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　　豪斯多夫悖论
　　Hausdorff悖论是数学中的一个悖论，以FelixHausdorff的名字命名。它涉及球体S2（一个3维球体R3）。它指出，如果某个可数子集从S2，则馀数可分为三个不相交的子集A,B和C这样A,B,C和B∪C都是一致的。特别是，它遵循S2没有在所有子集上定义有限加法测度，使得全等集的测度相等（因为这意味着B∪C是同时1/3,1/2，和2/3整个球体的非零测量值）。
　　这个悖论于1914年发表在数学年鑑上，同年也发表在豪斯多夫的着作GrundzügederMengenlehre中。更为着名的巴纳赫-塔斯基悖论的证明使用了豪斯多夫的思想。这个悖论的证明依赖于选择公理。
　　这个悖论表明，在所有子集上定义的球体上没有有限的加法测度，在全等部分上是相等的。（豪斯多夫在同一篇论文中首先展示了一个更简单的结果，即在所有子集上都没有定义可数加性测度。）球面上的旋转组的结构在这裡起着至关重要的作用——这个陈述在平面上或线。事实上，正如Banach稍后所展示的，可以为欧几里得平面中的所有有界子集（以及实线上的“长度”）定义一个“区域”，使得全等集将有相等的“面积”。（这个Banach措施然而，它只是有限加法，所以它不是完整意义上的测度，但它等于存在后者的集合上的Lebesgue测度。）这意味着如果平面（或实线）的两个开放子集是等可分解的，那麽它们的面积相等。
　　胡珀悖论
　　胡珀悖论是一个基于视错觉的虚假悖论。一个面积为32个单位的几何图形被分解成四个部分，然后组装成一个面积只有30个单位的矩形。
　　解释
　　仔细观察后，可以注意到解剖形状的三角形与矩形中的三角形并不相同。直角短边的长度在原始形状中测量为2个单位，但在矩形中只有1.8个单位。这意味着，原始形状的真实三角形在矩形中重叠。重叠区域是一个平行四边形，其对角线和边可以通过勾股定理计算。
　　d1=22+12=5
　　d2=32+102=109
　　s1=22+62=40
　　s2=12+42=17
　　这个平行四边形的面积可以使用Heron的三角形公式来确定。这产生
　　s=d1+s1+s22=5+17+402
　　对于三角形的一半周长（平行四边形的一半）和平行四边形的面积
　　F=2⋅s⋅(s−s1)⋅(s−s2)⋅(s−d1)=2⋅14⋅(5+17+40)⋅(−5+17+40)⋅(5−17+40)⋅(5+17−40)=2⋅14⋅16=2.
　　所以两个三角形的重叠面积正好佔了2个单位的消失面积。
　　历史
　　WilliamHooper于1774年在他的着作RationalRecreations中发表了这个悖论，并将其命名为几何货币。他的书1774年版仍然包含一张错误的图画，在1782年版中得到了更正。然而，胡珀并不是第一个发表这种几何谬误的人，因为胡珀的书主要是改编自Edmé-GillesGuyot于1769年在法国出版的《Nouvellesrécréationsphysiquesetmathétiques》。本书中的描述包含同样的错误与胡珀的书中一样绘图，但在后来的版本中也得到了更正。
　　Nikodym集
　　在数学中，Nikodym集是单位平方的子集R2勒贝格测度为零的补码，因此，给定集合中的任何点，都有一条直线仅与该集合相交。Nikodym集的存在性首先由OttoNikodym在1927年证明。随后，发现Nikodym集的构造对于每个点都有许多异常线，并且KennethFalconer发现了更高维度的类似物。
　　Nikodym集与Kakeya集（也称为Besicovitch集）密切相关。
　　Nikodym集的存在有时与Banach-Tarski悖论相比较。然而，两者之间有一个重要区别：Banach-Tarski悖论依赖于不可测集。
　　数学家还研究了有限域上的Nikodym集（而不是R）。
　　球体外翻
　　在微分拓扑中，球体外翻是在三维空间中将球体从内向外翻转的过程（单词外翻的意思是“从裡向外翻”）。值得注意的是，以这种方式（可能会发生自相交），可以平滑且连续地将球体内外翻转，而不会切割或撕裂球体或产生任何摺痕。这对于非数学家和理解正则同伦的人来说都是令人惊讶的，并且可以被视为一个真实的悖论；这虽然是真实的，但乍一看似乎是错误的。
　　更准确地说，让
　　F：S2→R3
　　成为标准嵌入；然后有一个浸没的规则同伦
　　Ft：S2→R3
　　使得ƒ0=ƒ和ƒ1=-ƒ。
　　历史
　　StephenSmale（19）首先创建了无摺痕球体外翻的存在证明。很难想像这种转弯的特定示例，儘管已经製作了一些数字动画，使其更容易一些。第一个例子是通过几位数学家的努力展示的，其中包括盲人阿诺德·S·夏皮罗和伯纳德·莫林。另一方面，证明这样的“转折”存在要容易得多，而这正是斯梅尔所做的。
　　Smale的研究生导师RaoulBott起初告诉Smale，结果显然是错误的（Levy1995）。他的推理是，在这种“转向”中必须保留高斯图的度数——特别是由此得出的结论是，在R2中没有S1的这种转向。但是R3中嵌入f和-f的高斯映射的度都等于1，并且没有相反的符号，因为人们可能会错误地猜测。S2在R3中所有浸入的高斯图的程度为1，所以没有障碍物。“真正的悖论”一词在这个层面上可能更合适：在Smale的工作之前，没有记录在案的尝试支持或反对S2的外翻，后来的努力是事后诸葛亮，所以从来没有与Smale相关的历史悖论球体外翻，只是对那些第一次面对这个想法的人在想像中的微妙之处的欣赏。
　　有关进一步的概括，请参见h-principle。
　　证明
　　Smale最初的证明是间接的：他用Stiefel流形的同伦群确定了球体浸没的（正则同伦）类。由于对应于浸没的同伦群S2在R3消失，标准嵌入和由内向外的嵌入必须是规则的同伦。原则上，可以展开证明以产生明确的正则同伦，但这并不容易。
　　有几种方法可以生成显式示例和数学可视化：
　　中途模型：这些模型由非常特殊的同伦模型组成。这是最初的方法，首先由Shapiro和Phillips通过Boy'ssurface完成，后来被许多其他人改进。最初的中途模型同伦是手工构建的，并且在拓扑上工作，但不是最小的。这部电影由NelsonMax创作，历时七年，基于CharlesPugh的铁丝网模型（后来从伯克利的数学係被盗），在当时是一部计算机图形的“绝技”，并设置多年来一直是计算机动画的基准。最近和确定的图形改进（1980年代）是minimaxeversions，它是一个变分方法，并由特殊同伦组成（它们是关于威尔莫尔能量的最短路径）。反过来，理解威尔莫尔能量的行为需要理解四阶偏微分方程的解，因此视觉上美丽而令人回味的图像掩盖了斯梅尔最初的抽象证明之外的一些非常深奥的数学。
　　Thurston的波纹：这是一种拓扑方法和泛型；它需要一个同伦并扰动它，使它成为一个规则的同伦。这在SilvioLevy、DelleMaxwell和TamaraMunzner的指导下由几何中心开发的计算机图形动画“OutsideIn”中得到了说明。
　　结合上述方法，完整的球外翻可以通过一组给出最小拓扑複杂度的闭合方程来描述
　　变化
　　六维球体S6在七维欧几里得空间R7承认外翻。A0维球体的明显例子S0（两个不同的点）在一条实线上R并描述了上述二维球体的情况R3球体只有三种情况Sn嵌入欧几里得空间Rn+1承认外翻。