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　　超级任务
　　在哲学中，超级任务是在有限的时间间隔内顺序发生的可数无限的操作序列。当操作的数量变得不可数无限时，超级任务被称为超级任务。每个序号包含一个任务的超任务称为超任务。“超级任务”一词是由哲学家詹姆斯·F·汤姆森（JamesF.Thomson）创造的，他设计了汤姆森的灯。“超任务”一词来源于Clark和Read在他们的同名论文中。
　　历史
　　芝诺
　　运动
　　对超级任务感兴趣的起源通常归因于Elea的Zeno。芝诺声称运动是不可能的。他论证如下：假设我们新兴的“推动者”，阿喀琉斯说，希望从A移动到B。为了实现这一目标，他必须从A到B穿过一半距离。为了从AB的中点到达B，Achilles必须穿过这一半距离，等等等等。无论他多次执行这些“穿越”任务中的一项，在他到达B之前还有另一项任务要完成。因此，根据Zeno的说法，运动（在有限时间内移动非零距离）是一个超级任务。Zeno进一步认为，超级任务是不可能的（如果每次遍历都会有另一个遍历，那麽如何完成这个序列？）。因此，运动是不可能的。
　　Zeno的论证採用以下形式：
　　运动是一项超级任务，因为在任何设定距离上完成运动都涉及无限数量的步骤
　　超级任务是不可能的
　　因此，运动是不可能的
　　大多数后来的哲学家拒绝芝诺的大胆结论，支持常识。相反，他们颠倒了论点并将其作为矛盾的证据，其中动议的可能性被认为是理所当然的。他们接受了运动的可能性，并运用了对Zeno的论点的方式（对立）来得出结论，即任一运动都不是超级任务，或者并非所有超级任务都是不可能的。
　　阿喀琉斯和乌龟
　　芝诺本人也讨论了他所谓的“阿喀琉斯”的概念无限地。虽然这些距离会变得非常小，但它们仍将是有限的，而阿喀琉斯对乌龟的追逐将成为一项永无止境的超级任务。已经对这个特殊的悖论进行了很多评论。许多人声称它发现了常识的漏洞。
　　汤姆森
　　JamesF.Thomson认为运动不是超级任务，他坚决否认超级任务是可能的。他考虑了一盏灯，可以开也可以关。在时间t=0时，灯关闭，而开关在t=1/2时打开；之后，与之前一样等待一半的时间后，开关被翻转。Thomson询问t=1时的状态是什麽，此时开关已被无限次翻转。他的理由是它不能打开，因为它从来没有被关闭的时候，反之亦然，并产生矛盾。他的结论是，超级任务是不可能的。
　　贝纳塞拉夫
　　PaulBenacerraf认为，儘管Thomson有明显的矛盾，但超级任务至少在逻辑上是可能的。Benacerraf同意Thomson的观点，因为他概述的实验不能确定灯在t=1时的状态。然而，他不同意Thomson的观点，因为他可以从中得出矛盾，因为灯在t=1时的状态不能逻辑上由前面的状态决定。
　　现代文学
　　大多数现代文学作品都来自贝纳塞拉夫的后裔，他们心照不宣地接受了超级任务的可能性。拒绝他们的可能性的哲学家往往不会以汤姆森等理由拒绝他们，而是因为他们对无限的概念本身有疑虑。当然，也有例外。例如，McLaughlin声称，如果用内部集合论（实分析的一种变体）进行分析，则汤姆森灯是不一致的。
　　数学哲学
　　如果超级任务是可能的，那麽数论中未知命题的真假，比如哥德巴赫猜想，甚至是不可判定的命题，都可以在有限的时间内通过对所有自然数集合的蛮力搜索来确定。然而，这将与Church-Turing论点相矛盾。一些人认为这给直觉主义带来了问题，因为直觉主义者必须区分实际上无法证明的事物（因为它们太长或太複杂；例如Boolos的“CuriousInference”），但仍然被认为是“可证明的”，以及那些在上述意义上可以通过无限的蛮力证明。
　　物理可能性
　　一些人声称汤姆森灯在物理上是不可能的，因为它必须有部件以比光速更快的速度移动（例如，灯开关）。阿道夫·格林鲍姆暗示灯可能有一条电线，当提起时，会破坏电路并关闭灯；然后，每次关闭灯时，该条带可以提升较小的距离，保持恆定的速度。然而，这样的设计最终会失败，因为最终触点之间的距离会非常小，以至于电子可以跳过间隙，从而完全防止电路被破坏。儘管如此，对于人类或任何设备而言，要感知或作用于灯的状态，必须进行一些测量，例如来自灯的光必须到达眼睛或传感器。任何这样的测量都需要一个固定的时间框架，无论多小，因此，在某些时候，状态测量是不可能的。由于即使在原则上也无法确定t=1时的状态，
　　已经提出了其他物理上可能的超级任务。在一个提议中，一个人（或实体）从1向上计数，花费了无限的时间，而另一个人从参考系中观察到这一点，而这发生在有限的时间空间内。对于柜檯来说，这不是一个超级任务，但对于观察者来说，它是。（理论上，这可能是由于时间膨胀而发生的，例如，如果观察者在观察相对于奇点位置固定的计数器时掉入黑洞。）GustavoE.Romero在论文“超级任务的崩溃”坚持认为，任何执行超级任务的尝试都将导致黑洞的形成，使超级任务在物理上变得不可能。
　　超级图灵机
　　超级任务对理论计算机科学的影响引发了一些新的有趣的工作，例如Hamkins和Lewis——“无限时间图灵机”。
　　突出的超级任务
　　罗斯-利特尔伍德悖论
　　假设有一个罐子可以容纳无限多的弹珠和无限的弹珠集合，标记为1、2、3等。在时间t=0时，将弹珠1到10放入罐中，然后取出弹珠1。在t=0.5时，将弹珠11到20放入罐中，取出弹珠2；在t=0.75时，将弹珠21至30放入罐中，取出弹珠3；通常在时间t=1-0.5n时，将10n+1到10n+10的弹珠放入罐中，取出弹珠n+1。在时间t=1时，罐子裡有多少颗弹珠？
　　一个论据指出，罐子裡应该有无限多的弹珠，因为在t=1之前的每一步，弹珠的数量都会从前一步增加，并且是无限的。然而，第二个论点表明罐子是空的。考虑以下论点：如果罐子不是空的，那麽罐子裡一定有一个弹珠。让我们说那块大理石标有数字n。但是在时间t=1-0.5n-1时，第n个大理石已经被取出，所以大理石n不能在罐子裡。这是一个矛盾，所以罐子一定是空的。罗斯-利特尔伍德悖论是，这裡有两个看似完美的论点却得出完全相反的结论。
　　贝纳尔代特悖论
　　JABenardete的“众神悖论”引起了相当大的兴趣：
　　一个人从点α走了一英里。但是有无数的神，每个人都不知道，想要阻挠他。如果他达到半英里点，其中一个会设置障碍阻止他进一步前进，如果他达到四分之一英里点，第二个会设置障碍，如果他跑到八分之一英里，第三个会设置障碍，以此类推。所以他甚至无法开始，因为无论他走多远，他都已经被障碍物挡住了。但是那样的话，障碍就不会升起，所以没有什麽可以阻止他出发。仅仅因为众神未实现的意图，他被迫留在原地。
　　—M.Clark，《从A到Z的悖论》
　　死神悖论
　　受到JABenardete关于无限系列刺客的悖论的启发，DavidChalmers将这个悖论描述如下：
　　有无数个死神，每一个正整数一个。死神1准备在下午1点用镰刀杀死你，当且仅当你还活着时（否则他的镰刀始终不动），大约需要30分钟。死神2准备在下午12:30用镰刀杀死你，当且仅当你还活着的时候，大约需要15分钟。死神3准备在下午12:15用镰刀杀死你，依此类推。中午12点之前你还活着，你只能通过死神镰刀的动作而死，一旦死了你就死了。从表面上看，这种情况似乎是可以想像的——每个收割者似乎都是可以单独和内在地想像的，将具有不同内在属性的不同个体组合成一种情况似乎是合理的。但稍加思考就会发现，所描述的情况是矛盾的。我不能活到12点以后的任何时刻（死神会先抓住我），但我不能被杀死（死神n要杀我，我必须在死神n+1中倖存下来，这是不可能的）。
　　它通过用于论证有限的过去而在哲学中获得了重要意义，从而与卡拉姆宇宙论论证相关。
　　戴维斯的超级机器
　　由E.BrianDavies提出，这是一台机器，它可以在半小时内创建一个自身的精确複製品，它的大小只有它的一半，複製速度是它的两倍。反过来，这个副本将创建一个具有相同规格的更快的自身版本，从而产生一个在一小时后完成的超级任务。此外，如果机器在父机器和子机器之间创建了一条通信链路，从而产生连续更快的带宽，并且机器能够进行简单的算术运算，那麽这些机器可以用于执行未知猜想的强力证明。然而，戴维斯也指出——由于真实宇宙的基本特性，如量子力学、热噪声和信息论——他的机器实际上无法建造。
　　格兰迪系列
　　在数学中，无穷级数1−1+1−1+⋯，也写成
　　∑n=0∞(-1)n
　　有时被称为Grandi级数，以意大利数学家、哲学家和牧师GuidoGrandi的名字命名，他在1703年对该级数进行了令人难忘的处理。它是一个发散级数，意味着它缺乏通常意义上的总和。另一方面，它的切萨罗和是1/2。
　　不严谨的方法
　　攻击系列的一种明显方法
　　1-1+1-1+1-1+1-1+...
　　就是把它当作一个伸缩序列来处理，并就地执行减法：
　　(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0。
　　另一方面，类似的包围过程会导致明显矛盾的结果
　　1+(−1+1)+(−1+1)+(−1+1)+...=1+0+0+0+...=1。
　　因此，通过以不同方式将括号应用于格兰迪级数，可以获得0或1作为“值”。（这个想法的变体，称为Eilenberg-Mazur骗局，有时用于结理论和代数。）
　　将Grandi级数视为发散几何级数，并使用与计算收敛几何级数相同的代数方法来获得第三个值：
　　S=1-1+1-1+...，所以
　　1-S=1-(1-1+1-1+...)=1-1+1-1+...=S
　　1-S=S
　　1=2S,
　　导致S=1/2.计算−S得出相同的结论，从S中减去结果，并求解2S=1。
　　上述操作没有考虑级数之和的实际含义以及如何将所述代数方法应用于发散几何级数。儘管如此，就能够随意给级数加上括号很重要，并且能够用它们进行算术运算更重要，我们可以得出两个结论：
　　系列1−1+1−1+...没有和。
　　...但它的总和应该是1/2.
　　事实上，这两个陈述都可以得到精确和正式证明，但只能使用19世纪出现的明确定义的数学概念。在17世纪晚期欧洲引入微积分之后，但在现代严谨性出现之前，这些答案之间的紧张关係助长了数学家之间被称为“无休止”和“暴力”的争论。
　　与几何级数的关係
　　对于任何号码r在区间(-1,1),几何级数的无穷和可以通过
　　limñ→∞∑n=0ñrn=∑n=0∞rn=11-r.
　　对于任何ε∈(0,2),从而发现
　　∑n=0∞(−1+ε)n=11−(−1+ε)=12−ε,
　　所以限制ε→0系列评估是
　　limε→0limñ→∞∑n=0ñ(-1+ε)n=12.
　　但是，如前所述，通过切换限制获得的系列，
　　limñ→∞limε→0∑n=0ñ(-1+ε)n=∑n=0∞(-1)n
　　是发散的。
　　在復分析方面，12因此被视为价值在z=-1该系列的分析延续∑n=0ñzn，仅在復单位盘上定义，|z|<1.
　　早期的想法
　　分歧
　　在现代数学中，无限级数的和被定义为其部分和的序列的极限，如果它存在的话。格兰迪级数的部分和序列是1,0,1,0,...，这显然不接近任何数字（儘管它在0和1处确实有两个累积点）。因此，格兰迪的系列是发散的。
　　可以证明，对一个序列执行许多看似无害的操作是无效的，例如对单个项进行重新排序，除非该序列是绝对收敛的。否则这些操作会改变求和的结果。此外，格兰迪级数的项可以重新排列，使其累积点位于两个或多个连续整数的任何间隔处，而不仅仅是0或1。例如，级数
　　1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-⋯
　　（其中，在五个初始+1项之后，这些项以成对的+1和-1项交替出现）是格兰迪级数的排列，其中重新排列的级数中的每个值对应于一个值，该值最多离它在原始系列中；它的累积点是3、4和5。
　　教育
　　认知影响
　　大约在1987年，AnnaSierpińska将Grandi的系列介绍给华沙中学的一群17岁的初等学生。她专注于人文学科学生，期望他们的数学经验不如学习数学和物理的同龄人那麽重要，因此他们表现出的认识论障碍将更能代表中学学生可能仍然存在的障碍。
　　Sierpińska最初希望学生们不愿为Grandi的级数分配一个值，此时她可以通过声称1−1+1−1+···=1⁄2作为几何级数公式的结果来震惊他们。理想情况下，通过寻找推理中的错误和研究各种常用比率的公式，学生会“注意到有两种级数，就会产生一个隐含的收敛概念”。然而，学生们对被告知1-1+1-1+···=1⁄2甚至是1+2+4+8+···=-1并没有表现出震惊。Sierpińska指出，先验，鑑于莱布尼茨和格兰迪认为1⁄2是一个合理的结果，学生的反应应该不会太令人惊讶；
　　“然而，事后对学生们缺乏震惊的解释可能有些不同。他们平静地接受了这种荒谬，因为毕竟‘数学是完全抽象的，远离现实’，而且‘与那些数学正如其中一个男孩后来所说的那样，你可以证明各种胡说八道的转变。”
　　学生们最终也不能倖免于趋同的问题。第二天，Sierpińska通过将其与十进制扩展联繫起来，成功地让他们参与了这个问题。一旦0.999...=1让学生们大吃一惊，她的其馀材料就“从他们的耳朵裡消失了”。
　　先入为主
　　在2000年左右在意大利特雷维索进行的另一项研究中，LiceoScientifico三年级和四年级学生（16至18岁之间）收到了卡片，询问以下内容：
　　“1703年，数学家GuidoGrandi研究了加法：1–1+1–1+...（加数，无限多，总是+1和–1）。您对此有何看法？”
　　学生们被介绍了无限集的概念，但他们之前没有无限系列的经验。他们有十分钟的时间没有书本或计算器。88份回複分类如下：
　　(26)结果为0
　　(18)结果可以是0或1
　　(5)结果不存在
　　(4)结果是1⁄2
　　(3)结果为1
　　(2)结果是无限的
　　(30)没有答案
　　研究员乔治·巴尼(GiorgioBagni)採访了几名学生以确定他们的推理。其中大约16人使用类似于Grandi和Riccati的逻辑来证明0的答案是正确的。其他人认为1⁄2是0和1的平均值。Bagni指出，他们的推理虽然与莱布尼茨的相似，但缺乏对18世纪数学如此重要的概率基础。他的结论是，这些反应与历史发展和个人发展之间的联繫是一致的，儘管文化背景不同。
　　前景
　　JoelLehmann将区分不同总和概念的过程描述为在概念裂缝上架起一座桥樑：对18世纪数学的分歧的困惑。
　　“由于系列通常没有历史记录，与应用程序分开，学生不仅想知道“这些东西是什麽？”而且想知道“我们为什麽要这样做？”专注于确定收敛性而不是总和使得整个过程看起来对许多学生和教师来说都是虚假的和毫无意义的。”
　　结果，许多学生形成了类似于欧拉的态度：
　　“......自然产生的问题（即来自自然）确实有解决方案，因此事情最终会解决的假设在实验上是合理的，不需要存在某种证明。假设一切都好，如果到达解决方案行得通，你可能是对的，或者至少是对的。......那麽，为什麽要为只出现在家庭作业问题中的细节烦恼呢？”
　　Lehmann建议用Callet对Euler对Grandi级数的处理提出的同一个例子来解决这个反对意见。
　　可总结性
　　相关问题
　　级数1-2+3-4+5-6+7-8+....（直到无穷大）也是发散的，但可以使用一些方法将其求和为1⁄4。这是大多数求和方法赋予格兰迪级数的值的平方，这是合理的，因为它可以被视为格兰迪级数的两个副本的柯西乘积。