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　　所有的马都是一样的颜色
　　Allhorsesarethesamecolor是一个可证伪的悖论，它源于错误地使用数学归纳法来证明“Allhorsesarethesamecolor”这一陈述。没有实际的矛盾，因为这些论点有一个关键的缺陷，使它们不正确。这个例子最初是由GeorgePólya在1954年的一本书中以不同的术语提出的：“任何n数都相等吗？”或“任何n个女孩的眼睛颜色相同”，作为数学归纳的练习。它也被重述为“所有的奶牛都有相同的颜色”。
　　1961年，乔尔·科恩(JoelE.Cohen)在一篇讽刺文章中提出了悖论的“马”版本。它被陈述为一个引理，特别是允许作者“证明”亚历山大大帝不存在并且他有无限数量的四肢。
　　所有的马都是相同颜色的悖论，n=1的归纳步骤失败
　　论据
　　
　　
　　论证是归纳证明。首先，我们为一匹马建立一个基本案例（n=1）。然后我们证明如果n马有相同的颜色，那麽n+1马也必须有相同的颜色。
　　基础案例：一匹马
　　只有一匹马的情况是微不足道的。如果“组”中只有一匹马，那麽显然该组中的所有马都具有相同的颜色。
　　感应步骤
　　假使，假设n马总是相同的颜色。考虑一个由以下组成的组n+1马匹。
　　首先，排除一匹马，只看另一匹马n马匹;所有这些都是相同的颜色，因为n马总是相同的颜色。同样，排除一些其他马（与第一次删除的马不同），只看另一匹马n马匹。同样的道理，这些也必须是相同的颜色。因此，被排除的第一匹马与未排除的马颜色相同，而未排除的马又与另一匹排除的马颜色相同。因此排除的第一匹马、未排除的马和排除的最后一匹马都是相同的颜色，我们已经证明：
　　如果n马有相同的颜色，那麽n+1马也将具有相同的颜色。
　　我们已经在基本情况中看到规则（“所有马有相同的颜色”）适用于n=1.这裡证明的归纳步骤意味着，由于该规则适用于n=1，它也必须对n=2，这反过来意味着该规则适用于n=3等等。
　　因此，在任何一组马匹中，所有马匹的颜色都必须相同。
　　解释
　　上面的论点做出了隐含的假设，即n+1horses的大小至少为3，，因此应用归纳假设的两个马的真子集必然共享一个公共元素。这在归纳的第一步是不正确的，即当n+1=2.
　　让两匹马是马A和马B。当马A被移除时，集合中剩馀的马颜色相同（只剩下马B）是真的。当马B被移走时也是如此。但是“组中的第一匹马与中间的马颜色相同”的说法是没有意义的，因为没有“中间的马”（两组中的共同元素（马））。因此，上述证明的逻辑链接断开了。证明形成了一个伪谬的悖论；它似乎通过有效的推理表明了明显错误的东西，但实际上推理是有缺陷的。
　　橡皮绳上的蚂蚁
　　橡皮绳上的蚂蚁是一个数学难题，其解决方案似乎违反直觉或自相矛盾。有时它以蠕虫或尺蠖的形式出现在橡皮筋或松紧带上，但拼图的原理保持不变。
　　拼图的细节可能会有所不同，但典型的形式如下：
　　一隻蚂蚁开始沿着一条1公里长的拉紧橡胶绳以每秒1厘米的速度爬行（相对于它爬行的橡胶而言）。与此同时，绳索开始以每秒1公里的恆定速率均匀拉伸，因此1秒后它有2公里长，2秒后它有3公里长，等等。蚂蚁会到达终点吗？绳子的？
　　乍一看，蚂蚁似乎永远不会到达绳子的末端，但无论绳子的长度和速度如何，只要长度和速度保持稳定，只要有足够的时间，蚂蚁总能到达末端—在上述形式中，它需要8.9×1043421年。有两个关键原则：第一，由于橡胶绳在蚂蚁前后都伸展，蚂蚁已经走过的绳子的比例是守恆的，第二，蚂蚁的比例速度与橡胶绳的长度，所以蚂蚁可以移动的距离就像调和级数一样是无限的。
　　一隻蚂蚁（红点）以1厘米/秒的恆定速度在可拉伸的绳索上爬行。绳索最初长4厘米，并以2厘米/秒的恆定速率拉伸。
　　
　　问题的正式陈述
　　为了便于分析，以下是这个谜题的正式版本。
　　考虑一根理想的弹性绳X-轴使得在时间T它的端点在X=0（起点）和X=C+vT（目标点）用于常量C>0和v>0.这就是说在T=0目标点在该位置X=C那作为T改变目标点以恆定速度移动v.一个点对象（蚂蚁）在绳子上，并且在T=0它从起点开始，沿绳索以恆定速度移动α>0相对于绳索在其当前位置。有时间吗T蚂蚁在哪个点遇到目标？
　　引言中的谜题陈述对应于当C为1公里，v为1公里/秒，并且α为1厘米/秒。
　　问题的解决方案
　　离散数学解
　　虽然解决这个问题似乎需要分析技术，但实际上可以通过组合论证来回答，通过考虑绳索每秒突然和瞬时拉伸而不是连续拉伸的变化。确实，问题有时会用这些术语来表述，以下论点是马丁·加德纳提出的一个概括，最初在《科学美国人》中，后来再版。
　　考虑一种变化，其中绳索在每一秒之前突然瞬间伸展，因此目标点从X=C至X=C+v有时T=0，并且从X=C+v至X=C+2v有时T=1等。许多版本的问题在每一秒结束时都有绳索伸展，但是通过在每一秒之前让绳索伸展，我们在目标中处于不利地位，所以我们可以确定蚂蚁是否可以到达目标点在这个变体中，那麽它肯定可以在原始问题中，或者实际上在绳索在每一秒结束时伸展的变体中。
　　
　　因此，只要有足够的时间，蚂蚁就会完成到目标点的旅程。该解决方案可用于获得所需时间的上限，但没有给出所需时间的确切答案。
　　分析解决方案
　　
　　
　　（对于v=0的简单情况，我们可以考虑极限Cv→0T(v)并获得简单的解决方案T=Cα.)因为这给出了一个有限值T对于所有有限的C,v,α(v>0,α>0)，这意味着，如果有足够的时间，蚂蚁将完成到达目标点的旅程。这个公式可以用来找出需要多少时间。
　　对于最初所说的问题，C=1ķm,v=1ķm/s和α=1CM/s，这使T=(e100000-1)s≈2.8×1043429s.这是一个巨大的时间跨度，即使与估计的宇宙年龄相比，这只是大约4×1017秒。此外，经过这样的时间后绳索的长度也同样巨大，为2.8×1043429公里，所以只有在数学意义上，蚂蚁才能到达这条特殊绳索的末端。
　　上面动画的绝对位置x与时间t的关係图：蚂蚁以1cm/s（红色）相对于最初4cm长、以2cm/s拉伸、绘製成八（阴影背景）的弹性绳索爬行。如果绳子没有伸展，渐近线（紫色虚线）显示蚂蚁的位置。由于蚂蚁的位置具有指数分量，它最终会追上绳索的末端（绿色），而不管它们的初始速度比如何。背景条纹之间的边界可以看作是蚂蚁在到达条纹时突然停止时所走的轨迹。然而，由于蚂蚁在爬行，它会遍历条纹，直到最后到达最后一个。
　　
　　直觉
　　考虑引言中的情况，一根1公里长的绳子以1公里/秒的速度拉伸，蚂蚁沿着这条绳子以1厘米/秒的相对速度行走。在任何时候，我们都可以想像在绳子上打下两个标记：一个在蚂蚁的当前位置，另一个在离目标点近1毫米处。如果蚂蚁要停止片刻，从它的角度来看，第一个标记是静止的，而第二个标记正在以1mm/s或更小的恆定速度移动（取决于开始时间）。很明显，蚂蚁将能够到达第二个标记——简单地高估它所花费的时间，假设我们在绳子到达第一个标记的确切时刻“关闭”了绳索施加在蚂蚁身上的力标记（让蚂蚁以恆定速度继续前进）。对于此时的第一个标记，蚂蚁以1cm/s的速度移动，而第二个标记最初距离1mm，以1mm/s的速度移动，蚂蚁仍将在1/9s内到达标记。
　　我们需要做的是将蚂蚁的位置视为绳索长度的一小部分。上面的推理表明这个分数总是在增加，但这还不够（蚂蚁可能会渐近地接近绳子的一部分，但永远不会接近目标点！）推理还表明，每1/9s，蚂蚁走的绳子的分数（至少与数字一样大）与当前时间成反比，因为目标点与时间成正比移动，而绳子在这1毫米处的分数对应的区间与那个成反比。
　　以与时间成反比的速度增长的数量表现出对数增长，它无限增长，无论增长速度可能有多慢。这意味着蚂蚁最终会到达目标点。
　　如果绳索伸展的速度随着时间的推移而增加，那麽蚂蚁可能无法到达目标。例如，假设绳子的一端连接在一个重物上，该重物在均匀的重力场中自由落体，绳子没有对重物施加任何力（换句话说，目标点的位置由形式X=C+12AT2）。如果C为1米，a是9.81m/s2，蚂蚁以1cm/s的速度移动，那麽蚂蚁甚至不会复盖绳子长度的0.71%，儘管蚂蚁总是在前进。但是，如果蚂蚁以大于1.41m/s的速度移动，它将在有限时间内到达绳索末端。此外，在某些情况下，蚂蚁的速度呈指数下降，而绳索的长度呈指数增加，蚂蚁也将在有限时间内到达绳索的末端。