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　　两个信封问题
　　两个信封问题，也称为交换悖论，是概率论中的一个悖论。它对决策理论和概率论的贝叶斯解释特别感兴趣。它是一个被称为领带悖论的老问题的变体。该问题通常是通过制定一个假设的挑战来引入的，如下例所示：
　　想像一下，给你两个相同的信封，每个信封都装着钱。一个包含两倍于另一个。您可以选择一个信封并保留其中的钱。随意选择了一个信封，但在检查它之前，您有机会更换信封。你应该换吗？
　　由于情况是对称的，显然没有必要切换信封。另一方面，使用期望值的简单计算得出了相反的结论，即交换信封总是有益的，因为如果换信封，人们将获得两倍的钱，而唯一的风险是将他们目前拥有的东西减半。
　　介绍
　　问题
　　基本设置：给一个人两个无法区分的信封，每个信封都包含一笔钱。一个信封的内容是另一个信封的两倍。该人可以选择一个信封并保留其中包含的任何数量。他们随机挑选一个信封，但在打开它之前，他们有机会取走另一个信封。
　　切换论点：现在假设人的理由如下：
　　用A表示玩家所选信封中的金额。
　　A是较小数量的概率是1/2，它是较大数量的概率也是1/2。
　　另一个信封可能包含2A或A/2。
　　如果A是较小的数量，则另一个信封包含2A。
　　如果A是较大的数量，则另一个信封包含A/2。
　　因此，另一个包络包含概率为1/2的2A和概率为1/2的A/2。
　　所以另一个信封裡的钱的期望值是：
　　12(2A)+12(A2)=54A
　　这大于A，因此，平均而言，人们认为他们可以通过交换获得收益。
　　切换后，用B表示内容，原因同上。
　　该人得出的结论是，最合理的做法是再次交换回来。
　　因此，此人最终将无限期地交换信封。
　　由于只打开一个信封比无限期地交换更合理，因此玩家会遇到矛盾。
　　谜题：谜题是找出上面推理线中的缺陷。这包括准确确定该步骤不正确的原因和条件，以确保在错误可能不那麽明显的情况下不会犯此错误。简而言之，问题在于解决悖论。特别是，这个难题并不能通过寻找另一种方法来计算不会导致矛盾的概率来解决。
　　提出的解决方案的多样性
　　已经提出了许多解决方案，通常一位作者提出解决问题的方法，然后另一位作者表明，稍微改变问题会使悖论復活。这样的讨论序列产生了一系列密切相关的问题表述，从而产生了大量关于该主题的文献。
　　没有提出的解决方案被广泛接受为确定性的；儘管如此，作者通常声称该问题的解决方案很容易，甚至是初级的。然而，在研究这些基本解决方案时，他们往往因一位作者而异。
　　示例分辨率
　　两个信封中的总金额是一个常数C=3X，和X在一个信封和2X在另一个。
　　如果您选择信封X首先你获得金额X通过交换。如果您选择信封2X首先你会损失金额X通过交换。所以你平均获得G=12(X)+12(-X)=12(X-X)=0通过交换。
　　交换并不比保留好。期望值E=122X+12X=32X两个信封都是一样的。因此不存在矛盾。
　　着名的神秘现像是由两种不同的情况和情况的混合引起的，给出了错误的结果。所谓的“悖论”是指两个已指定且已锁定的信封，其中一个信封已被锁定，其金额是另一个已锁定信封的两倍。而第6步大胆地声称“因此，另一个信封包含概率为1/2的2A和概率为1/2的A/2。”，在给定的情况下，该声明永远不会适用于任何A或任何平均A。
　　这种说法对于所呈现的情况永远不正确，这种说法仅适用于Nalebuff不对称变体（见下文）。在所呈现的情况下，另一个信封通常不能包含2A，但只能在非常具体的情况下包含2A，其中信封A偶然包含较少量的全部的3，但没有其他地方。另一个信封通常不能包含A/2，但只能在非常具体的情况下包含A/2，其中信封A碰巧实际上包含2全部的3，但没有其他地方。两个已经指定并锁定的信封之间的区别总是全部的3.没有“平均量A”可以为任何期望值形成任何初始基础，因为这并没有触及问题的核心。
　　其他简单的解决方案
　　在流行文学和部分学术文献，尤其是哲学中，解决这个悖论的一种常见方法是假设步骤7中的“A”是信封A中的预期值，并且我们打算写写出信封B中期望值的公式。
　　第7步表明B中的期望值=1/2(2A+A/2)
　　需要指出的是，公式第一部分中的'A'是期望值，假设包络A包含小于包络B，但是公式第二部分中的'A'是A中的期望值，假设信封A包含的信封B多于信封B。该论点的缺陷是，在同一计算的两个部分中使用了具有两种不同含义的相同符号，但假定在两种情况下都具有相同的值。
　　正确的计算是：
　　B中的期望值=1/2（（B中的期望值，给定A大于B）+（B中的期望值，给定A小于B））
　　如果我们然后将一个信封中的总和设为x，将另一个信封中的总和设为2x，则期望值计算变为：
　　B中的期望值=1/2(x+2x)
　　等于A中的预期总和。
　　在非技术语言中，出现问题的地方（参见领带悖论）是，在所提供的场景中，数学使用A和B的相对值（也就是说，它假设如果A小于B如果相反，一个人会输）。但是，货币的两种价值是固定的（一个信封包含20美元，另一个包含40美元）。如果将信封的值重新表述为x和2x，则更容易看出，如果A更大，则通过切换会失去x，如果B更大，则通过切换会获得x。一个人不会通过转换获得更多的钱，因为A和B的总T(3x)保持不变，差x固定为T/3。
　　第7行应该更仔细地制定如下：
　　E⁡(B)=E⁡(B∣A<B)P(A<B)+E⁡(B∣A>B)P(A>B)=E⁡(2A∣A<B)12+E⁡(12A∣A>B)12=E⁡(A∣A<B)+14E⁡(A∣A>B)
　　当A大于B时，A会比小于B时更大。因此，这两种情况下的平均值（期望值）是不同的。无论如何，A的平均值与A本身并不相同。犯了两个错误：作者忘记了他在取期望值，他忘记了他在两种不同的条件下取期望值。
　　直接计算E(B)会更容易。用x表示两个数量中的较低者，并将其固定（即使未知），我们发现
　　E⁡(B)=122X+12X=32X
　　我们了解到1.5x是信封B中金额的预期值。通过相同的计算，它也是信封A中金额的预期值。它们是相同的，因此没有理由更喜欢一个信封。当然，这个结论是显而易见的。关键是我们通过准确解释在那裡进行的计算偏离轨道的位置来识别切换参数中的错误步骤。
　　我们还可以从第7行中正确但难以解释的开发结果继续：
　　E⁡(B)=B⁡(A∣A<B)+14乙⁡(A∣A>B)=X+142X=32X
　　所以（当然）计算相同事物的不同路线都会给出相同的答案。
　　Tsikogiannopoulos提出了一种不同的方法来进行这些计算。根据定义，将相等的概率分配给另一个信封包含信封A中数量的两倍或一半的事件是正确的。因此，“切换参数”在步骤6之前是正确的。假设玩家的信封包含数量A，他区分两个不同游戏中的实际情况：第一个游戏将使用金额(A,2A)进行，第二个游戏使用金额(A/2,A)。实际上只有其中一个被播放，但我们不知道是哪一个。这两种游戏需要区别对待。如果玩家想要计算他/她在交换情况下的预期收益（利润或损失），他/她应该用该特定游戏中两个信封中的平均金额来衡量每个游戏的收益。在第一种情况下，利润将是A，平均金额为3A/2，而在第二种情况下，损失将是A/2，平均为3A/4。因此，在交换的情况下，预期收益的公式，被视为两个信封中总金额的比例，是：
　　E=12⋅+A3A/2+12⋅-A/23A/4=0
　　这个结果再次意味着玩家必须通过交换他/她的信封来预期既不会盈利也不会亏损。
　　我们实际上可以在决定是否切换之前打开我们的信封，上面的公式仍然会给我们正确的预期回报。例如，如果我们打开我们的信封，发现裡面有100欧元，那麽我们将在上面的公式中设置A=100，并且在转换时的预期回报为：
　　B=12⋅+100150+12⋅-5075=0
　　Nalebuff不对称变体
　　确定两个信封的数量的机制对于玩家决定切换他们的信封至关重要。假设两个信封A和B的金额不是先固定两个信封E1和E2的内容，然后随机命名它们A和B（例如，通过抛公平硬币[10]）。相反，我们从一开始就在信封A中放入一些金额，然后以取决于机会（抛硬币）和放入A中的内容的方式填充B。假设首先金额a信封A中的金额以某种方式固定，然后根据公平硬币的结果，信封B中的金额是固定的，具体取决于A中已有的内容。如果硬币正面朝上，则将2a放入信封B，如果硬币正面朝上，则将/2放入信封B。如果玩家知道这种机制，并且知道他们持有信封A，但不知道掷硬币的结果，不知道a，则切换参数是正确的，建议他们切换信封。这个版本的问题是由Nalebuff(1988)提出的，通常被称为阿里巴巴问题。请注意，无需查看信封A即可决定是否切换。
　　已经引入了该问题的更多变体。Nickerson和Falk系统地调查了总共8个。
　　贝叶斯分辨率
　　上面的简单解决方案假设发明转换参数的人试图计算信封A中金额的期望值，认为信封中的两个金额是固定的（x和2x）。唯一的不确定性是哪个信封的x量较小.然而，许多数学家和统计学家将这个论点解释为试图计算信封B中的预期数量，给定信封A中的真实或假设数量“A”。人们无需查看信封即可查看裡面有多少,以便进行计算。如果计算的结果是换信封的建议，不管裡面有多少，那麽看起来无论如何都应该换信封，而不用看。在这种情况下，在推理的步骤6、7和8中，“A”是第一个信封中金额的任何固定可能值。
　　这种对两个信封问题的解释出现在第一批以现代形式引入悖论的出版物中，Gardner(1989)和Nalebuff(1989)。在有关该问题的更多数学文献中很常见。它也适用于对问题的修改（似乎是从Nalebuff开始的），其中信封A的所有者在决定是否切换之前确实会查看他的信封；虽然Nalebuff也强调，没有必要让信封A的主人看他的信封。如果他想像在裡面看，并且如果他能想像在裡面的任何数量，他有一个要转换的论据，那麽他无论如何都会决定转换。最后，这种解释也是早期版本的两个信封问题（Littlewood's,Schrödinger's,和Kraitchik的转换悖论）；请参阅关于TEP历史的结论部分。
　　这种解释通常被称为“贝叶斯”，因为它假设作者也在转换参数的两个信封中纳入可能金额的先验概率分佈。
　　贝叶斯分辨率的简单形式
　　简单的解决方法取决于对论证作者试图计算的内容的特定解释：即假设他在信封B中的（无条件）期望值之后。在关于两个信封问题的数学文献中，不同的解释更为常见，涉及条件期望值（以信封A中的内容为条件）。为了解决这个问题和相关的解释或版本，大多数作者使用贝叶斯解释概率论，这意味着概率推理不仅适用于真正的随机事件，例如随机挑选信封，还适用于我们对固定但未知的事物的知识（或缺乏知识），例如最初放入的两个金额两个信封，然后随机挑选一个，称为“信封A”。此外，根据至少可以追溯到拉普拉斯的悠久传统和他的不充分理由原则，当一个人根本不知道某个数量的可能值时，人们应该分配相等的概率。因此，我们没有被告知任何关于如何填充信封的事实已经可以转换为关于这些数量的概率陈述。没有信息意味着概率相等。
　　在切换论证的第6步和第7步中，作者假设信封A包含一定数量的a，然后似乎相信给定该信息，另一个信封同样可能包含该数量的两倍或一半。只有在知道信封A中的内容之前，该假设才可能是正确的，作者会同等地考虑两个信封的以下两对值：金额a/2和a；以及金额a和2a。（这遵循赔率形式的贝叶斯规则：后验赔率等于先验赔率乘以似然比）。但是现在我们可以应用相同的推理，想像不是a而是a/2在信封A中。同样，对于2a。同样，无限地重複减半或重複加倍，只要你喜欢。
　　假设为了论证起见，我们首先想像信封A中的数量为32。为了使步骤6和步骤7中的推理正确，无论信封A中发生的数量是多少，我们显然事先相信以下所有10金额都同样可能是两个信封中两个金额中较小的一个：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512（同样可能是2的幂）。但如果数量更大或更小，“等可能”的假设开始显得有点不合理。假设我们停下来，只是用这十个同样可能的可能性来处理两个信封中较小的金额。在这种情况下，如果包络A恰好包含任何数量2、4、...512，则步骤6和7中的推理是完全正确的：切换包络将产生25%的预期（平均）增益。如果信封A恰好包含金额1，那麽预期收益实际上是100%。但是，如果它恰好包含1024的数量，就会产生50%（相当大的数量）的巨大损失。这种情况只会发生20次，但恰好足以平衡20次中其他19次的预期收益。
　　或者，我们确实无限地进行，但现在我们正在处理一个非常荒谬的假设，例如，这意味着信封A中的数量小于1的可能性无限大，而大于1024的可能性则无限大，而不是在这两个值之间。这就是所谓的不正确的先验分佈：概率演算失效；期望值甚至没有定义。
　　许多作者还指出，如果存在可以放入较小金额的信封中的最大金额，那麽很容易看出第6步失败，因为如果玩家持有的金额超过了可以放入的最大金额，放入“较小”的信封中，他们必须持有包含较大金额的信封，因此肯定会因切换而失败。这可能不会经常发生，但一旦发生，玩家遭受的巨大损失意味着，平均而言，切换没有优势。一些作者认为这解决了该问题的所有实际案例。
　　但是这个问题也可以在不假设最大数量的情况下用数学方法解决。Nalebuff,ChristensenandUtts,FalkandKonold,Blachman,ChristensenandUtts,[NickersonandFalk,表示玩家对两个信封中的金额的先验信念的概率分佈，那麽无论第一个信封中的金额A=a可能是多少，根据这些先验信念，第二个信封的可能性相同包含/2或2a。因此，论证的第6步，导致总是切换，是不合逻辑的，当信封中的金额没有最大值时也是如此。
　　介绍与贝叶斯概率论有关的进一步发展
　　上面讨论的前两个解决方案（“简单解决方案”和“贝叶斯解决方案”）对应于对论证步骤6中发生的事情的两种可能解释。他们都认为第6步确实是“糟糕的一步”。但是第6步中的描述是模棱两可的。作者是在信封B中的无条件（总体）期望值之后（可能-以较小的数量x为条件），还是在给定任何可能的数量a的情况下，他是在信封B中的有条件期望之后在信封A中？因此，对于转换自相矛盾论点的作曲者的意图有两种主要的解释，以及两种主要的解决方案。
　　关于这个问题的变体，已经出现了大量文献。关于信封设置方式的标准假设是，一笔钱在一个信封中，而两倍的金额在另一个信封中。两个信封中的一个随机给玩家（信封A）。最初提出的问题没有明确说明如何确定两个和中的较小者，它可能取什麽值，特别是它可能包含的最小或最大和。然而，如果我们使用概率的贝叶斯解释，那麽我们首先通过概率分佈表达我们对两个包络中较小数量的先验信念。知识的缺乏也可以用概率来表达。
　　贝叶斯版本中的第一个变体是对两个信封中较小金额的钱提出适当的先验概率分佈，这样当正确执行步骤6时，建议仍然是更喜欢信封B，无论可能在信封A。因此，儘管在步骤6中执行的特定计算不正确（没有适当的先验分佈，因此，鑑于第一个信封A中的内容，另一个信封总是同样可能更大或更小）一个正确的计算，取决于我们之前使用的内容，是否会导致结果E(B|A=A)>A对于a的所有可能值。
　　在这些情况下，可以证明两个包络中的预期总和是无限的。平均而言，交换没有任何收益。
　　第二个数学变体
　　儘管贝叶斯概率论可以解决上述悖论的第一个数学解释，但事实证明，可以找到适当概率分佈的示例，使得第二个包络中数量的期望值（以第一个包络中的数量为条件）确实超过第一个数量，无论它可能是什麽。Nalebuff已经给出了第一个这样的例子。另见Christensen和Utts(1992)。
　　再次用A表示第一个信封中的金额，用B表示第二个信封中的金额。我们认为这些是随机的。令X为两个量中的较小者，而Y=2X为较大者。请注意，一旦我们确定了X的概率分佈，那麽A、B的联合概率分佈就固定了，因为A、B=X、Y或Y、X的概率均为1/2，与X、Y无关。
　　“总是切换”参数中的错误步骤6导致我们发现E(B|A=a)>a对于所有a，因此建议切换，无论我们是否知道a。现在，事实证明，可以很容易地为X发明适当的概率分佈，X是两个金额中较小的一个，因此这个糟糕的结论仍然是正确的。稍后将更详细地分析一个示例。
　　如前所述，无论a，给定A=a，B是否同样可能是a/2或2a，但它可能是真的，无论a，给定A=a，B的期望值更大比一个。
　　例如，假设金额较小的信封实际上包含2n美元，概率为2n/3n+1，其中n=0,1,2,...这些概率总和为1，因此分佈是适当的先验（对于主观主义者)和一个完全体面的概率定律也适用于常客。
　　想像一下第一个信封裡可能有什麽。一个明智的策略当然是在第一个信封包含1时进行交换，因为另一个信封必须包含2。另一方面，假设第一个信封包含2。在这种情况下，有两种可能性：我们面前的信封对是{1,2}或{2,4}。所有其他对都是不可能的。假设第一个包络包含2，我们正在处理{1,2}对的条件概率是
　　P({1,2}∣2)=P({1,2})/2P({1,2})/2+P({2,4})/2=P({1,2})P({1,2})+P({2,4})=1/31/3+2/9=3/5,
　　因此，它是{2,4}对的概率是2/5，因为这是仅有的两种可能性。在这个推导中，P({1,2})/2是包络对是对1和2，并且包络A恰好包含2的概率；P({2,4})/2是信封对是2和4的概率，并且（再次）信封A恰好包含2。这是信封A最终包含数量2的唯一两种方式。
　　事实证明，除非第一个信封包含1，否则这些比例一般都成立。用a表示我们想像在信封A中找到的数量，如果我们要打开那个信封，并假设对于某些n≥1，a=2n。在这种情况下，另一个包络包含概率为3/5的/2和概率为2/5的2a。
　　因此，要么第一个信封包含1，在这种情况下，另一个信封中的条件预期金额为2，要么第一个信封包含a>1，虽然第二个信封更有可能小于大于，但其条件预期金额为较大：信封B中的条件预期金额为
　　35A2+252A=1110A
　　这不仅仅是一个.这意味着在信封A中查看的玩家将决定切换他在那裡看到的任何内容。因此，无需查看信封A即可做出该决定。
　　这个结论与前面对两个信封问题的解释一样明显是错误的。但是现在上面提到的缺陷不适用了；期望值计算中的a是一个常数，公式中的条件概率是从指定的适当的先验分佈中获得的。
　　通过数理经济学提出的解决方案
　　大多数作家认为新的悖论可以化解，儘管解决需要来自数理经济学的概念。假设E(B|A=A)>A对于所有一个。可以证明，对于X的某些概率分佈（两个信封中的较小金额），只有当E(X)=∞.也就是说，只有当信封中所有可能的货币价值的平均值是无限的时。要了解原因，请比较上面描述的系列，其中每个X的概率是前一个X的可能性的2/3和一个其中每个X的概率只有前一个X的可能性的1/3的系列。当每个后续项的概率大于其之前项的概率的二分之一时（并且每个X是其之前的X的两倍），均值是无限的，但是当概率因子小于二分之一时，均值收敛。在概率因子小于二分之一的情况下，E(B|A=a)<a对于除第一个、最小的a之外的所有a，切换的总期望值收敛到0。此外，如果概率因子大于二分之一的持续分佈通过在任意数量的项之后变得有限，则建立具有“所有剩馀概率”的最终项，即1减去所有先前项的概率，切换的期望值相对于A等于最后一个的概率，最大a将完全否定之前出现的正期望值的总和，并且切换的总期望值再次下降到0（这是在上述包络中设置有限值集的相等概率的一般情况）。因此，似乎指向转换的正期望值的唯一分佈是那些E(X)=∞.对a进行平均，得出B(B)=B(A)=∞（因为A和B具有相同的概率分佈，对称性，并且A和B都大于或等于X）。
　　如果我们不查看第一个信封，那麽显然没有理由切换，因为我们将用一个未知数量的货币（A）交换另一个未知数量的货币（B），其期望值是无限的，具有相同的概率分佈和无限的期望值。但是，如果我们确实查看第一个包络，那麽对于所有观察到的值(A=A)我们想要切换，因为B(B|A=A)>A对于所有一个。正如DavidChalmers所指出的，这个问题可以被描述为优势推理的失败。
　　在优势推理下，对于所有可能的观察值a我们严格偏爱A而不是B的事实意味着我们严格偏爱A而不是B而没有观察a；然而，正如已经表明的那样，这不是真的，因为B(B)=B(A)=∞.在允许的同时挽救优势推理B(B)=B(A)=∞，人们将不得不替换期望值作为决策标准，从而採用来自数理经济学的更複杂的论点。
　　例如，我们可以假设决策者是一个期望效用最大化者，其初始财富为W，其效用函数为U(w),选择满足B(U(W+B)|A=A)<U(W+A)对于a的至少某些值（即，坚持一个=A对于某些a)来说，绝对比切换到B更可取。儘管并非所有效用函数都如此，但如果U(w)有一个上限，β<∞，随着w向无穷大增加（数理经济学和决策理论中的常见假设）。MichaelR.Powers为效用函数解决悖论提供了必要和充分条件，并指出U(w)<β也不B(U(W+A))=B(U(W+B))<∞是必须的。
　　一些作家更愿意争辩说，在现实生活中，U(W+A)和U(W+B)是有界的，因为信封中的货币数量受世界上货币总量（M）的限制，这意味着U(W+A)≤U(W+M)和U(W+B)≤U(W+M).从这个角度来看，第二个悖论得到了解决，因为X的假设概率分佈（与B(X)=∞)在现实生活中不可能出现。类似的论据经常被用来解决圣彼得堡悖论。
　　哲学家之间的争论
　　如上所述，任何产生这种悖论变体的分佈都必须具有无限均值。因此，在玩家打开信封之前，切换的预期增益为“∞-∞”，这是未定义的。用大卫查默斯的话来说，这是“只是另一个熟悉现象的例子，无穷大的奇怪行为”。Chalmers认为决策理论在面对具有不同期望的博弈时通常会崩溃，并将其与经典的圣彼得堡悖论产生的情况进行比较。
　　然而，克拉克和沙克尔认为，将这一切归咎于“无穷大的奇怪行为”根本无法解决悖论。无论是在单一情况下，还是在平均情况下。它们提供了一对随机变量的简单示例，它们均具有无限均值，但在有条件的和平均的情况下，选择一个比另一个显然是明智的。他们认为应该扩展决策理论，以便在某些情况下允许无限的期望值。
　　Smullyan的非概率变体
　　逻辑学家RaymondSmullyan质疑这个悖论是否与概率有关。他通过以不涉及概率的方式表达问题来做到这一点。以下明显合乎逻辑的论点导致了相互矛盾的结论：
　　让玩家选择的信封中的金额为A。通过交换，玩家可能获得A或失去A/2。因此，潜在收益严格大于潜在损失。
　　让信封中的金额为X和2X。现在通过交换，玩家可能会获得X或失去X。所以潜在收益等于潜在损失。
　　提议的决议
　　已经提出了许多解决方案。一些逻辑学家进行了仔细的分析。儘管解决方案不同，但它们都指出了与反事实推理有关的语义问题。我们想比较如果我们会通过转换获得收益，我们会通过转换获得的金额，以及如果我们确实会因转换而损失的情况下，我们会因转换而损失的金额。但是，我们不能通过同时切换来获得和失去。我们被要求比较两种不相容的情况。其中只有一个可以实际发生，另一个是反事实的情况——不知何故是虚构的。为了比较它们，我们必须以某种方式“对齐”这两种情况，提供一些明确的共同点。
　　JamesChase认为第二个论点是正确的，因为它确实对应于对齐两种情况（一种我们获得，另一种我们失去）的方式，这最好通过问题描述来说明。此外，BernardKatz和DorisOlin也提出了这一观点。在第二个论点中，我们认为两个信封中的金额是固定的；不同的是哪个是首先给玩家的。因为这是一个任意的物理选择，反事实世界其中玩家反事实地将另一个信封拿到他实际（实际上）给的那个是一个非常有意义的反事实世界，因此两个世界中的收益和损失之间的比较是有意义的。这种比较是由问题描述唯一表明的，其中首先将两个数量的钱放入两个信封中，然后才任意选择一个并交给玩家。然而，在第一个论点中，我们认为第一个给玩家的信封中的金额是固定的，并考虑第二个信封中包含该金额一半或两倍的情况。如果实际上信封已按如下方式填充，这将是一个合理的反事实世界：首先，将一些金额放入将给予玩家的特定信封中；
　　另一方面，Byeong-UkYi认为，如果将通过转换获得的收益与通过转换将失去的损失进行比较，从一开始就是毫无意义的练习。根据他的分析，所有三个含义（转换、冷漠、不转换）都是不正确的。他详细分析了Smullyan的论点，表明正在採取中间步骤，并根据他对反事实推理的形式化准确指出了错误推理的确切位置。蔡斯分析的一个重要区别在于，他没有考虑故事中我们被告知称为信封A的信封是完全随机决定的部分。因此，Chase将概率放回问题描述中，以得出论点1和3不正确，论点2正确的结论，而Yi保持“没有概率的两个包络问题”完全没有概率，得出没有概率的结论。选择任何行动的理由。
　　Bliss认为，悖论的根源在于，当一个人错误地相信实际上不存在的较大回报的可能性时，与相信存在实际不存在的较小回报的可能性相比，他的错误率更大。实际上并不存在。例如，如果信封分别包含5.00美元和10.00美元，则打开10.00美元信封的玩家会期望获得根本不存在的20.00美元支出的可能性。如果该玩家改为打开5.00美元的信封，他会相信支付2.50美元的可能性，这与真实价值的偏差较小；这导致了矛盾的差异。
　　Albers、Kooi和Schaafsma认为，在不向问题添加概率（或其他）成分的情况下，Smullyan的论点无论如何都没有给出交换或不交换的任何理由。因此，不存在悖论。这种不屑一顾的态度在概率和经济学的作家中很常见：斯穆里安的悖论之所以出现，正是因为他没有考虑任何概率或效用。
　　条件切换
　　作为问题的扩展，考虑允许玩家在决定是否切换之前查看信封A的情况。在这个“有条件的切换”问题中，通常有可能产生优于“永不切换”策略的增益，具体取决于包络的概率分佈。
　　悖论的历史
　　信封悖论至少可以追溯到1953年，当时比利时数学家莫里斯·克雷奇克（MauriceKraitchik）在他的《休闲数学》一书中提出了一个谜题，关于两个同样富有的男人见面并比较他们漂亮的领带、妻子的礼物，想知道哪条领带实际上更贵。他还介绍了一种变体，在这种变体中，两人比较了他们钱包裡的东西。他假设每个钱包中包含1到某个大数x的可能性相同便士，迄今为止铸造的便士总数。男人们不看他们的钱包，而是他们应该换的每个理由。他没有解释他们的推理有什麽错误。目前尚不清楚这个谜题是否已经出现在他1942年早期版本的书中。数学家约翰·埃登索·利特尔伍德在1953年一本关于初等数学和数学谜题的书中也提到了它，他将其归功于物理学家欧文·薛定谔，其中涉及一副卡片，每张卡片上都写有两个数字，玩家得到看到一张随机牌的随机面，问题是是否应该翻牌。Littlewood的牌包无限大，他的悖论是不正确的先验分佈悖论。
　　MartinGardner在他1982年的着作《啊哈！Gotcha，以钱包游戏的形式：
　　两个同样富有的人见面比较钱包裡的东西。每个人都不知道两个钱包的内容。游戏如下：谁拥有最少的钱，谁就获得了另一个钱包的内容（在金额相等的情况下，什麽都不会发生）。两个人中的一个可以推理：“我的钱包裡有A金额。这是我可能输掉的最大金额。如果我赢（概率0.5），我在游戏结束时将拥有的金额将超过2A。因此游戏对我有利。另一个人可以以完全相同的方式推理。事实上，通过对称性，游戏是公平的。每个人的推理错误在哪裡？
　　——马丁·加德纳，“马丁·加德纳：啊哈！明白了”
　　Gardner承认，儘管和Kraitchik一样，他可以给出合理的分析以得出正确的答案（切换没有意义），但他无法明确指出切换推理的问题所在，而Kraitchik没有给出在这个方向上的任何帮助，要么。
　　在1988年和1989年，BarryNalebuff提出了两个不同的双包络问题，每个问题的一个包络包含另一个包络的两倍，并且每个都计算期望值5A/4。第一篇论文只是提出了这两个问题。第二个讨论了他们两个的许多解决方案。他的两个问题中的第二个问题现在更为常见，并在本文中进行了介绍。根据这个版本，两个信封首先被填满，然后随机选择一个，称为信封A。MartinGardner在他1989年出版的PenroseTilestoTrapdoorCiphers和TheReturnofMatrix中独立地提到了这个相同的版本.BarryNalebuff的不对称变体，通常被称为阿里巴巴问题，首先填充一个信封，称为信封A，然后交给阿里。然后扔一个公平的硬币来决定信封B应该包含一半还是两倍的数量，然后才交给爸爸。
　　Broome在1995年将概率分佈称为“自相矛盾的”，如果对于任何给定的第一包络量x，以x为条件的另一个包络的期望值大于x。文献中包含数十篇关于该问题的评论，其中大部分都观察到有限值的分佈可以具有无限的期望值。