖论。然而，正如与美国众议院相关的例子所表明的那样，随后被巴林斯基-杨定理证明，仅靠数学并不总是能够为将剩馀分数分配为离散的相等整数部分提供单一、公平的解决方案，而完全遵守所有相互竞争的公平要素。
历史
在1880年美国国会分配的背景下发现了被称为“阿拉巴马悖论”的分配悖论的一个例子，，当时人口普查计算发现，如果众议院的席位总数为假设增加，这将使阿拉巴马州的席位从8个减少到7个。在1900年观察到实际影响，当时弗吉尼亚州失去了一个席位给缅因州，儘管弗吉尼亚州的人口增长更快：这是人口悖论的一个例子。1907年，当俄克拉荷马州成为一个州时，纽约失去了一个席位给缅因州，因此得名“新州悖论”。
这一时期使用的分摊方法，最初由亚历山大·汉密尔顿提出，但被乔治·华盛顿否决，直到1852年才被採用，如下：
首先，计算每个州的公平份额，即如果允许分数值，每个州将获得的席位比例份额。
其次，每个州获得的席位与其公平份额的整数部分一样多。
第三，根据美国宪法的规定，任何公平份额少于一个的州，无论人口多少，都会获得一个席位。
第四，任何剩馀席位分配给公平份额最高的州，每个州一个。
Hamilton方法取代了ThomasJefferson提出的捨入方法，并且本身在1941年被Huntington-Hill方法所取代。在某些条件下，Huntington-Hill方法也可以给出矛盾的结果。
悖论的例子
阿拉巴马悖论
阿拉巴马悖论是第一个被发现的分配悖论。宪法要求美国众议院根据人口数量分配席位，这需要每10年一次。议院的大小由法令规定。
1880年人口普查后，美国人口普查局的首席文员CWSeaton计算了275到350之间所有房屋大小的分配，并发现阿拉巴马州将获得8个席位，房屋大小为299，但只有7个席位，房屋大小为300.一般来说，阿拉巴马悖论一词是指增加项目总数会减少其中一个份额的任何分配方案。人口普查局在1900年人口普查后进行的类似活动为350和400之间的所有议院规模计算的分配：科罗拉多州在所有情况下都将获得三个席位，除了议院规模为357的情况下，它将获得两个席位。
下面是一个简化的例子（遵循最大馀数法），三个状态，10个席位和11个席位。
有10个座位有11个座位
状态人口公平的分享座位公平的分享座位
一个64.28644.7145
乙64.28644.7145
C21.42921.5711
观察到随着席位的增加，州C的份额从2减少到1。
发生这种情况是因为增加席位数量增加了大州的公平份额比小州更快。特别是大A和B的公平份额比小C增长得快。因此，A和B的小数部分比C的小数部分增长得快。实际上，它们超过了C的分数，导致C失去了席位，因为汉密尔顿方法检查哪些州的剩馀分数最大。
阿拉巴马悖论产生了被称为房屋单调性的公理，它说，当房屋面积增加时，所有州的分配都应该微弱地增加。
人口悖论
另见：状态-人口单调性
人口悖论是一些分配程序的违反直觉的结果。当两个州的人口增长速度不同时，一个快速增长的小州可能会失去一个增长较慢的大州的立法席位。
一些早期的国会分配方法，例如汉密尔顿，可能会表现出人口悖论。1900年，弗吉尼亚失去了一个席位给缅因州，儘管弗吉尼亚的人口增长得更快。但是，除数方法（例如当前方法）没有。
新州悖论
鑑于总代表人数固定（由美国众议院决定），增加一个新州理论上会减少现有州的代表人数，因为根据美国宪法，每个州都有权拥有至少一名代表不管它的人口。此外，即使众议院的议员人数增加了新州的议员人数，由于特定的分配规则如何处理四捨五入方法，先前存在的州也可能失去席位。1907年，当俄克拉荷马成为一个州后，它获得了公平的席位份额，并且席位总数增加了该数量。众议院成员从386人增加到391人。由于其他州，重新计算分配影响了席位数量：纽约失去了一个席位，而缅因州获得了一个席位。
阿拉巴马悖论引发了被称为连贯性的公理，它表示，每当在州的子集上激活分配规则时，分配给它们的席位子集，结果应该与大解决方案中的相同。
巴林斯基-杨定理
1983年，两位数学家MichelBalinski和PeytonYoung证明，只要有四个或更多政党（或州、地区等），任何不违反配额规则的分配方法都会导致悖论。更准确地说，他们的定理指出，对于4个以上的状态，不存在具有以下属性的分配系统：233-234（作为示例，我们以系统中各方之间的席位分配为例比例代表制）：
它避免了违反配额规则：每一方都获得最接近其公平席位份额的两个数字之一。例如，如果一方的公平份额为7.34个席位，它必须获得7个或8个席位以避免违规；任何其他数字都将违反规则。
它不存在阿拉巴马悖论：如果席位总数增加，任何一方的席位都不会减少。
它不存在人口悖论：如果A党获得更多选票而B党获得更少选票，则不会有席位从A转移到B。
值得注意的是，任何不受人口悖论的分配方法都将永远不受阿拉巴马悖论的影响。然而，反之则不成立。
有趣的是，韦伯斯特的方法可以不受人口悖论和阿拉巴马悖论的影响，并且在三个或更少州的情况下不会违反配额。所有除数方法（恰好是没有人口悖论的所有分配方法的类）不违反两个或更少州的配额。
它们证明了不可能：分配方法可能具有这些属性的子集，但不能具有所有这些属性：
一种方法可以遵循配额并且不受阿拉巴马悖论的影响。Balinski和Young构建了一个这样做的方法，儘管它在政治上并不常用。
一种方法可能不受阿拉巴马悖论和人口悖论的影响。这些方法是除数方法，目前用于分配众议院席位的方法Huntington-Hill就是其中之一。但是，这些方法在其他情况下必然无法始终遵循配额。
没有一种方法可以永远遵循配额并且不受人口悖论的影响。
选举中的席位分配是一个突出的文化问题。1876年，美国总统大选开启了计算剩馀分数的方法。卢瑟福·海斯（RutherfordHayes）获得了185张选举团选票，塞缪尔·蒂尔登（SamuelTilden）获得了184张。蒂尔登赢得了普选票。使用不同的四捨五入方法，最终选举团的统计结果会发生逆转。然而，许多数学上类似的情况出现，其中数量被分成离散的相等的块。Balinski-Young定理适用于这些情况：它表明儘管可以做出非常合理的近似值，但没有数学上严格的方法来调和剩馀的小部分，同时符合所有竞争的公平元素。
连贯性（公平性）
连贯性，也称为一致性或一致性，是评估公平划分规则的标准。连贯性要求公平规则的结果不仅对整体问题是公平的，而且对每个子问题也是公平的。公平划分的每一部分都应该是公平的。
一致性要求首先是在分配的背景下研究的。在这种情况下，不能满足一致性被称为新州悖论：当一个新州加入联邦，并且为了容纳分配给这个新州的席位数量而扩大房屋规模时，其他一些不相关的州就会受到影响。连贯性也与其他公平划分问题有关，例如破产问题。
定义
有一个资源要分配，表示为H.例如，它可以是一个整数，表示代表议院的席位数。资源应该在一些人之间分配n代理。例如，这些可以是联邦州或政党。代理具有不同的权利，用向量表示T1,…,Tn.例如，ti可以是政党i赢得的选票的分数。分配是一个向量A1,…,An和∑I=1nAi=H.分配规则是一个规则，对于任何H和权利向量T1,…,Tn,返回一个分配向量A1,…,An.
如果对于代理的每个子集S，如果该规则在资源的子集上激活，则分配规则称为一致的（或统一的）Hs:=∑I∈SAi，并且在权利向量上(Ti)I∈S，那麽结果就是分配向量(Ai)I∈S.也就是说：当规则在代理子集上激活时，对于他们收到的资源子集来说，结果是相同的。
处理关係
通常，分配规则可能会返回多个分配（在平局的情况下）。在这种情况下，应该更新定义。将分配规则表示为M,并表示为M(H;(Ti)I=1n)返回的分配向量集M在资源上H和权利向量T1,…,Tn.规则M如果以下对每个分配向量都成立，则称为相干的(Ai)I=1n∈M(H;(Ti)I=1n)和任何代理子集S：
(Ai)I∈S∈M(∑I∈SAi;(Ti)I∈S).也就是说，大问题的每个可能解决方案的每个部分，都是子问题的可能解决方案。
对于每一个(bi)I∈S∈M(∑I∈SAi;(Ti)i∈S)和(Ci)I∉S∈M(∑i∉SAi;(Ti)i∉s)，我们有[(bi)i∈S,(ci)i∉S]∈M(h;(ti)i=1n).也就是说，如果子问题有其他（捆绑）解决方案，那麽将它们代替子问题的原始解决方案会产生其他（捆绑）解决方案来解决大问题。
分配的连贯性
在分配问题中，要分配的资源是离散的，例如议会中的席位。因此，每个代理都必须接收整数分配。
非相干方法：新状态悖论
议会席位分配最直观的规则之一是最大馀数法（LRM）。该方法规定权利向量应该被归一化，使得权利之和等于H（分配的席位总数）。然后每个代理应该得到他的标准化权利（通常称为配额）四捨五入。如果还有剩馀席位，则应将它们分配给剩馀最多的代理——最大比例的权利。令人惊讶的是，这条规则并不连贯。作为一个简单的例子，假设H=5Alice、Bob和Chana的标准化权利分别为0.4、1.35、3.25。那麽LRM返回的唯一分配是1、1、3（初始分配是0、1、3，额外的座位给Alice，因为她的馀数0.4是最大的）。现在，假设我们单独在Alice和Bob上激活相同的规则，他们的组合分配为2。标准化的权利现在是0.4/1.75×2≈0.45和1.35/1.75×2≈1.54。因此，LRM返回的唯一分配是0,2而不是1,1。这意味着在宏解1,1,3中，Alice和Bob之间的内部划分不遵循最大馀数原则——它不是相干。
另一种看待这种不连贯性的方法如下。假设房屋面积为2，有两个州A、B，配额分别为0.4、1.35。那麽LRM给出的唯一分配是0,2。现在，一个新的州C加入了联盟，配额为3.25。它被分配了3个座位，房子的大小增加到5个以容纳这些新座位。这种变化不应该影响现有的状态A和B。事实上，使用LRM，现有状态会受到影响：状态A获得席位，而状态B失去席位。这被称为新状态悖论。
新的州悖论实际上是在1907年观察到的，当时俄克拉荷马州成为一个州。它公平地分配了5个席位，席位总数增加了这个数字——从386个成员增加到391个成员。由于其他州，重新计算分配影响了席位数量：纽约失去了一个席位，而缅因州获得了一个席位。
相干方法
每个除数方法都是一致的。这直接来自他们对挑选序列的描述：在每次迭代中，下一个挑选物品的代理是具有最高比率（权利/除数）的代理。因此，即使我们考虑代理的一个子集，代理之间的相对优先级排序也是相同的。
相干方法的性质
当一致性与其他自然要求相结合时，它表徵了一种结构化的分配方法。不同的作者都证明了这种特徵。所有结果都假设规则是同质的（“体面的”）。
Hylland证明，如果一个连贯的体面分配规则是平衡且一致的，那麽它与除数方法兼容。
Balinsky和Young证明，如果一个连贯的体面分配规则是匿名和平衡的，那麽它就是一个排名索引方法（除数方法的超类）。反之亦然：在匿名方法和平衡方法中，当且仅当它是排名索引方法时，它才是一致的。
Balinsky和Young证明，如果一个连贯的体面分配规则是匿名的、一致的和弱精确的，那麽它是一个除数方法。
Balinsky和Rachev证明，如果一个连贯的体面分配规则是匿名的、保序的、弱精确的和完全的，那麽它是一个除数方法。
Palomares、Pukelsheim和Ramirez证明：
如果一个连贯的体面分配规则是匿名且平衡的，那麽它就是house-monotone；
此外，如果它也是一致的，那麽它是vote-ratiomonotone；
此外，如果它也是强精确的，则它与除数方法兼容（即，它返回除数方法返回的分配子集）；
如果，此外，它也是完整的，那麽它是一个除数方法。
Young证明了唯一的分配方法是Webster方法，它是自然两方分配规则四捨五入到最接近整数的连贯扩展。
破产问题的一致性
在破产问题中，分配的资源是连续的，例如债务人留下的金额。每个代理都可以获得资源的任何部分。但是，权利总和通常大于剩馀资源总量。
解决此类问题最直观的规则是比例规则，其中每个代理获得与其权利成比例的资源的一部分。这个规则绝对是连贯的。然而，它并不是唯一连贯的规则：有争议的服装的塔木德规则可以扩展到连贯的划分规则。
器官分配的一致性
在大多数国家，等待器官移植的患者数量远远大于可用器官的数量。因此，大多数国家通过某种优先顺序来选择将器官分配给谁。令人惊讶的是，在实践中使用的一些优先顺序并不一致。例如，UNOS过去使用的一条规则如下：
根据一些医疗数据，每个患者都被分配了一个个人分数。
每个病人都被分配了一个奖金，这是等待时间少于他的病人比例的10倍。
代理商的优先级是他们的分数+奖金的总和。
假设A、B、C、D四个病人的个人分数分别为16、21、20、23。假设他们的等待时间为A>B>C>D。因此，他们的奖金为10、7.5、5、2.5。所以它们的总和是26,28.5,25,25.5，优先顺序是B>A>D>C。现在B收到风琴后，A、C、D的个人分数保持不变，但奖金变为10、6.67、3.33，所以总和为26、26.67、26.33，优先顺序为C>D>一个。这颠倒了三个代理之间的顺序。
为了有一个连贯的优先顺序，优先级应该只由个人特徵决定。例如，奖金可以通过排队的月数来计算，而不是通过患者的比例来计算。