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　　克莱默悖论
　　在数学中，Cramer悖论或Cramer-Euler悖论是这样一种陈述，即平面中两条高阶曲线的交点数量可以大于通常需要定义一个这样的任意点的数量。曲线。它以日内瓦数学家加布里埃尔·克莱默命名。
　　这种现像看起来很矛盾，因为儘管交叉点数量众多，但它们无法唯一地定义任何曲线（它们属于至少两条不同的曲线）。这是对两个定理的幼稚理解或误用的结果：
　　Bézout定理指出，只要满足某些必要条件，两条代数曲线的交点数等于它们的度数的乘积。特别是，两条度数曲线n一般有n2交点。
　　克莱默定理指出，度数曲线n由n(n+3)/2点，再次假设某些条件成立。
　　对所有人n≥3,n2≥n(n+3)/2，因此看起来对于三阶或更高阶，两条曲线的交点将有足够的点来唯一地定义其中一条曲线。但是，由于这些点同时属于两条曲线，因此它们并没有定义该度数的唯一曲线。悖论的解决方案是n(n+3)/2限定曲线所需的点数仅适用于一般位置的点。在某些退化的情况下，n(n+3)/2点不足以唯一地确定曲线。
　　三次曲线相交于9个点
　　
　　历史
　　这个悖论首先由ColinMaclaurin发表。Cramer和LeonhardEuler在1744年和1745年的信件中就悖论进行了通信，Euler向Cramer解释了这个问题。儘管克莱默引用麦克劳林作为声明的来源，但在他1750年的着作Introductionàl'analysisdeslignescourbesalgébriques中出现后，它被称为克莱默悖论。大约在同一时间，Euler发表了显示三次曲线的示例，该三次曲线不是由9个点唯一定义的并在他的Introductioinanalysininfinitorum一书中讨论了这个问题.结果由JamesStirling公佈，并由JuliusPlücker解释。
　　线和非退化圆锥没有悖论
　　对于一阶曲线（即线），悖论不会发生，因为n=1，所以n2=1<n(n+3)/2=2.一般来说，两条不同的线在一个点相交，除非这些线的斜率相等，在这种情况下它们根本不相交。一个点不足以定义一条线（需要两个）；通过交点，不仅通过了两条给定的线，而且还通过了无数条其他线。
　　两个非退化圆锥曲线最多在实平面中的四个有限点相交，这比Bézout定理给出的最大值的九个要少。然而，定义一个非退化二次曲线需要五个点，所以在这种情况下也不存在悖论。
　　Cramer的三次曲线示例
　　克莱默在给欧拉的信中指出，三次曲线X3-X=0和是的3-Y=0相交正好九个点。第一个方程定义了三个垂直线X=-1,X=0，和X=1，同样，第二个等式定义了三个水平线；这些线在九个点的网格中相交。因此，九个点不足以在诸如此类的退化情况下唯一地确定三次曲线。
　　解析度
　　n次二元方程具有1+n(n+3)/2个係数，但如果方程除以其中一个係数，则方程描述的点集将被保留，留下一个係数等于1，并且仅n(n+3)/2个係数来表徵曲线。给定n(n+3)/2个点(xi,yi)，这些点中的每一个都可用于创建一个单独的方程，方法是将其代入n次的一般多项式方程，得到n(n+3)/2方程线性n(n+3)/2个未知係数。如果该系统在具有非零行列式的意义上是非退化的，则未知係数是唯一确定的，因此多项式方程及其曲线是唯一确定的。但是如果这个行列式为零，则係统是退化的，并且点可以在不止一条n次曲线上。
　　电梯悖论
　　这篇文章有多个问题。请帮助改进它或在讨论页上讨论这些问题。
　　电梯悖论是MarvinStern和GeorgeGamow最先註意到的一个悖论，他们是在多层建筑的不同楼层设有办公室的物理学家。在大楼底部附近有办公室的Gamow注意到第一个停靠在他所在楼层的电梯经常下降，而在顶部附近有办公室的Stern注意到第一个停靠在他所在楼层的电梯是最常上涨。这造成了一种错误印象，即电梯轿厢更有可能向一个方向行驶而不是另一个方向，具体取决于观察者所在的楼层。
　　电梯问题建模
　　在顶层附近，通往顶层的电梯在上升后不久就下降了。
　　
　　曾多次尝试（从Gamow和Stern开始）分析这种现象的原因：基本分析很简单，但详细分析却比最初看起来要困难得多。
　　简单来说，如果一个在建筑物的顶层，所有的电梯都会从下面来（没有一个可以从上面来），然后向下离开，而如果一个在顶层的第二个，那麽一个电梯会到顶部楼层将首先在上升的过程中通过，然后在下降的过程中很快通过-因此，虽然相同的数量将在下降的过程中通过，但下降的电梯通常会很快跟随上升的电梯（除非电梯在顶层空转），因此观察到的第一部电梯通常会上升。观察到的第一部电梯只有在电梯上升后的短时间内开始观察时才会下降，而观察到的第一部电梯将在其馀时间上升。
　　更详细地，解释如下：单个电梯大部分时间都在建筑物的较大部分中，因此当潜在的电梯用户到达时更有可能从那个方向接近。一个在电梯门旁停留数小时或数天的观察者，观察每一个到达的电梯，而不是只观察第一个到达的电梯，会注意到在每个方向上运行的电梯数量相等。然后这变成了一个抽样问题——观察者随机抽样一个非均匀间隔。
　　为了帮助形象化这一点，考虑一栋三十层的建筑，加上大厅，只有一部慢速电梯。电梯很慢，因为它在上升的每一层都停，然后在下降的每一层都停。在楼层之间穿行并等待乘客需要一分钟。这是到达时间表；如上图所示，它形成一个三角波：
　　如果你在一楼随意走上电梯，很可能下一部电梯会往下走。下一个电梯将仅在每小时的前两分钟内上行，例如，在9:00和9:01。上下电梯停站的次数是一样的，但是下一个电梯上升的概率只有60分之2。
　　在火车站也可以观察到类似的效果，靠近线路末端的车站可能会让下一班火车开往线路末端。
　　多部电梯
　　如果建筑物中有不止一部电梯，则偏差会减小——因为在至少有一部电梯在他们下方的时间内，有意向的乘客更有可能到达电梯大厅；有无限数量的电梯，概率是相等的。
　　在上面的例子中，如果有30层和58部电梯，那麽每分钟每层有2部电梯，一个上，一个下（除了顶部和底部），消除偏差——每分钟，一部电梯上升，另一部下降。30部电梯间隔2分钟也会出现这种情况——在奇数楼层，它们交替上/下到达，而在偶数楼层，它们每两分钟同时到达。
　　真实案例
　　在真实的建筑物中，存在着複杂的因素，例如：电梯在地面或一楼频繁使用，闲置时返回的趋势；需求不平衡，每个人都想在一天结束时下降；较低楼层的人更愿意走楼梯；或者全电梯忽略外部楼层呼叫的方式。这些因素往往会改变观测到的到达频率，但并不能完全消除悖论。特别是，非常靠近顶层的用户会更加强烈地感受到这种悖论，因为电梯很少出现或需要在他们的楼层上方。
　　有趣的数字悖论
　　有趣的数字悖论是一个幽默的悖论，它源于试图将每个自然数归类为“有趣”或“无趣”。这个悖论表明每个自然数都是有趣的。“证明”是矛盾的：如果存在一组非空的无趣自然数，那麽就会有一个最小的无趣数——但最小的无趣数本身是有趣的，因为它是最小的无趣数，因此产生一个矛盾。
　　与数字有关的“趣味性”在正常情况下并不是一个正式的概念，但在一些数论家中似乎有一种与生俱来的“趣味性”概念。众所周知，在数学家GHHardy和SrinivasaRamanujan讨论有趣和无趣的数字时，Hardy说他乘坐的出租车的数字1729似乎“相当乏味”，Ramanujan立即回答说这很有趣，因为最小的数，即两个立方体以两种不同方式相加的总和。
　　矛盾的性质
　　试图以这种方式对所有数字进行分类会导致定义的悖论或矛盾。任何将自然数分成有趣和无趣的集合的假设似乎都失败了。由于有趣的定义通常是一个主观的、直观的概念，它应该被理解为自我参照的半幽默应用，以获得一个悖论。
　　如果“有趣”被客观地定义，这个悖论就会得到缓解：例如，在2009年6月12日的在线整数序列百科全书(OEIS)条目中没有出现的最小自然数最初被发现是11630。符合此定义的数字后来从2009年11月到至少2011年11月变为12407，然后到2012年4月为13794，直到它出现在OEIS序列中：截至2012年11月3日的A218631。自2013年11月以来，该数字为14228，至少到2014年4月14日。2021年5月，这个数字是20067。（这个无趣的定义是可能的，因为OEIS只为每个条目列出了有限数量的术语。例如，OEIS：A000027是所有自然数的序列，如果无限期地继续，将包含所有正整数。事实上，该序列在其条目中仅记录到77。）根据用于有趣数字列表的来源，可以以同样的方式将各种其他数字描述为无趣。
　　然而，由于数学中有许多利用自指的重要结果（例如哥德尔不完备定理），这个悖论说明了自指的一些力量，，因此触及了许多领域的严重问题的学习。如果将一个“有趣的”数定义为可以由包含比该数本身少的位的程序计算的数，则该悖论可以直接与哥德尔的不完备性定理相关。
　　历史
　　马丁·加德纳（MartinGardner）在1958年的《科学美国人》（ScientificAmerican）专栏中将这个悖论描述为“错误的证明”。这个想法可能在此之前就已经流传开来，因为1980年给数学老师的一封信中提到了一个诙谐的证明：“所有自然数都是有趣”在三年前就已经讨论过了。1977年，GregChaitin提到了Gardner的悖论陈述，并指出它与BertrandRussell早期关于存在最小不可定义序数的悖论的关係（儘管所有的序数集都有一个最小的元素，并且“最小的不可定义的序数”似乎是一个定义）。
　　在ThePenguinDictionaryofCuriousandInterestingNumbers(1987)中，DavidWells评论说39“似乎是第一个无趣的数字”，这一事实使它“特别有趣”，因此39必须同时是有趣和乏味的。数学家和哲学家亚历克斯·贝洛斯（AlexBellos）在2014年建议，最低无趣数字的候选者是224，因为它是当时“在维基百科上没有自己页面的最低数字”。
　　马铃薯悖论
　　马铃薯悖论是一种具有反直觉结果的数学计算。通用数学书这样描述了这个问题：
　　Fred带回家100公斤土豆，这些土豆（纯数学土豆）由99%的水（纯数学水）组成。然后他把它们放在外面过夜，这样它们就含有98%的水。他们的新体重是多少？
　　然后揭晓答案：
　　令人惊讶的答案是50公斤。
　　在奎因的悖论分类中，马铃薯悖论是一个真实的悖论。
　　如果马铃薯99%是水，那麽乾重是1%。这意味着100公斤的土豆含有1公斤的干重。这个质量不会改变，因为只有水蒸发。
　　为了使土豆含有98%的水分，乾重必须达到总重量的2%-是以前的两倍。乾重的数量-1kg-无法更改，因此只能通过减少马铃薯的总质量来实现。由于乾重的比例必须加倍，马铃薯的总质量必须减半，答案是50公斤。
　　
　　一个可视化，其中蓝色框代表公斤水，橙色框代表公斤固体马铃薯物质。左图，脱水前：1kg物质，99kg水（99%水）。中间：1公斤物质，49公斤水（98%水）。