 38

　　组合悖论
　　sorites悖论(/soʊˈraɪtiːz/;有时被称为堆悖论)是一个由模煳谓词引起的悖论。一个典型的配方包括一堆沙子，从沙子中单独去除颗粒。假设删除单个颗粒不会导致堆变为非堆，悖论是考虑当该过程重複足够多次以仅剩下一个颗粒时会发生什麽：它仍然是堆吗？如果不是，它是什麽时候从堆变为非堆的？
　　sorites悖论：如果一个堆一次减少一个颗粒，那麽问题是：在什麽时候它不再被认为是一个堆？
　　
　　原始公理和变体
　　堆悖论
　　sorites（希腊语：σωρείτης）一词源自希腊语中的“堆”（希腊语：σωρός）。[4]这个悖论之所以如此命名是因为它的原始特徵，归因于米利都的Eubulides。悖论如下：考虑一堆沙子，其中的颗粒被单独去除。可以使用前提来构建论点，如下所示：
　　1,000,000粒沙是一堆沙（前提1）
　　一堆沙子减去一粒粒仍然是一堆。（前提2）
　　重複应用前提2（每次从少一粒沙粒开始）最终迫使人们接受一个结论，即一堆可能仅由一粒沙粒组成。Read(1995)观察到“论点本身就是一堆，或者说是前件式的步骤”：
　　1,000,000粒穀物是一堆。
　　如果1,000,000粒穀物是一堆然后999,999个穀物是一堆。
　　所以999,999个穀物是一堆。
　　如果999,999粒穀物是一堆然后999,998个穀物是一堆。
　　所以999,998个穀物是一堆。
　　如果...
　　...所以1粒是一堆。
　　变化
　　然后小变化和大后果之间的紧张关係产生了联繫悖论......有很多变化......[其中一些允许]考虑存在......（一个事实问题）和表面......（感知问题）。
　　另一种表述是从一粒沙子开始，这显然不是一个堆，然后假设将一粒沙子添加到一个不是堆的东西上不会导致它变成一个堆。归纳起来，这个过程可以根据需要重複，而无需构建堆。这种变体的更自然的表述是假设存在一组彩色芯片，使得两个相邻的芯片颜色变化太小，以至于人类的视力无法区分它们。那麽通过在这个前提下进行归纳，人类将无法区分任何颜色。
　　从海洋中去除一滴水，不会使其“不是海洋”（它仍然是海洋），但由于海洋中的水量是有限的，最终，经过足够的去除，即使是一升水也剩下仍然是一片海洋。
　　这个悖论可以重构为各种谓词，例如“tall”、“rich”、“old”、“blue”、“bald”等。BertrandRussell认为所有自然语言，甚至逻辑连接词都是模煳的。此外，命题的表示是模煳的。
　　颜色渐变说明了一个sorites悖论，人眼无法区分任何相邻的颜色。
　　
　　连续谬误
　　连续统谬误（也称为鬍鬚谬误、[画线谬误或决策点谬误）是与联繫悖论相关的非正式谬误。这两种谬误都会导致一个人错误地拒绝一个模煳的主张，因为它不像人们希望的那样精确。仅含煳不清并不一定意味着无效。谬误认为两个状态或条件不能被认为是不同的（或根本不存在），因为在它们之间存在一个连续的状态。
　　严格来说，sorites悖论是指存在许多离散状态的情况（通常在1到1,000,000粒沙子之间，因此可能有1,000,000种状态），而连续统谬误是指存在（或似乎存在）状态连续统的情况，比如温度。物理世界中是否存在任何连续体是原子论的经典问题，虽然牛顿物理学和量子物理学都将世界建模为连续的，但量子引力中有一些建议，例如环量子引力，表明连续长度的概念不适用于普朗克长度，因此看起来是连续的可能只是迄今为止无法区分的离散状态。
　　出于连续统谬误的目的，人们假设实际上存在一个连续统，儘管这通常是一个很小的区别：一般来说，任何反对sorites悖论的论据也可以用来反对连续统谬误。反对谬误的一个论点是基于一个简单的反例：确实存在秃头和不秃头的人。另一个论点是，对于状态的每一个变化程度，条件的程度都会发生轻微的变化，这些轻微的变化会累积起来，将状态从一个类别转移到另一个类别。例如，也许添加一粒米会导致整个米组“稍微多一点”堆，并且足够的微小变化将证明该组的堆状态-参见模煳逻辑。
　　提议的决议
　　否认堆的存在
　　人们可以通过否认来反对第一个前提1,000,000粒沙子堆成一堆。但1,000,000只是一个任意大的数字，该论点适用于任何这样的数字。因此，响应必须完全否认存在诸如堆之类的东西。PeterUnger为这个解决方案辩护。
　　设置固定边界
　　对这个悖论的一个常见的第一反应是将任何一组包含超过一定数量的颗粒的颗粒称为堆。如果要在以下位置定义“固定边界”10,000粒穀物，那麽有人会声称不到10,000，不是堆；为了10,000或更多，然后它是一个堆。
　　柯林斯认为，这样的解决方案并不令人满意，因为两者之间的差异似乎意义不大9,999粒穀物和一万粒。边界，无论在哪裡设置，都是任意的，因此其精确度具有误导性。从哲学和语言的角度来看，它都是令人反感的：前者是因为它的任意性，而后者是因为它根本不是自然语言的使用方式。
　　第二个响应试图找到一个代表一个术语的常见用法的固定边界。例如，字典可以将“堆”定义为“将事物组合在一起以形成高程的集合”。这需要有足够的穀物，以使某些穀物得到其他穀物的支持。因此，在单层顶部添加一个颗粒会产生一个堆，而移除底层之上的最后一个颗粒会破坏该堆。
　　不可知的界限（或认识论）
　　TimothyWilliamson和RoySorensen声称存在固定的边界，但它们必然是不可知的。
　　超值主义
　　超评价主义是一种处理不具指称性单数和模煳性的方法。即使在处理未定义的真值时，它也允许人们保留通常的重言式法则。作为关于非指称单数项的命题示例，考虑句子“Pegasuslikelicorice”。由于名称“Pegasus”没有指代，因此无法为该句子分配真值；神话中没有任何东西可以证明任何此类分配是合理的。但是，有一些关于“飞马座”的说法”但是有一定的真值，例如“Pegasus喜欢licorice或Pegasus不喜欢licorice”。这句话是重言式的一个实例“p∨¬p“，即有效的模式”p或不-p”。根据超估值论，无论其成分是否具有真值，它都应该为真。
　　通过承认没有定义真值的句子，超评价主义避免了相邻的情况，例如n粒沙子是一堆沙子，但n-1粒沙子不是；例如，”1000粒沙子是一堆“可能被认为是没有确定真值的边界案例。然而，超估主义能够处理这样的句子”1,000粒沙子是一堆，或1,000粒沙子不是一堆“作为同义反复，即赋予它真实的价值。
　　数学解释
　　让v是在语言的每个原子句子上定义的经典估值L，然后让AT(X)是不同原子句子的数量X.然后对于每个句子X，最多2AT(X)可以存在不同的经典估值。超值V是一个从句子到真值的函数，这样，一个句子X是超真实的（即V(X)=True)当且仅当v(X)=True对于每一个经典估值v;同样对于超假。否则，V(X)是未定义的——即恰好存在两个经典估值时v和v'这样v(X)=True和v'(X)=False.
　　例如，让大号p是“天马喜欢甘草”的正式翻译。那麽正好有两个经典估值v和v'上Lp，即。v(Lp)=True和v'(Lp)=False.所以Lp既不是超真也不是超假。然而，重言式大号p∨¬Lp被评估为True由每一个经典估价；因此它是超级真实的。类似地，上述堆命题的形式化H1000既不是超真也不是超假，而是H1000∨¬H1000是超级真实的。
　　真理差距、过剩和多值逻辑
　　另一种方法是使用多值逻辑。在这种情况下，问题在于二价原则：沙子要么是堆，要么不是堆，没有任何灰色阴影。代替两种逻辑状态heap和not-heap，可以使用三值系统，例如heap、indeterminate和not-heap。对这个提议的解决方案的回应是，三值系统并没有真正解决这个悖论，因为在堆和不确定之间以及在不确定和非堆之间仍然存在分界线.第三个真值可以理解为真值差距或真值过剩。
　　或者，模煳逻辑提供了以实数单位区间[0,1]表示的连续逻辑状态谱——它是具有无限多个真值的多值逻辑，因此沙子逐渐从“肯定堆"到"绝对不是堆"，中间区域有阴影。模煳对冲用于将连续统一体划分为与绝对堆、主要堆、部分堆、轻微堆和非堆等类相对应的区域。儘管这些边界出现在哪裡仍然存在问题；例如，在多少粒沙开始“绝对”成为一堆。
　　滞后
　　Raffman介绍的另一种方法是使用滞后，即了解沙子的收集开始是什麽。根据它们到达那裡的方式，等量的沙子可能被称为或不被称为堆。如果一个大堆（无可争议地被称为堆）被缓慢减少，它会保持其“堆状态”到一个点，即使实际沙子数量减少到较少数量的颗粒。例如，500粒是一堆1000粒穀物是一堆。这些州将有重叠。因此，如果一个人将它从一堆减少到一堆，那麽它就是一个向下的堆，直到750.那时，人们会停止称其为堆并开始称其为一堆。但是，如果一个人替换一粒穀物，它不会立即变回一堆。当上升时，它会保持一堆直到900粒。选择的数字是任意的；关键是，相同的数量可以是堆也可以是堆，具体取决于更改前的数量。滞后的一个常见用途是空调的恆温器：空调设置为77°F，然后将空气冷却至略低于77°F，但当空气升温至77.001°F时不会立即再次激活——它等到接近78°F，以防止一次又一次地立即改变状态。
　　集体共识
　　人们可以通过寻求共识来确定“堆”一词的含义。威廉姆森在他对悖论的认知解决方案中假设模煳术语的含义必须由群体用法决定。共识方法通常声称，一组穀物与一个群体中相信它的人的比例一样多是一个“堆”。换句话说，任何集合被视为堆的概率是该组意见分佈的期望值。
　　一个小组可以决定：
　　一粒沙子本身不是一堆。
　　一大堆沙粒就是一堆。
　　在这两个极端之间，该组的各个成员可能会在是否可以将任何特定集合标记为“堆”方面存在分歧。然后不能明确地声称该集合是“堆”或“不是堆”。这可以被认为是对描述性语言学而不是规范性语言学的一种诉求，因为它解决了基于人口如何使用自然语言的定义问题。事实上，如果“堆”有一个精确的规定性定义，那麽群体共识将始终是一致的，并且不会发生悖论。
　　效用理论的解决方案
　　
　　在效用理论的经济学领域中，当研究一个人的偏好模式时，就会出现组合悖论。以罗伯特·邓肯·卢斯（RobertDuncanLuce）为例，很容易找到一个人，比如佩吉，她更喜欢在咖啡中加入3克（即1块）糖而不是15克（5块），但是，她通常会无动于衷介于3.00和3.03克之间，以及介于3.03和3.06克之间，依此类推，最后是介于14.97和15.00克之间。
　　经济学家採取了两项措施来避免在这种情况下出现联繫悖论。
　　使用比较的，而不是积极的，性质的形式。上面的例子故意没有做出“Peggy喜欢一杯加3克糖的咖啡”或“Peggy不喜欢一杯加15克糖的咖啡”这样的陈述。相反，它说“佩吉喜欢一杯含3克糖的咖啡，而不是一杯含15克糖的咖啡”。
　　经济学家将偏好（“佩吉喜欢……多于……”）与冷漠（“佩吉喜欢……和……一样多”）区分开来，并且不认为后一种关係是可传递的。在上面的例子中，将“acupofcoffeewithxgofsugar”缩写为“cx”，“Peggyisincontrastbetweencxandcy”为“cx≈cy”，事实c3.00≈c3.03和c3.03≈c3.06和...≈c15.00并不意味着c3.00≈c15.00。
　　引入了几种关係来描述偏好和冷漠，而不会遇到联繫悖论。Luce定义了半阶并研究了它们的数学性质；AmartyaSen为准及物关係执行了类似的任务。将“Peggy比cy更喜欢cx”缩写为“cx>cy”，并缩写为“cx>cy或cx≈cy”通过“cx≥cy”，关係“>”是半阶而≥是准传递是合理的。相反，如果cx>cy和cy>cx都不是，则从给定的半阶>可以通过定义cx≈cy来重构无差异关係≈。类似地，从给定的准传递关係≥可以通过定义cx≈cy如果两者cx≥cy和cy≥cx。这些重构的≈关係通常不是传递的。
　　右表显示瞭如何将上述颜色示例建模为准传递关係≥。为了便于阅读，颜色差异过大。如果X行和Y列中的表格单元格不为空，则颜色X被认为比颜色Y更红或更红。在这种情况下，如果它持有一个“≈”，那麽X和Y看起来毫无区别，如果它持有一个">"，那麽X看起来显然比Y更红。关係≥是对称关係≈和传递关係>的不相交并集。利用>的传递性，f10>d30和d30的知识>b50允许人们推断f10>b50。但是，由于≥不是传递的，所以像“d30≥e20和e20≥f10，因此d30≥f10”这样的“矛盾”推论不再可能。出于同样的原因，例如“d30≈e20ande20≈f10，因此d30≈f10”不再是一个有效的推论。类似地，为了用这种方法解决悖论的原始堆变化，关係“X颗粒比Y更像是一个堆”grains”可以被认为是准传递的而不是传递的。