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　　冯诺依曼悖论
　　在数学中，以约翰·冯·诺伊曼命名的冯·诺依曼悖论是这样一种思想，即可以将平面图形（例如单位正方形）分解为点集，并对每个点进行保面积彷射变换，从而得到两个点与原件大小相同的平面图形。这在1929年由JohnvonNeumann证明，假设选择公理。它基于较早的Banach-Tarski悖论，而后者又基于Hausdorff悖论。
　　Banach和Tarski已经证明，使用等距变换，将二维图形拆开和重新组装的结果必然与原始图形具有相同的面积。这将使从一个单位中创建两个单位方格变得不可能。但是冯诺依曼意识到，这种所谓的悖论分解的诀窍是使用一组变换，其中包括一个具有两个生成器的自由群作为子群。保面积变换群（无论是特殊线性群还是特殊彷射群）包含这样的子群，这开启了使用它们执行矛盾分解的可能性。
　　方法示意图
　　以下是对冯诺依曼发现的方法的非正式描述。假设我们有一个由距离单位元不远的两个变换σ和τ生成的保面积线性变换的自由群H。作为一个自由群体意味着它的所有元素都可以以独特的形式表达σu1τv1σu2τv2⋯σunτvn对于一些n，其中U沙vs都是非零整数，可能除了第一个U和最后一个v.我们可以把这个组分成两部分：从左边开始的那些以σ到某个非零次方（我们称之为集合A）和那些从τ开始到某个次方的部分（即，U1为零——我们称这个集合B，它包括身份）。
　　如果我们通过H的各种元素对欧几里得2空间中的任何一点进行运算，我们就会得到所谓的该点的轨道。因此，平面上的所有点都可以归类为轨道，其中有无限个具有连续统的基数。使用选择公理，我们可以从每个轨道中选择一个点，并将这些点的集合称为M。我们排除了原点，它是H中的一个固定点。如果我们然后通过H的所有元素对M进行操作，我们将生成平面的每个点（除了原点）恰好一次。如果我们通过A或B的所有元素对M进行操作，我们得到两个不相交的集合，它们的并集是除原点之外的所有点。
　　现在我们取一些图形，例如单位正方形或单位圆盘。然后我们选择另一个完全在其中的图形，例如以原点为中心的较小正方形。我们可以用几份小图复盖大图，儘管有些点被两个或更多副本复盖。然后我们可以将大图的每个点分配给小图的副本之一。让我们调用每个副本对应的集合C1,C2,…,Cm.我们现在将只使用区域保持变换将大图形中的每个点与其内部的点进行一对一的映射。拿分属于C1并将它们翻译成C1正方形在原点。然后我们取其中的那些在上面定义的集合A中的点，并通过区域保留操作στ对它们进行操作。这将它们放入集合B中。然后我们取属于B的点并用σ2对它们进行操作。它们现在仍将位于B中，但这些点的集合将与之前的集合不相交。我们以这种方式进行，在来自C2的A点上使用σ3τ（在中心化之后），在其B点上使用σ4，依此类推。这样，我们就将大图中的所有点（除了一些固定点）以一对一的方式映射到B型指向中心不要太远，并且在大图之内。然后我们可以对A类型点进行第二次映射。
　　此时我们可以应用康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的方法。这个定理告诉我们，如果我们有一个从集合D到集合E的注入（例如从大图到其中的A类型点），以及从E到D的注入（例如从A类型点的恆等映射图中自己），则D和E之间存在一一对应关係。换句话说，有了从大图到其中A点子集的映射，我们可以从大图映射（双射）到裡面的所有A点。（在某些区域中，点映射到自身，在其他区域中，它们使用上一段中描述的映射进行映射。）同样，我们可以从大图映射到其中的所有B点。所以反过来看，我们可以将图形分为A点和B点，然后将它们中的每一个映射回整个图形（即包含两种点）！
　　这个草图掩盖了一些事情，例如如何处理固定点。事实证明，需要更多的映射和更多的集合来解决这个问题。
　　结果
　　正方形的悖论可以加强如下：
　　欧几里得平面的任何两个具有非空内部的有界子集对于保留区域的彷射图都是可等分解的。
　　这对测量问题产生了影响。正如冯诺依曼所说，
　　“在derEbenekeinnichtnegatives添加剂Maß(wodasEinheitsquadratdasMaß1hat),dass[sic]gegenüberallenAbbildungenvonA2invariantwäre中的Inlgedessengibtesbereits。”
　　“根据这一点，在平面中已经没有非负加法测度（单位平方的测度为1），它对于属于A2的所有变换是不变的[保留面积的彷射变换组]。”
　　为了进一步解释这一点，是否存在有限加法度量（在某些转换下保留）的问题取决于允许哪些转换。通过平移和旋转保留的平面中集合的Banach度量，即使在保留多边形面积的情况下也不会通过非等距变换保留。如上所述，平面上的点（除了原点）可以分为两个密集集，我们可以称为A和B。如果给定多边形的A点经过一定的保面积变换，B点经过另一个变换，那麽这两个集合都可以成为B的子集两个新多边形中的点。新多边形与旧多边形具有相同的面积，但两个转换后的集合不能具有与以前相同的度量（因为它们仅包含B点的一部分），因此没有“有效”的度量。
　　冯·诺依曼在研究巴拿赫-塔斯基现象的过程中分离出的群类被证明对许多数学领域都非常重要：这些群是顺从群，或具有不变均值的群，包括所有有限群和所有可解群.一般而言，当等分解性定义中用于等价的组不适合时，就会出现悖论分解。
　　近期进展
　　VonNeumann的论文留下了关于线性群SL(2,R)的单位正方形内部的矛盾分解的可能性（Wagon，问题7.4）。2000年，MiklósLaczkovich证明了这种分解的存在。更准确地说，令A是具有非空内部且与原点有正距离的平面的所有有界子集的族，而B是具有有限多个并集平移属性的所有平面集的族在SL(2,R)的某些元素下，包含原点的穿孔邻域。那麽家庭A中的所有集合都是SL(2,R)-equidecomposable，同样适用于B中的集合。因此，这两个家庭都由矛盾的集合组成。
　　矛盾集
　　在集合论中，悖论集是具有悖论分解的集合。一个集合的悖论分解是两个不相交的子集族，以及作用于某个宇宙（所讨论的集合是其中的一个子集）的适当组动作，这样每个分区都可以映射回整个集合，仅使用有限许多不同的功能（或其组合）来完成映射。一个集合，允许这样一个自相矛盾的分解，其中动作属于一个组G叫做G-自相矛盾的或自相矛盾的G.
　　矛盾集的存在是无限公理的结果。将无限类作为集合就足以允许矛盾集合。
　　定义编辑
　　假设一个组G作用于集合A.然后A是G-如果存在一些不相交的子集，则自相矛盾A1,...,An,B1,...,Bm⊆A和一些组元素G1,...,Gn,H1,...,HM∈G这样：
　　A=⋃i=1nGi(Ai)和A=⋃i=1MHi(Bi)
　　例子
　　自由组编辑
　　两个生成器a,b上的自由群F有分解F={e}∪X(A)∪X(A-1)∪X(b)∪X(b-1)其中e是标识词，并且X(i)是所有以字母i开头的（简化的）单词的集合。这是一个矛盾的分解，因为X(A)∪AX(A-1)=F=X(b)∪bX(b-1).
　　巴拿赫-塔斯基悖论
　　悖论集最着名的例子是Banach-Tarski悖论，它将球体划分为特殊正交群的悖论集。这个结果取决于选择公理。
　　海岸线悖论
　　海岸线悖论是违反直觉的观察，即陆地的海岸线没有明确的长度。这是由海岸线的分形曲线性质造成的；即，海岸线通常具有分形维数的事实。这种现象的第一个记录观察是由LewisFryRichardson记录下来的，BenoitMandelbrot对此进行了扩展。
　　海岸线的测量长度取决于测量方法和製图概括程度。由于陆地具有各种尺度的特徵，从数百公里到一毫米及以下的微小部分，因此在测量时没有应考虑的最小特徵的明显尺寸，因此没有明确定义的周长到大陆。当对最小特徵尺寸做出特定假设时，存在各种近似值。
　　这个问题与测量其他更简单的边缘有根本的不同。例如，可以通过使用测量设备确定长度小于某个量和大于另一个量来精确测量直的、理想化的金属棒的长度——即在一定范围内测量它。程度的不确定性。测量设备越精确，结果就越接近边缘的真实长度。然而，在测量海岸线时，更近的测量不会导致精度提高——测量只会增加长度；与金属棒不同，没有办法获得海岸线长度的最大值。
　　在三维空间中，海岸线悖论很容易扩展到分形表面的概念，即表面的面积根据测量分辨率而变化。
　　数学方面
　　长度的基本概念源于欧几里得距离。在欧几里得几何中，直线代表两点之间的最短距离。这条线只有一个长度。在球体的表面上，这被测地线长度（也称为大圆长度）所取代，测地线长度是沿着包含球体端点和球心的平面中存在的曲面曲线测量的。基本曲线的长度比较複杂，但也可以计算。用尺子测量，可以通过将连接点的直线的总和相加来近似曲线的长度：
　　使用几条直线来近似曲线的长度会产生低于真实长度的估计值；当使用越来越短（因此越来越多）的线时，总和接近曲线的真实长度。这个长度的精确值可以使用微积分找到，微积分是可以计算无限小的距离的数学分支。以下动画说明瞭如何为平滑曲线有意义地指定精确长度：
　　并非所有曲线都可以用这种方式测量。根据定义，分形是一条曲线，其複杂性随测量尺度而变化。随着测量精度的提高，平滑曲线的近似值趋于单一值，而分形的测量值不会收敛。
　　由于分形曲线的长度总是发散到无穷大，如果要以无限或接近无限的分辨率测量海岸线，海岸线中无限短弯折的长度将加起来为无穷大。然而，这个数字依赖于空间可以细分为无穷小的部分的假设。这个假设的真值——它是欧几里得几何的基础，并作为日常测量的有用模型——是一个哲学推测的问题，它可能反映也可能不反映原子水平上“空间”和“距离”不断变化的现实。大约是纳米级）。
　　海岸线的构造不如理想化分形（如曼德布罗集）明确，因为它们是由各种自然事件形成的，这些自然事件以统计上随机的方式创建模式，而理想化分形是通过简单、公式化序列的重複迭代形成的。
　　发现
　　1951年之前不久，刘易斯·弗莱·理查森在研究边界长度对战争概率的可能影响时注意到，葡萄牙人报告他们与西班牙的实测边界为987公里，而西班牙人报告为1214公里。这是海岸线问题的开始，这是测量不规则边界时固有的数学不确定性。
　　估计边界（或海岸线）长度的流行方法是在地图或航拍照片上用分隔线佈置n个长度为ℓ的相等直线段。段的每一端都必须在边界上。研究边界估计中的差异，理查森发现了现在称为“理查森效应”的东西：线段的总和与线段的公共长度成反比。实际上，标尺越短，测量的边界越长；西班牙和葡萄牙的地理学家只是使用不同长度的尺子。
　　最令理查森震惊的结果是，在某些情况下，当ℓ接近零时，海岸线的长度接近无穷大。理查森认为，基于欧几里得几何，海岸线将接近固定长度，规则几何图形的类似估计也是如此。例如，内接圆的正多边形的周长随着边数的增加（并且一侧的长度减小）而接近圆周。在几何测度论中，像圆这样的平滑曲线，可以用具有确定界限的小直线段来近似，称为可校正曲线。.
　　测量海岸线
　　在理查森完成他的工作十多年后，BenoitMandelbrot开发了一个新的数学分支——分形几何，来描述自然界中诸如无限海岸线之类的不可校正的複合体。[8]他自己对作为研究基础的新图形的定义是：
　　我从拉丁语形容词fractus中创造了分形。相应的拉丁动词franngere的意思是“打破：”以创建不规则的片段。因此，明智的做法是……除了“碎片化”……fractus还应该表示“不规则”。
　　一些分形的一个关键属性是自相似性；也就是说，在任何规模上都会出现相同的一般配置。海岸线被视为与海角交替的海湾。在给定的海岸线具有这种自相似性的假设情况下，无论海岸线的任何一小段被放大到多大，都会出现类似的较小海湾和海角叠加在较大海湾和海角上的模式，一直到沙粒。在那个尺度上，海岸线看起来像是一条瞬息万变的、可能无限长的线，随机排列着由手头的小物体形成的海湾和海角。在这样的环境中（与平滑曲线相反）Mandelbrot断言“海岸线长度被证明是一个难以捉摸的概念，它会在想要掌握它的人的手指间熘走”。
　　有不同种类的分形。具有所述属性的海岸线属于“第一类分形，即分形维数大于1的曲线”。最后一个陈述代表了曼德布洛特对理查森思想的延伸。Mandelbrot对理查森效应的陈述是：
　　L(ε)～Fε1-D,
　　其中L，海岸线长度，测量单位ε的函数，由表达式近似。F是一个常数，D是Richardson发现的一个参数，它取决于L近似的海岸线。他没有给出理论解释，但Mandelbrot将D确定为Hausdorff维数的非整数形式，后来成为分形维数。重新排列表达式产生
　　Fε-D⋅ϵ,
　　其中Fε-D必须是获得L所需的单位数量ε。测量海岸的虚线不向一个方向延伸，也不代表一个区域，而是介于两者之间，可以认为是宽度为2ε的带。D是它的分形维数，介于1和2之间（通常小于1.5）。更多破碎的海岸线具有更大的D，因此对于相同的ε，L更长。南非海岸线的D约为1.02，英国西海岸的D约为1.25。对于湖岸线，D的典型值为1.28。Mandelbrot表明D与ε无关。
　　硬币旋转悖论
　　硬币旋转悖论是一种反直觉的观察，即当一枚硬币绕着另一枚相同大小的硬币的边缘滚动时，移动的硬币在绕着静止的硬币一圈后完成两个完整的旋转。
　　描述
　　从桌子上两个相同的硬币开始，它们的“头”面显示并平行。保持硬币A静止，围绕A旋转硬币B，保持接触点不打滑。当硬币B到达对面时，两个正面将再次平行；B进行了一次革命。继续移动B使其回到起始位置并完成第二次旋转。矛盾的是，硬币B的滚动距离似乎等于其周长的两倍。实际上，由于两个硬币的周长相等，根据定义，硬币B仅滚动了等于其自身周长的距离。第二次旋转源于它所滚动的路径是一个圆这一事实。这类似于简单地“原地”旋转硬币B。
　　可视化效果的最佳方法是想像硬币A的圆周“变平”成一条直线，这意味着很容易观察到，而且确实不言而喻，硬币B在沿行进过程中只旋转了一次它现在是平坦的路径。这是“第一次轮换”。同样，围绕硬币A的圆周滑动硬币B，而不是滚动它，同时保持其当前的特定接触点，将赋予原始场景中“第二次旋转”代表的旋转。
　　当硬币B旋转时，其周边上的每个点都描述（穿过）心形曲线。
　　分析与解决
　　从头到尾，移动硬币的中心沿圆形路径行进。静止硬币的边缘和所述路径形成两个同心圆。路径的半径是硬币半径的总和；因此，路径的周长是硬币周长的两倍。移动硬币的中心绕硬币周长两倍而不会滑动；因此，移动的硬币完成了两次完整的旋转。
　　移动的硬币在途中绕自己的中心旋转多少，如果有的话，或者在什麽方向——顺时针、逆时针或两者中的一些——对路径的长度没有影响。硬币如上所述旋转两次并在移动硬币接触静止硬币时聚焦在移动硬币的边缘是分心的。
　　不等半径和其他形状
　　一个半径为r的硬币绕着一个半径R滚动，旋转R/r+1圈。那是因为滚动硬币的中心以半径（或周长）为（R+r）/r=R/r+1倍其自身半径（或周长）的圆形路径运行。在R=0的极限情况下，半径为r的硬币围绕其底部进行0/r+1=1次简单旋转。
　　1982年5月1日的SAT考题就是关于这个问题的，由于人为失误，三名学生证明选项中没有正确答案后，不得不重新评分。
　　硬币滚动的形状不必是圆形：当它是任何不相交的简单多边形或闭合曲线时，它们的周长比会增加一个额外的旋转。如果形状很複杂，则添加（或减去，如果硬币在曲线内滚动）的转数是其转数的绝对值。
　　应用
　　这个悖论与恆星时有关：恆星日是地球自转以使遥远的恆星返回天空中相同位置所需的时间，而太阳日是太阳返回相同位置的时间。一年大约有365.25个太阳日，但有366.25个恆星日来解释绕太阳转一圈。
　　加百列的号角
　　加布里埃尔的喇叭（也称为托里切利的喇叭）是一种特殊的几何图形，具有无限的表面积但有限的体积。这个名字指的是基督教传统（儘管圣经本身并不严格支持）将大天使加百列确定为吹喇叭宣布审判日的天使。意大利物理学家和数学家EvangelistaTorricelli在17世纪首先研究了这个图形的性质。
　　这些丰富多彩的非正式名称和对宗教的暗示是后来出现的。托里切利自己的名字可以在他的论文Desolidohyperbolicoacuto的拉丁文标题中找到，该论文写于1643年，一种截断的锐角双曲实体，被平面切割。第二年出版的他的Operageometrya的第1卷第1部分包括那篇论文和第二个更正统的（当时）阿基米德关于截断锐角双曲实体的体积定理的证明。这个名字被用于18世纪的数学词典（包括哈里斯1704年的词典和斯通1726年的词典中的“HyperbolicumAcutum”，以及d'Alembert1751年的法语翻译SolideHyperboliqueAigu。
　　儘管他的同时代人认为托里切利是首要的，但托里切利并不是第一个描述具有有限体积/面积的无限长形状的人。NicoleOresme在14世纪的作品要么被他们遗忘，要么不为人所知。Oresme提出了一个无限长的形状，它是通过使用几何级数将两个有限总面积2的正方形细分，并将各部分重新排列成一个在一个维度上无限长的图形，包括一系列矩形。
　　数学定义
　　加布里埃尔的角是通过以下图形成的
　　Y=1X,
　　与域x≥1并围绕x轴在三个维度上旋转它。这一发现是在微积分发明之前使用卡瓦列裡原理做出的，但今天，微积分可用于计算x=1和x=a之间的喇叭的体积和表面积，其中a>1。使用积分（详见旋转实体和旋转表面），可以找到体积V和表面积A：
　　V=π∫1A(1X)2dX=π(1-1A),
　　A=2π∫1A1X1+(-1X2)2dx>2π∫1adxx=2π⋅[ln⁡x]1a=2πln⁡a.
　　a的值可以任意大，但是从方程可以看出，在x=1和x=a之间的喇叭部分的体积永远不会超过π；然而，随着a的增加，它确实逐渐接近π。在数学上，体积接近π作为接近无穷大。使用微积分的极限符号，
　　limA→∞V=lim→∞π(1-1A)=π⋅limA→∞(1-1A)=π.
　　上面的表面积公式给出了面积的下限，即2π乘以a的自然对数。a的自然对数没有上限，因为a接近无穷大。这意味着，在这种情况下，喇叭具有无限的表面积。也就是说，limA→∞A≥limA→∞2πln⁡A=∞.
　　在Desolido双曲线acuto
　　Torricelli最初的非微积分证明使用了一个对象，与前面给出的稍有不同，它是通过用垂直于x轴的平面截断锐角双曲实体并用同底的圆柱体从该平面的另一侧延伸它来构造的.而微积分方法通过将截断平面设置为X=1并沿x轴积分，Torricelli继续计算该複合固体（加上圆柱体）的体积，方法是将其内沿y轴的一系列同心直圆柱体的表面积相加，并表明这相当于对面积求和在另一个（有限）体积已知的固体中。
　　在现代术语中，该实体是通过构造函数的旋转曲面（对于严格正的b）而创建的
　　Y={1b,where0≤X≤b,1X,whereb≤X.
　　托里切利定理是它的体积与具有高度的右圆柱体的体积相同1/b和半径2:
　　定理。一个锐角双曲实体，无限长，被一个[垂直]轴所切割的平面，连同同底的圆柱体，等于以它的纬度对（即轴）为底的那个右圆柱体。双曲线，其高度等于这个锐体的基半径。
　　—Desolidohyperbolicoacuto。伊万格丽斯塔·托里切利。1643.翻译G.Loria和G.Vassura1919.
　　Torricelli表明，固体的体积可以从这一系列同心圆柱体的表面积推导出来，这些圆柱体的半径为1/b≥r≥0和高度H=1/r.在公式中代入这些圆柱体（仅侧面）的表面积，得出所有圆柱体的表面积不变2πr×H=2πr×1/r=2π.这也是半径圆的面积2,并且圆柱体的嵌套表面（填充实体的体积）因此等效于半径圆的堆叠面积2从0堆叠到1/b，因此上述右圆柱体的体积，已知为V=πr2×H=π(2)2×1/b=2π/b:
　　Propterreaomnessimulsuperficiescylindricae,hocestipsumsolidumacutumebd,unacumcylindrobaseFedC,aequaleeritomnibuscirculissimul,hocestcylindroACGH.Quod等。
　　（因此将圆柱体的所有表面放在一起，即锐角实体EBD本身，与底座的圆柱体相同FEDC，这将等于它的所有圆圈加在一起，即圆柱体ACGH.)
　　—Desolidohyperbolicoacuto。伊万格丽斯塔·托里切利。1643.JacquelineA.Stedall翻译，2013.
　　（添加圆柱体的体积当然是VC=πr2×H=π(1/b)2×b=π/b因此仅截断的急性双曲实体的体积是Vs=V-VC=2π/b-π/b=π/b.如果b=1，就像在现代微积分推导中一样，Vs=π.)
　　在Operageometrya中，这是（截断的）锐角双曲立体体积的两个证明之一。在这个证明中使用Cavalieri的不可分元素在当时是有争议的，结果令人震惊（托里切利后来记录了GillesdeRoberval曾试图反驳它）；因此，当几何歌剧出版时，在Desolidohyperbolicoacuto之后的一年，Torricelli还提供了基于正统阿基米德原理的第二个证明，表明右圆柱体（高度1/b半径2)是音量的上限和下限。具有讽刺意味的是，这与阿基米德在他的抛物线求多西修斯的抛物线求积中提供两种证明（机械证明和几何证明）的谨慎相呼应。
　　明显的悖论
　　当加布里埃尔角的特性被发现时，xy平面的无限大截面围绕x轴的旋转产生了一个有限体积的物体这一事实被认为是一个悖论。虽然位于xy平面上的截面具有无限的面积，但与其平行的任何其他截面的面积都是有限的。因此，根据截面的“加权和”计算的体积是有限的。
　　另一种方法是将固体视为一堆半径减小的圆盘。半径之和产生一个无穷大的谐波级数。但是，正确的计算是它们的平方和。每个圆盘的半径r=1/x和麵积πr2或π/x2。系列1/x发散，但係列1/x2收敛。通常，对于任何实数ε>0，级数1/x1+ε收敛。
　　这个明显的悖论是关于无限本质的争论的一部分，涉及当时许多主要思想家，包括托马斯霍布斯、约翰沃利斯和伽利略伽利略。
　　有一个类似的现象适用于平面的长度和麵积。从1到无穷大的曲线1/x2和-1/x2之间的面积是有限的，但两条曲线的长度显然是无限的。
　　在他的1666Lectiones的第16讲中，IsaacBarrow认为托里切利定理约束了亚里士多德的一般格言（来自DeCaelo第1卷第6部分）“有限与无限之间没有比例”。严格来说，亚里士多德本人一直在为无限物体的物理存在的不可能性做一个案例，而不是为其作为几何抽象的不可能性做一个案例。巴罗一直採用当代17世纪的观点，即亚里士多德的格言和其他几何公理（正如他在第7课中所说）来自“某种更高和普遍的科学”，是数学和物理学的基础。因此，Torricelli对具有有限（体积）和无限（面积）之间关係的对象的论证与这一格言相矛盾，至少部分矛盾。巴罗的解释是，亚里士多德的格言仍然成立，但仅在比较相同类型的事物、长度与长度、面积与面积、体积与体积等方面的方式更为有限。当比较两个不同属的事物（例如面积与体积）时，它不成立，因此无限面积可以连接到有限体积。
　　其他人使用托里切利定理来支持他们自己的哲学主张，从现代观点来看，这与数学无关。Ignace-GastonPardies在1671年使用尖锐的双曲立体论证有限的人类可以理解无限，并继续提供它作为上帝和非物质灵魂存在的证据。由于有限的物质无法理解无限，帕迪斯认为，人类能够理解这一证明的事实表明，人类必须不仅仅是物质，并且拥有非物质的灵魂。相比之下，安托万·阿诺德认为由于人类在这裡感知到了一个悖论，人类的思想在它所能理解的范围内是有限的，因此不能胜任反驳神圣、宗教和真理的任务。
　　霍布斯和沃利斯的争论实际上是在数学领域内：沃利斯热情地接受了无限和不可分割的新概念，继续根据托里切利的工作得出进一步的结论，并将其扩展到使用算术而不是托里切利的几何论证；霍布斯声称，由于数学源于现实世界对有限事物的感知，因此数学中的“无限”只能意味着“无限”。这些导致每个人都给皇家学会写了措辞强硬的信件，在《哲学彙刊》中，霍布斯曾一度将瓦利斯称为“疯子”。1672年，霍布斯试图重铸托里切利无限期地，试图坚持他的论点，即“自然光”（即常识）告诉我们，无限长的东西必须有无限的体积。这与霍布斯的其他断言一致，即在几何学中使用零宽度线的想法是错误的，并且卡瓦列裡的不可分割的想法是没有根据的。沃利斯认为，存在具有有限面积/体积但没有基于托里切利的重心的几何形状，并指出理解这一点需要更多的几何和逻辑命令，“而不是M.Hobs[原文如此]是大师”。他还将算术术语中的论点重组为算术级数的总和，算术无穷小序列而不是几何不可分序列。
　　Oresme已经证明，无限长的形状可以有一个有限的区域，当一个维度趋向于无限大时，另一个维度趋向于无限小。用巴罗自己的话来说，“一个维度的无限缩小补偿了另一个维度的无限增长”，在急性双曲固体的情况下，通过阿波罗双曲线方程XY=1.
　　画家悖论
　　由于喇叭的体积有限但表面积无限，因此存在一个明显的悖论，即喇叭可以填充有限数量的油漆，但油漆不足以复盖其表面。然而，这个悖论又只是一个明显的悖论，它是由于“绘画”的定义不完整，或者对填充和绘画的行为使用了矛盾的绘画定义而引起的。
　　可以假设一种“数学”颜料是无限可分的（或无限变薄，或者只是像霍布斯所质疑的零宽度几何线那样为零宽度）并且能够以无限速度行进，或者是一种“物理”颜料具有现实世界中油漆的特性。对于任何一个，明显的悖论都消失了：
　　对于“数学”涂料，首先并不意味着无限表面积需要无限量的涂料，因为无限表面积乘以零厚度涂料是不确定的。
　　使用物理油漆，在实体外部上漆将需要无限量的油漆，因为物理油漆的厚度不为零。托里切利定理没有谈到固体外部的有限宽度层，实际上它具有无限体积。因此，无限量的油漆和无限的表面积之间不存在矛盾。也不可能用物理油漆来绘製固体的内部，即托里切利定理的有限体积，因此不存在矛盾。这是因为物理油漆只能填充固体体积的近似值。分子不会完全平铺3维空间并留下间隙，并且存在一个点，即固体的“喉咙”变得太窄，以至于油漆分子无法向下流动。
　　物理油漆以有限的速度行进，并且需要无限的时间才能流下来。如果没有另外假设它以无限速度流动，这也适用于零厚度的“数学”油漆。
　　“数学”涂料的其他不同假设，例如以足够快的速度变薄的无限速度涂料，也消除了悖论。对于音量π油漆，当被复盖的表面积A趋于无穷大时，油漆的厚度π/a趋于零。与固体本身一样，在一个维度上要涂漆的表面积的无限增加被另一个维度（油漆的厚度）的无限减小所补偿。
　　交谈
　　Torricelli的锐角双曲实体的反面是具有有限表面积但体积无限的旋转曲面。
　　为了回应托里切利定理，克里斯蒂安·惠更斯和勒内-弗朗索瓦·德·斯卢斯从马林·梅森那裡得知后，相互写信将这个定理扩展到其他无限长的革命实体；被错误地识别为找到这样的相反。
　　乌得勒支大学数学教授JanA.vanMaanen在1990年代报告说，他曾在克里斯蒂安桑的一次会议上错误地指出，德斯卢斯在1658年写信给惠更斯，说他发现了这样的形状：
　　evi歌剧奉献者meanuravasculie,ponderenonmagni,quodinterimhellonullusebibat
　　（我给出了一个水杯（或花瓶）的尺寸，它的重量很轻，但即使是最难喝的人也无法倒空。）
　　——deSluse在给惠更斯的信中，翻译JanA.vanMaanen
　　作为回应（由香港大学的TonyGardiner和Man-KeungSiu提出），任何具有有限表面积的旋转表面必然具有有限的体积。
　　vanMaanen教授意识到这是对deSluse信函的误解，deSluse实际上报告的是，由Diocles的cissoid及其渐近线绕y轴旋转形成的固体“高脚杯”形状具有有限的体积（因此“重量轻”）并封闭了一个无限体积的空腔。
　　惠更斯首先证明了旋转后的二维形状的面积（在cissoid和它的渐近线之间）是有限的，计算它的面积是cissoid的生成圆面积的3倍，deSluse应用Pappus的质心定理来证明因此，旋转体具有有限体积，是该有限面积和有限旋转轨道的乘积。被旋转的区域是有限的；deSluse实际上并没有说明最终旋转体积的表面积。
　　当在封闭集上旋转连续函数时，不会发生这种相反的情况（假设欧几里得几何）。
　　定理
　　令f:[1,∞)→[0,∞)为连续可微函数。将S表示为图形y=f(x)绕x轴的旋转实体。如果S的表面积是有限的，那麽体积也是有限的。
　　证明
　　由于侧表面面积A是有限的，因此极限优越：
　　limT→∞SupX≥TF(x)2−f(1)2=limsupt→∞∫1t(f(x)2)′dx≤∫1∞|(f(x)2)′|dx=∫1∞2f(x)|f′(x)|dx≤∫1∞2f(x)1+f′(x)2dx=Aπ<∞.
　　因此，存在一个t0使得上确界sup{f(x)|x≥t0}是有限的。因此，
　　M=Sup{F(X)∣X≥1}
　　必须是有限的，因为f是一个连续函数，这意味着f有界在区间[1,∞)上。最后是音量：
　　V=∫1∞f(x)⋅πf(x)dx≤∫1∞M2⋅2πf(x)dx≤M2⋅∫1∞2πf(x)1+f′(x)2dX=M2⋅A.
　　因此：如果面积A是有限的，那麽体积V也一定是有限的。