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　　布拉利-福尔蒂悖论
　　在数学领域的集合论中，Burali-Forti悖论表明，构造“所有序数的集合”会导致矛盾，因此在允许构造它的系统中显示出自相矛盾。它以CesareBurali-Forti的名字命名，他在1897年发表了一篇论文，证明了一个他不知道的定理，该定理与Cantor先前证明的结果相矛盾。伯特兰·罗素随后注意到了这一矛盾，并在他1903年出版的《数学原理》一书中发表了这一矛盾。，他说这是Burali-Forti的论文向他提出的，结果它以Burali-Forti的名字为人所知。
　　用冯诺依曼序数表示
　　我们将通过深思熟虑的解构来证明这一点。
　　设Ω是由所有序数组成的集合。
　　Ω是可传递的，因为对于Ω的每个元素x（它是一个序数，可以是任何序数）和x的每个元素y（即在冯诺依曼序数的定义下，对于每个序数y<x），我们有y是Ω的一个元素，因为根据这个序数结构的定义，任何序数都只包含序数。
　　Ω由隶属关係良好排序，因为它的所有元素也由该关係良好排序。
　　因此，通过第2步和第3步，我们得到Ω是一个序数类，并且通过第1步，我们有一个序数，因为所有作为集合的序数类也是序数。
　　这意味着Ω是Ω的一个元素。
　　根据冯诺依曼序数的定义，Ω<Ω等同于Ω是Ω的一个元素。后一种说法由步骤5证明。
　　但是没有序数类小于自身，包括Ω因为第4步（Ω是序数类），即Ω≮Ω。
　　我们从Ω的集合性推导出了两个相互矛盾的命题（Ω<Ω和Ω≮Ω），因此，反驳了Ω是一个集合。
　　更笼统地说
　　上述悖论的版本是不合时宜的，因为它预设了由JohnvonNeumann对序数的定义，在该定义下，每个序数是所有先前序数的集合，在Burali-Forti提出悖论时还不知道.这是一个假设较少的帐户：假设我们以未指定的方式将每个良好排序的对象关联到称为其订单类型的对象（订单类型是序数）。订单类型（序数）本身以自然的方式有序排列，而这种有序排列必须有一个订单类型Ω.在朴素集合论中很容易证明（在ZFC中仍然如此，但在NewFoundations中则不然）所有序数的顺序类型都小于一个固定的α是α本身。所以所有序数的订单类型小于Ω是Ω本身。但这意味着Ω，作为序数的适当初始段的顺序类型，严格小于所有序数的顺序类型，但后者是Ω根据定义本身。这是一个矛盾。
　　如果我们使用冯诺依曼定义，在该定义下，每个序数都被识别为所有在前序数的集合，那麽悖论是不可避免的：所有序数的顺序类型都小于一个固定值的冒犯命题α是α本身必须是真的。冯诺依曼序数的集合，就像罗素悖论中的集合一样，在任何具有经典逻辑的集合论中都不能是集合。但是NewFoundations中的序类型集合（定义为相似度下的良序的等价类）实际上是一个集合，避免了悖论，因为序数的序类型小于Ω结果不是Ω.
　　悖论的解决方案
　　形式集合论的现代公理，如ZF和ZFC，通过不允许使用“所有具有属性的集合”之类的术语来构造集合，从而规避了这种矛盾。P”，这在朴素集合论中是可能的，在“GrundgesetzederArithmetik”中使用GottlobFrege的公理——特别是基本法V——也是可能的。Quine的系统NewFoundations(NF)使用不同的解决方案。Rosser(1942)表明在奎因的系统“数学逻辑”（ML）的原始版本中，新基础的扩展，有可能推导出Burali-Forti悖论，表明这个系统是矛盾的。奎因在罗瑟的发现之后对ML的修订没有受到影响从这个缺陷出发，确实后来被王浩证明与NF等价。
　　康托尔悖论
　　在集合论中，康托尔悖论指出不存在所有基数的集合。这是从没有最大基数的定理推导出来的。用非正式的术语来说，悖论是所有可能的“无限大小”的集合不仅是无限的，而且无限大，以至于它自己的无限大小不可能是集合中的任何无限大小。公理集合论通过声明这个集合不是集合而是适当的类来解决困难；在冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论中，它由此和大小限制公理得出这个真类必须与所有集合的类双射。因此，不仅有无限多的无穷大，而且这个无穷大比它所列举的任何无穷大。
　　这个悖论以GeorgCantor的名字命名，他经常被认为是在1899年（或1895年至1897年之间）首次发现它。像许多“悖论”一样，它实际上并不矛盾，而只是表明一种错误的直觉，在这种情况下，是关于无穷大的本质和集合的概念。换句话说，它在朴素集合论的范围内是自相矛盾的，因此表明对该理论的粗心公理化是不一致的。
　　声明和证明
　　为了说明这个悖论，有必要了解基数是完全有序的，因此人们可以谈论一个大于或小于另一个。那麽康托尔悖论是：
　　定理：没有最大的基数。
　　这个事实是康托尔定理关于集合的幂集的基数的直接结果。
　　证明：假设相反，令C为最大基数。那麽（在基数的冯诺依曼公式中）C是一个集合，因此具有一个幂集2C，根据康托尔定理，它的基数严格大于C。证明一个大于假设为最大基数的C的基数（即2C的基数）证伪了C的定义。这种矛盾表明这样的基数不存在。
　　康托尔定理的另一个结果是基数构成了一个真类。也就是说，它们不能作为一个集合的元素全部收集在一起。这是一个更一般的结果。
　　定理：如果S是任何集合，则S不能包含所有基数的元素。事实上，S的元素的基数有一个严格的上限。
　　证明：令S是一个集合，令T是S的元素的并集。那麽S的每个元素都是T的子集，因此其基数小于或等于T的基数。康托尔定理意味着S的每个元素的基数都严格小于2T的基数。
　　讨论和后果
　　由于基数是通过与序数索引来有序排列的（参见基数，正式定义），这也确定了没有最大的序数；相反，后一种说法暗示了康托尔悖论。通过将这种索引应用于Burali-Forti悖论，我们获得了另一个证明，即基数是一个适当的类而不是一个集合，并且（至少在ZFC或vonNeumann-Bernays-Gödel集合论中）)由此可见，在基数类和所有集合类之间存在双射。由于每个集合都是后一类的子集，并且每个基数都是集合的基数（根据定义！），这直观地意味着基数集合的“基数”大于任何集合的基数：它更多比任何真正的无限都无限。这就是康托尔“悖论”的悖论本质。
　　历史笔记
　　虽然通常认为康托尔首先确定了基数集的这一性质，但一些数学家将这一荣誉授予伯特兰·罗素，他在1899年或1901年定义了一个类似的定理。
　　伽利略悖论
　　伽利略悖论是无限集令人惊讶的特性之一的证明。在他最后的科学着作《两门新科学》中，伽利略·伽利莱对正整数做出了明显矛盾的陈述。首先，一些数字是正方形，而另一些则不是；因此，所有数字，包括正方形和非正方形，都必须比正方形更多。然而，对于每个数字，都恰好有一个正方形；因此，一个不能多于另一个。这是在无限集的上下文中一对一对应的想法的早期使用，儘管不是第一次使用。
　　伽利略得出结论，更少、相等和更大的概念适用于（我们现在称之为）有限集，但不适用于无限集。在19世纪，康托尔发现了一个框架，在这个框架中这种限制是不必要的。可以以有意义的方式定义无限集之间的比较（根据该定义，整数和正方形这两个集合具有“相同的大小”），并且根据该定义，某些无限集严格大于其他集。
　　这些想法对伽利略来说并不新鲜，但他的名字已经与它们联繫在一起。特别是，大约1302年的DunsScotus将偶数与整数进行了比较。
　　伽利略在无限集上
　　两新科学的相关部分摘录如下：
　　辛普利西奥：这裡出现了一个在我看来无法解决的困难。由于很明显我们可能有一条线比另一条线大，每条线都包含无限数量的点，我们不得不承认，在同一类中，我们可能有大于无穷大的东西，因为点的无穷大长线大于短线中的无限点。将大于无穷大的值分配给无限量，这完全超出了我的理解。
　　Salviati：这是当我们试图用我们有限的头脑来讨论无限，将我们赋予有限和有限的那些属性分配给它时出现的困难之一；但我认为这是错误的，因为我们不能说无限量大于或小于或等于另一个量。为了证明这一点，我想到了一个论点，为了清楚起见，我将以问题的形式向提出这个困难的辛普利西奥提出。
　　我想当然地认为你知道哪些数字是正方形，哪些不是。
　　辛普利西奥：我很清楚平方数是另一个数自身相乘的结果；因此4、9等是由2、3等自身相乘得出的平方数。
　　萨尔维亚蒂：很好；而且您还知道，就像乘积称为平方一样，因子称为边或根；而另一方面，那些不包含两个相等因子的数字不是正方形。因此，如果我断言所有数字，包括正方形和非正方形，都比单独的正方形多，我会说实话，不是吗？
　　辛普利西奥：当然。
　　萨尔维亚蒂：如果我进一步问有多少个平方，可能会回答说，有多少根是对应的，因为每个平方都有自己的根，每个根都有自己的平方，而没有一个平方有多个根并且根不超过一平方。
　　辛普利西奥：正是如此。
　　萨尔维亚蒂:但是如果我问有多少根，不能否认有多少个数，因为每个数都是某个平方的根。既然如此，我们必须说，有多少平方就有多少，因为它们的数量和它们的根一样多，而且所有的数字都是根。然而一开始我们说数字比正方形多得多，因为它们中的大部分不是正方形。不仅如此，随着我们传递给更大的数字，正方形的比例数量也会减少，因此到100我们有10个正方形，也就是说，正方形佔所有数字的1/10；最多10000，我们发现只有1/100部分是正方形；高达一百万隻的1/1000部分；另一方面，如果一个人能想到这样的事情，那是无限的，
　　萨格雷多：那麽在这种情况下，我们必须得出什麽结论呢？
　　萨尔维亚蒂：据我所知，我们只能推断所有数字的总和是无限的，平方的数量是无限的，它们的根数是无限的；正方形的数量既不小于所有数字的总和，也不是后者大于前者；最后，属性“相等”、“更大”和“更少”不适用于无限量，而仅适用于有限量。因此，当Simplicio介绍了几条不同长度的线并问我为什麽较长的线不包含比较短的点更多的点时，我回答他，一条线不包含更多或更少或与另一条一样多的点，但是每行包含一个无限数。
　　——伽利略，两门新科学
　　希尔伯特大饭店悖论
　　希尔伯特的大饭店悖论（俗称：无限饭店悖论或希尔伯特饭店）是一个思想实验，它说明了无限集的反直觉性质。已经证明，拥有无限多房间的满员酒店仍然可以容纳更多的客人，甚至无限多的客人，并且这个过程可能会无限频繁地重複。这个想法是由大卫希尔伯特在1924年的演讲“ÜberdasUnendliche”中提出的，并在（希尔伯特2013年，第730页）中重印，并通过乔治·加莫夫1947年的着作《一二三...无限》得到普及。
　　悖论
　　考虑一个有无数房间的假设旅馆，所有房间都被佔用。人们可能会想，酒店将无法容纳任何新来的客人，就像在房间数量有限的情况下适用鸽巢原则的情况一样。
　　新来的客人不少
　　假设有一位新客人到达并希望入住酒店。我们可以（同时）将当前在房间1的客人移动到房间2，将当前在房间2的客人移动到房间3，依此类推，将每位客人从当前房间n移动到房间n+1。在此之后，房间1是空的，新客人可以移动到那个房间。通过重複此过程，可以为任何有限数量的新客人腾出空间。一般来说，假设有k个客人寻找房间。我们可以应用相同的程序，将每位客人从房间n移动到房间n+k。以类似的方式，如果k位客人想离开酒店，每位客人都会从房间n移动到房间n-k.
　　无限多的新客人
　　也可以容纳无限数量的新客人：只需将佔用房间1的人移动到房间2，佔用房间2的客人移动到房间4，并且通常，佔用房间n的客人移动到房间2n(2次n），所有奇数房间（可数无限）将对新客人免费。
　　无限多的教练，每辆有无限多的客人
　　有可能通过几种不同的方法来容纳无数个载有无数个乘客的车厢。大多数方法依赖于教练中已经编号的座位（或使用可数选择公理）。一般来说，任何配对函数都可以用来解决这个问题。对于这些方法中的每一种，将客车上乘客的座位号视为n,他们的教练号码是C,和数字n和C然后被输入到配对函数的两个参数中。
　　素幂法
　　将客人送入房间i到房间2i，然后将第一个教练的负载放在房间裡3n,第二个教练在房间裡的负载5n;教练号码C我们使用房间pn在哪裡p是个C第奇质数。该解决方案使某些房间空置（这可能对酒店有用，也可能没有用）；具体来说，所有不是素数的数字，例如15或847，将不再被佔用。（所以，严格来说，这表明到达人数小于或等于创造的空缺数量。通过独立的方式更容易表明到达人数也大于或等于空位，因此它们是相等的，而不是将算法修改为精确匹配。）（如果一个互换，该算法同样有效n和C，但无论做出何种选择，都必须始终统一应用。）
　　素数分解法
　　特定座位的每个人s和教练C可以放入房间2s3C（假设c=0表示已经在酒店的人，1表示第一个教练，等等）。因为每个数字都有一个唯一的素因数分解，所以很容易看出所有人都会有一个房间，而没有两个人最终会住在同一个房间。例如，2592房间的人（2534)坐在4号车厢的5号座位上。与主要权力方法一样，此解决方案使某些房间空着。
　　这种方法也可以很容易地扩展到无限夜、无限入口等。（2s3C5n7e...)
　　交错法
　　对于每位乘客，比较n和C用任何位置数字系统书写，例如十进制。（将每位酒店居民视为乘坐#0号车。）如果任一数字较短，则添加前导零，直到两个值的位数相同。将数字交叉产生一个房间号：其数字将是[车厢号的第一位]-[座位号的第一位]-[车厢号的第二位]-[座位号的第二位]-等等。1729号房间的酒店（0号教练）客人移动到01070209号房间（即1,070,209号房间）。789车厢1234座位上的乘客前往01728394房间（即1,728,394房间）。
　　与primepowers解决方案不同，这个解决方案完全填满了酒店，我们可以通过反转交错过程来重建客人原来的教练和座位。如果房间有奇数位数，首先添加前导零。然后将数字解交织成两个数字：车厢号由奇数位组成，座位号由偶数位组成。当然，原始编码是任意的，两个数字的作用可以颠倒（seat-odd和coach-even），只要应用一致即可。
　　三角数法
　　已经在酒店的人将被转移到房间(n2+n)/2，或者nth三角数。大巴上的人会在房间裡((C+n-1)2+C+n-1)/2+n，或者(C+n-1)三角数加n.这样一来，所有房间都会被一位客人填满，而且只有一位客人。
　　这种配对功能可以通过将酒店构建为一个房间深、无限高的金字塔来直观地展示。金字塔的最上面一排是单人房：房间1；第二排是2号和3号房间；等等。由最右边的房间组成的列将对应于三角形数。一旦它们被填满（由酒店重新分配的住户），剩馀的空房间就会形成与原始形状完全相同的金字塔形状。因此，可以对每个无限集重複该过程。每次为每个教练做这个需要无数个步骤，但是通过使用先前的公式，客人可以确定在此过程中到达他的教练后他的房间“将是”，并且可以简单地去那裡立即地。
　　任意枚举方式
　　让S:={(A,b)∣A,b∈ñ}.S是可数的，因为ñ是可数的，因此我们可以枚举它的元素s1,s2,….现在如果sn=(A,b),分配b的客人A教练n第房间（将已经在酒店的客人视为酒店的客人）0教练）。因此，我们有一个函数将每个人分配到一个房间；此外，此分配不会跳过任何房间。
　　进一步的无限层
　　假设酒店毗邻大海，有无数的汽车渡轮抵达，每艘载有无限多的客车，每辆客车都有无限多的乘客。这是一种涉及无穷大的三个“级别”的情况，它可以通过任何先前解决方案的扩展来解决。
　　可以通过为每个附加的无穷大层添加一个新的素数来应用素数分解方法（2s3C5F，和F渡船;海运;水运）。
　　素数幂解决方案可以通过素数的进一步求幂来应用，即使输入很小，也会产生非常大的房间数。例如，在第二个渡轮（地址2-3-2）上的第三个公共汽车的第二个座位上的乘客会将第2个奇数（5）提高到49，这是第3个奇数（7）的结果升到他的座位号(2)的幂。这个房间号将有三十多个十进制数字。
　　交错方法可以与三个交错的“链”一起使用，而不是两个。地址为2-3-2的乘客会去房间232，而地址为4935-198-82217的乘客会去房间#008,402,912,391,587（前导零可以去掉）。
　　考虑到无限客人可能有任意层数，酒店可能希望分配房间，这样无论有多少客人随后到达，客人都不需要移动。一种解决方案是将每个到达的地址转换为二进制数，其中在每一层的开头使用1作为分隔符，而给定层内的数字（例如客人的车厢号）用那麽多的零表示。因此，具有先前地址2-5-1-3-1（五个无限层）的客人将前往房间10010000010100010（十进制295458）。
　　作为此过程中的一个附加步骤，可以从数字的每个部分中删除一个零；在本例中，客人的新房间是101000011001（十进制2585）。这确保了每个房间都可以被假设的客人填满。如果没有无限组的客人到达，那麽只会佔用2次方的房间。
　　无限层嵌套
　　儘管可以为任何有限数量的嵌套无限的人找到一个房间，但对于无限数量的层并不总是如此，即使每一层存在有限数量的元素。
　　分析
　　希尔伯特悖论是一个真实的悖论：它导致了一个反直觉的结果，该结果被证明是正确的。当有无限多个房间时，“每个房间都有一个客人”和“不能再容纳更多客人”这句话是不等价的。
　　最初，这种情况似乎是违反直觉的。事物的无限集合的性质与有限事物集合的性质大不相同。希尔伯特大饭店的悖论可以用康托尔的超限数理论来理解。因此，在一个房间多于一间的普通（有限）酒店中，奇数房间的数量明显小于房间的总数。然而，在希尔伯特名副其实的大饭店裡，奇数房间的数量并不比房间的总“数”少。在数学上，包含奇数房间的子集的基数与集合的基数相同所有房间。实际上，无限集的特徵是具有相同基数的真子集的集合。对于可数集（与自然数具有相同基数的集），该基数是ℵ0.
　　换句话说，对于任何可数无限集，都存在一个双射函数，它将可数无限集映射到自然数集，即使可数无限集包含自然数。例如，有理数集——可以写成整数商的数——包含作为子集的自然数，但不大于自然数集，因为有理数是可数的：有一个来自自然到理性。
　　斯科勒姆悖论
　　在数理逻辑和哲学中，Skolem悖论是由向下的Löwenheim-Skolem定理引起的一个表面上的矛盾。ThoralfSkolem(1922)是第一个讨论该定理看似矛盾的方面，并发现现在称为非绝对性的集合论概念的相对性。虽然它不是像罗素悖论那样的实际矛盾，但其结果通常被称为悖论，并被Skolem描述为“矛盾的事态”（1922：p.295）。
　　Skolem的悖论是，一阶逻辑中集合论的每一个可数公理化，如果它是一致的，都有一个可数模型。这似乎是矛盾的，因为有可能从这些相同的公理证明一个句子直观地说明（或在理论的标准模型中精确地说明）存在不可数的集合。因此，看似矛盾的是，一个本身是可数的，因此只包含可数集的模型，满足直观地陈述“有不可数集”的一阶句子。
　　Skolem(1922)给出了对悖论的数学解释，表明它在数学中并不矛盾。Skolem的工作受到ErnstZermelo的严厉欢迎，他反对一阶逻辑的局限性，但其结果很快被数学界所接受。
　　斯科勒姆悖论的哲学含义已得到大量研究。一条询问线质疑声称任何一阶句子实际上声明“存在不可数集”是否准确。这条思路可以扩展到质疑任何集合在绝对意义上是否不可数。最近，希拉里·普特南(HilaryPutnam)的论文“模型与现实”及其回应重新引起了人们对斯科勒姆结果的哲学方面的兴趣。
　　背景
　　GeorgCantor于1874年发表的集合论的最早成果之一是存在不可数集合，例如自然数的幂集、实数集和康托集。无限集X是可数的，如果有一个函数给出X和自然数之间的一一对应关係，如果没有这样的对应函数，它是不可数的。当Zermelo在1908年提出他的集合论公理时，他从这些公理中证明了康托尔定理以证明它们的力量。
　　Löwenheim(1915)和Skolem(1920,1923)证明了Löwenheim-Skolem定理。该定理的向下形式表明，如果任何无限结构满足可数一阶公理化，则某些可数结构满足相同的公理。特别是，这意味着如果Zermelo的集合论公理的一阶版本是可满足的，那麽它们在某些可数模型中也是可满足的。对于集合论的任何一致的一阶公理化也是如此。
　　矛盾的结果及其数学含义
　　Skolem(1922)指出了Löwenheim-Skolem定理之间的表面矛盾，这意味着存在Zermelo公理的可数模型，另一方面，康托尔定理指出存在不可数集，并且它是由策梅洛公理证明。“据我所知，”斯科勒姆写道，“没有人注意到这种奇特且明显自相矛盾的事态。凭藉公理，我们可以证明更高基数的存在……那麽，它怎麽可能，整个域B[Zermelo公理的可数模型]已经可以通过有限正整数来枚举？”（Skolem1922，第295页，Bauer-Mengelberg翻译）。
　　更具体地说，设B是Zermelo公理的可数模型。然后在B中有一些集合u使得B满足一阶公式，即u是不可数的。例如，可以将u视为B中的实数集。现在，因为B是可数的，所以只有可数个元素c使得c∈u根据B，因为B中只有可数个元素c开始。这样看来，你应该是可数的。这就是斯科伦悖论。
　　斯科勒姆继续解释为什麽没有矛盾。在集合论的特定模型的上下文中，术语“集合”不是指任意集合，而仅指实际包含在模型中的集合。可数性的定义要求必须存在一定的一一对应，它本身就是一个集合。因此，可以认识到一个特定的集合u是可数的，但在特定的集合论模型中是不可数的，因为模型中没有集合可以给出u和其中的自然数之间的一一对应关係。模型。
　　从将模型解释为我们对这些集合的传统概念，这意味着儘管u映射到一个不可数集合，但在我们直观的u概念中有许多元素在模型中没有对应的元素。然而，该模型是一致的，因为通过一阶逻辑无法观察到这些元素的缺失。以u作为实数，这些缺失的元素将对应于无法定义的数字。
　　Skolem使用术语“相对”来描述这种情况，即同一集合包含在两个集合论模型中，在一个模型中是可数的，而在另一个模型中是不可数的。他将此描述为他论文中“最重要的”结果。当代集合论者将不依赖于传递模型选择的概念描述为绝对的。在他们看来，Skolem悖论只是表明可数性不是一阶逻辑中的绝对属性。（Kunen1980第141页；Enderton2001第152页；Burgess1977第406页）。
　　Skolem将他的工作描述为对（一阶）集合论的批评，旨在说明其作为基础系统的弱点：
　　“我相信，很明显，集合公理化并不是一个令人满意的数学终极基础，以至于数学家在大多数情况下不会很关心它。但最近，我惊讶地发现如此多的数学家认为集合论的这些公理为数学提供了理想的基础；因此在我看来，是时候进行批判了。”（艾宾浩斯和范达伦，2000年，第147页）
　　数学界的接待
　　集合论早期研究的一个中心目标是为集合论找到一个分类的一阶公理化，这意味着公理将只有一个模型，由所有集合组成。Skolem的结果表明这是不可能的，这引发了人们对使用集合论作为数学基础的怀疑。一阶逻辑理论需要一段时间才能发展到足以让数学家理解斯科勒姆结果的原因。在1920年代，悖论没有得到广泛接受。Fraenkel(1928)仍然将结果描述为矛盾：
　　“关于二律背反的书籍还没有完结，也没有就其重要性和可能的​​解决方案达成一致。”（vanDalen和Ebbinghaus，2000年，第147页）。
　　1925年，冯·诺依曼提出了一种新颖的集合论公理化，发展成NBG集合论。冯·诺依曼非常了解斯科勒姆1922年的论文，他详细研究了他的公理的可数模型。冯·诺依曼在结束语中评论说，集合论或任何其他具有无限模型的理论都没有分类公理化。谈到斯科勒姆悖论的影响，他写道：
　　“目前我们只能指出，我们还有一个理由对集合论持保留态度，而且目前尚无恢復这一理论的方法。”（艾宾浩斯和范达伦，2000年，第148页）
　　Zermelo起初认为Skolem悖论是一个骗局（vanDalenandEbbinghaus,2000,p.148ff.）并从1929年开始反对它。Skolem的结果仅适用于现在所谓的一阶逻辑，但Zermelo反对一阶逻辑基础的有限元数学（Kanamori2004,p.519ff.）。Zermelo认为他的公理应该在二阶逻辑中进行研究，而Skolem的结果并不适用。Zermelo在1930年发表了一个二阶公理化，并在这种情况下证明了几个分类结果。在Skolem的论文之后，Zermelo在集合论基础上的进一步工作导致他发现了累积层次结构和形式化无限逻辑（vanDalen和Ebbinghaus，2000，注11）。
　　弗兰克尔等人。(1973,pp.303–304)解释了为什麽Skolem的结果让1920年代的理论家如此惊讶。哥德尔的完备性定理和紧緻性定理直到1929年才被证明。儘管哥德尔对完备性定理的原始证明很複杂，但这些定理阐明了一阶逻辑的行为方式并确立了其有限性。莱昂·亨金直到1947年才提出了完备性定理的替代证明，它现在是构建一致一阶理论的可数模型的标准技术。因此，在1922年，允许斯科勒姆悖论的一阶逻辑的特殊性质要通过还没有理解。现在知道，Skolem悖论是一阶逻辑所独有的；如果使用具有完整语义的高阶逻辑来研究集合论，那麽由于使用了语义，它没有任何可数模型。
　　当前的数学观点
　　当前的数理逻辑学家并不认为斯科勒姆悖论是集合论中的任何致命缺陷。Kleene(1967,p.324)将结果描述为“不是完全矛盾意义上的悖论，而是一种反常现象”。在调查了Skolem关于结果并不矛盾的论点后，Kleene得出结论：“没有绝对的可数性概念”。Hunter(1971,p.208)将这种矛盾描述为“几乎不是悖论”。弗兰克尔等人。(1973,p.304)解释说，当代数学家并不为一阶理论缺乏分类而烦恼，就像他们为哥德尔不完备定理的结论所烦恼一样，即没有一致、有效和足够强的一阶理论集公理是完整的。
　　ZF的可数模型已成为研究集合论的常用工具。例如，强迫经常用可数模型来解释。这些ZF的可数模型仍然满足存在不可数集的定理这一事实不被认为是病态；vanHeijenoort(1967)将其描述为“形式系统的一个新颖且出人意料的特徵”（vanHeijenoort1967,p.290）。
　　芝诺悖论
　　芝诺的悖论是一组哲学问题，通常被认为是由希腊哲学家埃利亚的芝诺（约公元前490-430年）设计的，以支持巴门尼德的学说，即与人的感官证据相反，相信多元化和变化是错误的,特别是那个运动只不过是一种幻觉.根据柏拉图的《巴门尼德》（128a-d），通常假设芝诺承担了创造这些悖论的计划因为其他哲学家对巴门尼德的观点提出了悖论。因此柏拉图让芝诺说悖论的目的“是为了表明他们关于存在多的假设，如果得到适当的跟进，会导致比假设它们是单一的假设更荒谬的结果。”柏拉图让苏格拉底声称芝诺和巴门尼德在本质上争论的是同一点。芝诺的九个倖存的悖论中的一些（保存在亚里士多德的物理学和辛普利修斯的评论中）本质上是等价的。亚里士多德反驳了其中的一些观点。下面将详细介绍其中三个最强大和最着名的——阿喀琉斯和乌龟的论证、二分法论证和飞行中的箭的论证。
　　芝诺的论点可能是证明方法的第一个例子，这种证明方法称为reductioadabsurdum，也称为反证法。它们也被认为是苏格拉底使用的辩证法的来源。一些数学家和历史学家，例如卡尔·博耶，认为芝诺悖论只是数学问题，现代微积分为其提供了数学解决方案。然而，一些哲学家说芝诺的悖论及其变体（见汤姆森灯）仍然是相关的形而上学问题。悖论的起源有些不清楚。DiogenesLaërtius是关于芝诺和他的教义的第四个信息来源，引用Favorinus的话，说芝诺的老师巴门尼德是第一个介绍阿喀琉斯和乌龟悖论的人。但在后来的一段中，Laërtius将悖论的起源归咎于芝诺，并解释说Favorinus不同意。
　　运动的悖论
　　二分悖论
　　运动中的东西必须在到达目标之前到达中途阶段。
　　——正如亚里士多德所叙述的，物理学VI:9,239b10
　　假设亚特兰大希望走到路的尽头。在她到达那里之前，她必须到达一半。在她能走到一半之前，她必须走到那裡的四分之一。在旅行四分之一之前，她必须旅行八分之一；在八分之一、十六分之一之前；等等。
　　结果序列可以表示为：
　　{⋯,116,18,14,12,1}
　　这种描述要求一个人完成无限数量的任务，芝诺认为这是不可能的。
　　该序列还提出了第二个问题，因为它不包含要运行的第一距离，因为任何可能的（有限的）第一距离都可以分成两半，因此毕竟不会是第一距离。因此，旅行甚至无法开始。那麽自相矛盾的结论将是，在任何有限距离上的旅行既不能完成也不能开始，因此所有运动都必须是一种幻觉。
　　这个论点被称为“二分法”，因为它涉及重複地将距离分成两部分。在渐近线中可以找到具有原始意义的示例。它也被称为赛马场悖论。
　　阿喀琉斯和乌龟
　　在一场比赛中，跑得最快的人永远不可能超过最慢的人，因为追赶者必须先到达被追赶者的起点，所以慢的总是领先。
　　——正如亚里士多德所叙述的，物理学VI:9,239b15
　　在阿喀琉斯和乌龟的悖论中，阿喀琉斯正在与乌龟赛跑。例如，阿基里斯允许乌龟领先100米。假设每个赛车手以某个恆定速度开始跑步，一个比另一个快。一段时间后，阿基里斯将跑100米，将他带到乌龟的起点。在此期间，乌龟跑的距离要短得多，比如2米。然后，阿喀琉斯还需要一些时间才能跑完那个距离，到那时乌龟会走得更远；然后还有更多时间到达第三个点，而乌龟继续前进。因此，每当阿喀琉斯到达乌龟所在的某个地方时，他甚至还有一段距离才能到达乌龟。正如亚里士多德所指出的，这个论点类似于二分法。然而，它缺乏静止不动的明显结论。
　　箭悖论
　　如果占据相等空间的一切事物在那一瞬间是静止的，如果在运动中的事物在任何一瞬间总是佔据这样的空间，那麽飞箭在这一瞬间和下一瞬间都是静止的但如果将两个时间瞬间都视为同一瞬间或连续瞬间，则它处于运动状态。
　　——正如亚里士多德所叙述的，物理学VI:9,239b5
　　在箭头悖论中，芝诺指出，为了发生运动，物体必须改变它所佔据的位置。他举了一个飞行中的箭的例子。他指出，在任何一个（无持续时间的）瞬间，箭头既不会移动到它所在的位置，也不会移动到它不移动的位置。它不能移动到它不存在的地方，因为它移动到那裡没有时间流逝；它不能移动到它所在的地方，因为它已经在那裡了。换句话说，在每一个瞬间都没有运动发生。如果一切在每一瞬间都是静止的，而时间完全是由瞬间组成的，那麽运动是不可能的。
　　前两个悖论划分空间，而这个悖论从划分时间开始——不是划分为片段，而是划分为点。
　　亚里士多德给出的其他三个悖论
　　地方悖论
　　来自亚里士多德：
　　如果存在的一切都有一个地方，那麽地方也将有一个地方，以此类推。
　　小米粒的悖论
　　劳特利奇哲学词典中的悖论描述：
　　论据是一粒小米落下没有声音，而一千粒穀子却有声音。因此，一千个虚无变成了某种东西，一个荒谬的结论。
　　亚里士多德的反驳：
　　芝诺说小米没有不发出声音的部分是错误的：因为没有理由说任何这样的部分在任何时候都不能移动整个蒲式耳下落时移动的空气。事实上，它本身移动的空气量甚至不及如果这部分单独移动它会移动的量：因为除了潜在之外，没有任何部分存在。
　　NickHuggett的描述：
　　这是巴门尼德式的论点，即人们不能相信自己的听觉。亚里士多德的反应似乎是，即使是听不见的声音也可以添加到听得见的声音中。
　　来自亚里士多德：
　　...关于两排物体，每排由相同数量的相同大小的物体组成，在跑道上相互通过，因为它们以相同的速度沿相反的方向前进，一排最初佔据它们之间的空间球场的目标和中点以及中点和起点之间的另一个。这...涉及到一半给定时间等于该时间的两倍的结论。
　　有关亚里士多德提出的芝诺论点的扩展说明，请参阅辛普利修斯对亚里士多德物理学的评论。
　　建议的解决方案
　　愤世嫉俗的第欧根尼
　　根据辛普利修斯的说法，愤世嫉俗的第欧根尼在听到芝诺的论点后什麽也没说，而是站起来走了，以证明芝诺的结论是错误的（见solviturambulando）。然而，要完全解决任何悖论，需要说明论证有什麽问题，而不仅仅是结论。纵观历史，已经提出了几种解决方案，其中最早记录的是亚里士多德和阿基米德的解决方案。
　　亚里士多德
　　亚里士多德(384BC−322BC)评论说，随着距离的减小，走完这些距离所需的时间也会减少，因此所需的时间也变得越来越小。亚里士多德还区分了“在可分性方面无限的事物”（例如可以在精神上被划分为更小的单元同时在空间上保持相同的空间单位）与事物（或距离）外延是无限的（“关于它们的末端”）。亚里士多德对箭头悖论的反对意见是“时间不是由不可分割的现在组成的，正如任何其他量级不是由不可分割的组成部分一样”。
　　阿基米德
　　在公元前212年之前，阿基米德已经开发出一种方法，可以为无限多个逐渐变小的项的总和推导出一个有限答案。（参见：几何级数，1/4+1/16+1/64+1/256+···，抛物线的正交。）他的论点，应用穷举法证明所讨论的无限和是等于一个特定正方形的面积，在很大程度上是几何的，但相当严格。今天的分析使用极限得到了同样的结果（见收敛级数）。这些方法允许基于Zeno规定的条件构建解决方案，即每个步骤所花费的时间量呈几何级数减少。
　　托马斯·阿奎那
　　托马斯·阿奎那在评论亚里士多德的反对意见时写道：“瞬间不是时间的一部分，因为时间不是由瞬间组成的，正如我们已经证明的那样，量级不是由点组成的。因此，不能推论事物是在给定的时间内没有运动，只是因为它在那个时间的任何瞬间都没有运动。”
　　伯特兰·罗素
　　BertrandRussell提出了所谓的“at-at运动理论”。它同意“在”无持续时间的瞬间“期间”不可能有运动，并认为运动所需要的只是箭头一次在一个点，另一个时间在另一个点，并且在这两个点之间的适当点中间时间。在这种情况下，运动只是随着时间的推移而发生的位置变化。
　　赫尔曼·外尔
　　另一个提议的解决方案是质疑芝诺在他的悖论中使用的一个假设（特别是二分法），即在空间（或时间）的任何两个不同点之间，总是存在另一个点。没有这个假设，两点之间只有有限数量的距离，因此没有无限的运动序列，悖论就解决了。根据HermannWeyl的说法，空间由有限和离散的单元构成的假设受到另一个问题的影响，由“瓦片参数”或“距离函数问题”给出。据此，离散空间中直角三角形的斜边的长度总是等于两条边之一的长度，这与几何学相矛盾。JeanPaulVanBendegem认为TileArgument可以解决，因此离散化可以消除悖论。
　　亨利柏格森
　　亨利·柏格森在他1896年的着作《物质与记忆》中提出的另一个结论是，虽然路径是可分的，但运动不是。在这个论点中，时间的瞬间和瞬间的量级在物理上并不存在。相对运动的物体不能具有瞬时或确定的相对位置，因此不能对其运动进行分数剖析。
　　彼得林兹
　　2003年，PeterLynds提出了一个非常相似的论点：芝诺的所有运动悖论都通过时间和瞬时量级在物理上不存在的结论来解决。Lynds认为，相对运动的物体不能具有瞬时或确定的相对位置（因为如果有，它就不能运动），因此不能对其运动进行分数剖析好像确实如此，正如悖论所假设的那样。有关无法同时知道速度和位置的更多信息，请参阅海森堡不确定性原理。
　　尼克·哈格特
　　NickHuggett认为芝诺是在假设这个结论，他说佔据与静止时相同的空间的物体一定是静止的。
　　现代的悖论
　　直到19世纪末，无限过程在数学上仍然存在理论上的麻烦。通过对limit的epsilon-delta定义，Weierstrass和Cauchy开发了所涉及的逻辑和微积分的严格公式。这些作品解决了涉及无限过程的数学问题。
　　虽然数学可以计算出移动的阿喀琉斯将在何时何地超越芝诺悖论的乌龟，但凯文布朗和弗朗西斯摩尔克罗夫特等哲学家声称，数学并没有解决芝诺论证的中心点，解决数学问题问题并不能解决悖论提出的所有问题。
　　通俗文学经常歪曲芝诺的论点。例如，人们常说芝诺认为无限项的总和本身必须是无限的——结果不仅是时间，而且要旅行的距离也变得无限。然而，没有一个原始的古代资料让芝诺讨论任何无限级数的总和。辛普利修斯让芝诺说“不可能在有限的时间内遍历无限数量的事物”。这提出了芝诺的问题不是求和，而是完成一项具有无限步数的任务：如果在到达B之前可以识别出无限数量的（非瞬时）事件，并且一个人甚至无法到达起点“最后的事件”？
　　汤姆·斯托帕德（TomStoppard）在他1972年的戏剧《跳投者》（Jumpers）中提供了一个幽默的观点，其中的主角，哲学教授乔治·摩尔（GeorgeMoore）暗示，根据芝诺的悖论，圣塞巴斯蒂安（SaintSebastian），一位被箭射死的3世纪基督教圣徒，死于惊吓。
　　关于芝诺悖论是否已得到解决的争论仍在继续。在《数学史：导论》（2010年）中，伯顿写道，“虽然芝诺的论点让他的同时代人感到困惑，但令人满意的解释包含了一个现在熟悉的想法，即‘收敛无限级数’的概念。”
　　BertrandRussell根据GeorgCantor的工作为悖论提供了一个“解决方案”，但布朗总结道：“鑑于从亚里士多德开始的‘最终决议’的历史，认为我们已经走到了尽头可能是愚蠢的。也许芝诺关于运动的论点，由于其简单性和普遍性，将始终作为一种“罗夏形象”，人们可以将他们最基本的现象学关注（如果他们有的话）投射到它上面。”
　　类似的中国悖论
　　大致同时在战国时期（公元前475-221年），来自同样关注逻辑和辩证法的学派的中国古代哲学家发展了与芝诺类似的悖论。除《公孙龙子》的部分内容外，名家着作大部分已失传。惠氏十论之二，暗示了无穷小的知识：无厚不可积；却是一千里的空间。
　　在他的《庄子》中记录的众多谜题中，有一个与芝诺的二分法非常相似：
　　“一尺长的棍子，每天取一半，千古不竭。”
　　——《庄子》第33章（法译）
　　墨家经典似乎提出了解决这一悖论的方法，认为在测量长度上移动时，距离不是在长度的连续部分中复盖，而是在一个阶段中复盖。由于缺乏名称学校的倖存作品，列出的大多数其他悖论都难以解释。
　　量子芝诺效应
　　1977年，物理学家ECGeorgeSudarshan和B.Misra发现，通过对系统的观察，可以阻碍（甚至抑制）量子系统的动力学演化（运动）。这种效应通常被称为“量子芝诺效应”，因为它强烈地让人想起芝诺的箭悖论。这种效应在1958年首次被理论化。
　　芝诺行为
　　在时间和混合系统的验证和设计领域，如果系统行为在有限的时间内包含无限数量的离散步骤，则称为Zeno。一些形式验证技术将这些行为排除在分析之外，如果它们不等同于非Zeno行为。在系统设计中，这些行为也经常被排除在系统模型之外，因为它们不能用数字控制器来实现。
　　刘易斯卡罗尔和道格拉斯霍夫施塔特
　　乌龟对阿基里斯说的话，由刘易斯卡罗尔于1895年撰写，试图揭示纯逻辑领域中的类似悖论。如果卡罗尔的论点是有效的，那麽这意味着芝诺的运动悖论本质上不是空间和时间问题，而是直接进入推理本身的核心。DouglasHofstadter将Carroll的文章作为他的着作Gödel,Escher,Bach:AnEternalGoldenBraid的核心，写了更多阿基里斯和乌龟之间的对话来阐明他的论点。霍夫施塔特将芝诺的悖论与哥德尔的不完备定理联繫起来试图证明芝诺提出的问题在形式系统理论、计算和心灵哲学中是普遍存在的。