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　　理查悖论
　　在逻辑上，理查德悖论是集合论和自然语言的语义二律背反，由法国数学家朱尔斯·理查德于1905年首次描述。悖论通常用于激发仔细区分数学和元数学的重要性。
　　库尔特·哥德尔在“关于数学原理和相关係统中的形式上不可判定的命题I”的介绍部分特别引用了理查德的二律背反作为他的句法不完整性结果的语义类比。这个悖论也是预测数学发展的动力。
　　描述
　　由Richard(1905)提出的悖论的原始陈述与康托尔关于实数集不可数性的对角线论证密切相关。
　　这个悖论始于观察到自然语言的某些表达方式明确定义实数，而自然语言的其他表达方式则没有。例如，“整数部分为17且n为偶数时其小数点后n位为0，如果n为奇数时为1”的实数定义了实数17.1010101...=1693/99，而短语“英格兰的首都”没有定义实数，短语“无法在60个字母以下定义的最小正整数”（参见Berry悖论）也没有定义。
　　有一个无限的英语短语列表（每个短语的长度都是有限的，但列表本身的长度是无限的），它们明确地定义了实数。我们首先通过增加长度来排列这个短语列表，然后按字典顺序对所有长度相等的短语进行排序，以便排序是规范的。这会产生对应实数的无限列表：r1,r2,...。现在定义一个新的实数r如下。r的整数部分为0，如果rn的第n位小数，则r的第n位小数为1不为1，如果rn的第n位小数为1，则r的第n位小数为2。
　　前面的段落是一个明确定义实数r的英语表达式。因此r必须是数字rn之一。然而，r被构造成它不能等于任何rn（因此，r是一个不可定义的数字）。这是自相矛盾的矛盾。
　　分析及与元数学的关係
　　理查德的悖论导致了一个站不住脚的矛盾，必须对其进行分析才能发现错误。
　　新实数r的拟议定义显然包括有限的字符序列，因此乍一看似乎是实数的定义。但是，该定义指的是英语本身的可定义性。如果有可能确定哪些英语表达实际上是定义一个实数，而哪个没有，那麽悖论就会发生。因此，理查德悖论的解决方案是没有任何方法可以明确地确定哪些英语句子是实数的定义（参见Good1966）。也就是说，没有任何方法可以用有限数量的单词来描述如何判断任意英文表达式是否是实数的定义。这并不奇怪，因为做出这种决定的能力也意味着解决停机问题和执行任何其他可以用英语描述的非算法计算的能力。
　　类似的现象发生在能够引用自己语法的形式化理论中，例如Zermelo-Fraenkel集合论(ZFC)。假设一个公式φ(x)定义了一个实数，如果恰好有一个实数r使得φ(r)成立。然后不可能通过ZFC定义定义实数的所有（哥德尔数）公式的集合。因为，如果可以定义这个集合，就可以对它进行对角化，从而产生一个新的实数定义，遵循上面理查德悖论的轮廓。请注意，定义实数的公式集可能存在，作为集合F;ZFC的局限性在于没有任何公式可以在不参考其他集合的情况下定义F。这与塔斯基不可定义定理有关。
　　ZFC的例子说明了将形式系统的元数学与形式系统本身的陈述区分开来的重要性。ZFC的公式φ定义唯一实数的性质D(φ)本身不能由ZFC表示，但必须被视为用于形式化ZFC的元理论的一部分。从这个观点来看，Richard的悖论源于将元理论的构造（原始系统中定义实数的所有陈述的枚举）视为可以在原始系统中执行的构造。
　　变化：理查德数
　　悖论的一个变体使用整数而不是实数，同时保留了原始的自指特徵。考虑一种定义整数的算术属性的语言（例如英语）。例如，“第一个自然数”定义为第一个自然数的性质，一；并且“可被两个自然数整除”定义了作为素数的属性（很明显，某些属性不能明确定义，因为每个演绎系统都必须从一些公理开始.但是为了这个论证的目的，假设已经理解了诸如“整数是两个整数之和”之类的短语）。虽然所有此类可能定义的列表本身是无限的，但很容易看出每个单独的定义由有限数量的单词组成，因此也是有限数量的字符。既然这是真的，我们可以先按长度，然后按字典顺序对定义进行排序。
　　现在，我们可以将每个定义映射到自然数集合中，使得字符数和字母顺序最少的定义对应数字1，系列中的下一个定义对应数字2，以此类推。由于每个定义都与一个唯一的整数相关联，因此分配给定义的整数有时可能适合那个定义。例如，如果定义“不能被除1和自身以外的任何整数整除”恰好是第43位，那麽这将是正确的。由于43本身不能被除1和自身以外的任何整数整除，因此这个定义的数具有定义本身的性质。然而，情况可能并非总是如此。如果定义：“可被3整除”被分配给数字58，则定义的数字不具有定义本身的属性。因为58本身不能被3整除。后一个例子将被称为具有Richardian的性质。因此，如果一个数是Richardian，则对应于该数的定义是该数本身不具有的属性。（更正式地说，“x是Richardian”等价于“x不具有由定义表达式指定的属性，x在一系列定义中与x相关”。）因此在这个例子中，58是Richardian，但43不是。
　　现在，由于Richardian的性质本身就是整数的数值性质，它属于所有性质定义的列表。因此，Richardian的性质被分配了一个整数，n.例如，“成为理查德”的定义可能被分配给数字92。最后，悖论变成：92是理查德吗？假设92是Richardian。这只有在92不具有与其相关的定义表达式指定的属性时才有可能。换句话说，这意味着92不是Richardian，这与我们的假设相矛盾。但是，如果我们假设92不是Richardian，那麽它确实具有它对应的定义属性。根据定义，这意味着它是Richardian，再次与假设相反。因此，陈述“92是理查德”不能始终被指定为真或假。
　　与预测主义的关係
　　关于理查德悖论的另一种观点与数学预测主义有关。按照这种观点，实数是分阶段定义的，每个阶段只参考之前的阶段和其他已经定义的东西。从预测的角度来看，在生成新实数的过程中量化所有实数是无效的，因为这被认为会导致定义中的循环问题。ZFC等集合论不是基于这种谓词框架，而是允许谓词定义。
　　理查德（1905）从预测主义的观点提出了解决这个悖论的方法。理查德声称自相矛盾的构造的缺陷在于，构造实数r的表达式实际上并没有明确地定义一个实数，因为该陈述指的是构造一个无限的实数集，其中r本身是一部分。因此，Richard说，实数r不会作为任何rn包含在内，因为r的定义不符合包含在用于构造序列rn的定义序列中的标准。当代数学家一致认为r无效，但出于不同的原因。他们认为r的定义是无效的，因为没有明确定义英语短语何时定义实数的概念，因此没有明确的方法来构造序列rn。
　　儘管理查德对悖论的解决方案没有得到数学家的青睐，但谓词论是数学基础研究的重要组成部分。HermannWeyl在DasKontinuum中首先详细研究了谓词，其中他表明许多基本实分析可以以仅从自然数开始的谓词方式进行。最近，所罗门·费弗曼（SolomonFeferman）研究了谓语主义，他使用证明理论来探索谓语系统和谓语系统之间的关係。
　　罗素悖论
　　在数理逻辑中，罗素悖论（又称罗素悖论）是英国哲学家和数学家伯特兰·罗素于1901年发现的集合论悖论。[1][2]罗素悖论表明，每一个集合论都包含一个无限制的理解原理导致矛盾。[3]德国数学家ErnstZermelo在1899年已经独立发现了这个悖论。[4]然而，Zermelo没有发表这个想法，只有大卫希尔伯特、埃德蒙胡塞尔和哥廷根大学的其他学者才知道这个想法。在1890年代末，被认为是现代集合论的创始人的乔治·康托尔已经意识到他的理论会导致矛盾，他写信告诉希尔伯特和理查德·戴德金德。[5]
　　根据不受限制的理解原则，对于任何定义充分的属性，都存在所有且只有具有该属性的对象的集合。令R是所有不属于它们自己的集合的集合。如果R不是它自己的成员，那麽它的定义就意味着它是它自己的成员；如果它是自身的成员，那麽它就不是自身的成员，因为它是所有不属于自身的集合的集合。由此产生的矛盾就是罗素悖论。在符号中：
　　让R={X∣X∉x},thenR∈R⟺R∉R
　　罗素还表明，在德国哲学家和数学家戈特洛布弗雷格构建的公理系统中可以推导出一个版本的悖论，从而破坏了弗雷格将数学简化为逻辑并质疑逻辑主义程序的尝试。1908年都提出了两种有影响力的避免悖论的方法：罗素自己的类型论和策梅洛集合论。特别是，策梅洛的公理限制了无限理解原则。随着AbrahamFraenkel的额外贡献，Zermelo集合论发展成为现在标准的Zermelo-Fraenkel集合论（通常称为ZFC，当包括选择公理）。Russell和Zermelo对悖论的解决方案的主要区别在于，Zermelo在保持标准逻辑语言的同时修改了集合论的公理，而Russell修改了逻辑语言本身。ZFC的语言，在ThoralfSkolem的帮助下，变成了一阶逻辑的语言。
　　非正式介绍
　　大多数经常遇到的集合不是它们自己的成员。例如，考虑平面中所有正方形的集合。这个集合本身不是平面中的正方形，因此它不是自身的成员。如果集合不是自身的成员，我们称它为“正常”，如果它是自身的成员，我们称它为“异常”。显然，每一组都必须是正常的或异常的。平面中的正方形集合是正常的。相反，包含平面中不是正方形的所有内容的互补集本身不是平面中的正方形，因此它是它自己的成员之一，因此是异常的。
　　现在我们考虑所有正常集合的集合R，并尝试确定R是正常的还是异常的。如果R是正态的，它将包含在所有正态集（本身）的集合中，因此是异常的；另一方面，如果R是异常的，则它不会包含在所有正常集合（本身）的集合中，因此是正常的。这导致了R既不正常也不异常的结论：罗素悖论。
　　正式介绍
　　术语“朴素集合论”以多种方式使用。在一种用法中，朴素集理论是一种形式理论，它是用一阶语言和一个二元非逻辑谓词表达的∈，这包括外延公理：
　　∀X∀Y(∀z(z∈X⟺z∈Y)⟹X=Y)
　　和无限制理解的公理模式：
　　∃Y∀X(X∈Y⟺φ(X))
　　对于任何公式φ将变量x作为内部的自由变量φ.代替X∉X为了φ(X).然后通过存在实例化（重用符号Y)和我们拥有的通用实例化
　　Y∈Y⟺Y∉Y
　　一个矛盾。因此，这种朴素集合论是不一致的。
　　集合论响应
　　从经典逻辑的爆炸原理出发，任何命题都可以从矛盾中得到证明。因此，像罗素悖论这样的矛盾在公理集合论中的存在是灾难性的。因为如果任何公式可以被证明为真，它就会破坏真假的传统意义。此外，由于集合论被视为所有其他数学分支公理化发展的基础，罗素的悖论威胁到整个数学的基础。这促使在20世纪之交进行了大量研究，以开发一致的（无矛盾的）集合论。
　　1908年，ErnstZermelo提出了集合论的公理化，通过用较弱的存在公理代替任意集合理解来避免朴素集合论的悖论，例如他的分离公理(Aussonderung)。1920年代，AbrahamFraenkel、ThoralfSkolem和Zermelo本人对这一公理理论进行了修改，产生了称为ZFC的公理集合论。一旦Zermelo的选择公理不再引起争议，这个理论就被广泛接受，并且ZFC一直是规范的公理化集合论直到今天。
　　ZFC并不假设，对于每个属性，都有一组满足该属性的所有事物。相反，它断言给定任何集合X，存在可使用一阶逻辑定义的X的任何子集。上面讨论的对象R不能以这种方式构造，因此不是ZFC集。在ZFC的某些扩展中，像R这样的对像被称为适当的类。
　　ZFC对类型保持沉默，儘管累积层次结构具有类似于类型的层的概念。Zermelo本人从未接受Skolem使用一阶逻辑语言对ZFC的表述。正如JoséFerreirós所指出的，Zermelo坚持认为“用于分离子集的命题函数（条件或谓词）以及替换函数可以是‘完全任意的’[ganzbeliebig]；”对这一说法的现代解释是，Zermelo想要包括高阶量化以避免斯科勒姆悖论。大约在1930年，策梅洛还引入了（显然独立于冯诺依曼）基础公理，因此——正如Ferreirós所观察到的——“通过禁止‘循环’和‘无根据’的集合，它[ZFC]结合了TT[类型理论]的关键动机之一——论证类型的原则”。Zermelo喜欢的这种二阶ZFC，包括基础公理，允许丰富的累积层次结构。Ferreirós写道：“Zermelo的‘层’与Gödel和Tarski提供的简单TT[类型理论]的当代版本中的类型基本相同。人们可以将Zermelo将他的模型开发成的累积层次描述为累积的宇宙TT，其中允许超限类型。（一旦我们採用了禁言式的观点，放弃了类是构造的想法，接受超限类型就不是不自然的了。）因此，简单的TT和ZFC现在可以被视为本质上“谈论”相同预期对象的系统。主要区别在于TT依赖于强大的高阶逻辑，而Zermelo採用二阶逻辑，ZFC也可以给出一阶公式。累积层次结构的一阶‘描述’要弱得多，正如可数模型的存在（斯科勒姆悖论）所表明的那样，但它具有一些重要的优势。”
　　在ZFC中，给定一个集合A，可以定义一个集合B，该集合恰好由A中不是自身成员的集合组成。根据罗素悖论中的相同推理，B不能在A中。罗素悖论的这种变体表明，没有集合包含一切。
　　通过Zermelo和其他人，尤其是JohnvonNeumann的工作，ZFC所描述的一些人眼中的“自然”物体的结构最终变得清晰起来；它们是冯诺依曼宇宙V的元素，由空集通过超限迭代幂集运算构建而成。因此，现在可以再次以非公理化的方式对集合进行推理，而不会与罗素悖论发生冲突，即通过对V的元素进行推理。以这种方式来考虑集合是否合适，是对立的数学哲学观点之间的一个争论点。
　　罗素悖论的其他解决方案，其基本策略更接近类型论，包括奎因的新基础和斯科特-波特集合论。另一种方法是用适当修改的理解方案来定义多重隶属关係，如在双扩展集理论中。
　　历史
　　罗素在1901年5月或1901年6月发现了这个悖论。根据他自己在1919年数学哲学导论中的描述，他“试图在康托尔的证明中发现一些缺陷，即没有最伟大的红衣主教”。在1902年的一封信中，他向戈特洛布·弗雷格宣布了弗雷格1879年的Begriffsschrift中的悖论的发现，并从逻辑和集合论的角度，特别是在弗雷格对函数的定义方面提出了这个问题：
　　只有一个地方我遇到了困难。您声明（第17页[以上第23页]）一个函数也可以充当不确定元素。这是我以前相信的，但现在我觉得这个观点很可疑，因为下面的矛盾。令w为谓词：成为一个不能谓词自身的谓词。w可以自称吗？从每个答案中，它的反面如下。因此我们必须得出结论w不是谓词。同样，在那些阶级中，没有一个阶级（作为一个整体），每个阶级作为一个整体，不属于它们自己。由此我得出结论，在某些情况下，一个可定义的集合[Menge]不会形成一个整体。
　　罗素将继续在他的1903年的数学原理中详细介绍它，在那裡他重複了他第一次遇到悖论：
　　在离开基本问题之前，有必要更详细地研究已经提到的关于自身不可谓词的奇异矛盾。......我可能会提到，我是在努力协调康托尔的证明时被引导到它的......”
　　就在弗雷格正在准备他的GrundgesetzederArithmetik的第二卷时，罗素就这个悖论写信给弗雷格。弗雷格对罗素的反应非常迅速；他在1902年6月22日的信出现了，并附有vanHeijenoort在Heijenoort1967:126-127中的评论。然后，弗雷格写了一个附录，承认了这个悖论，并提出了一个解决方案，罗素会在他的《数学原理》[中认可，但后来被一些人认为是不令人满意的。就罗素而言，他在印刷厂工作，并添加了关于类型学说的附录。
　　ErnstZermelo在他的(1908)Anewproofofanewproofofawell-orderingofawell-ordering（发表于他发表“第一个公理集合论”的同时发表）声称在Cantor的朴素集合论中先发现了矛盾.他说：“然而，即使是罗素9给出的集合论二律背离的基本形式，也可以说服他们[J.König,Jourdain,F.Bernstein]认为这些困难的解决方案不是在投降中寻求的有序但仅在对集合概念的适当限制中”。脚註9是他提出主张的地方：
　　91903，第6-8页。然而，我自己独立于罗素发现了这种矛盾，并在1903年之前将其传达给了希尔伯特教授等人。
　　弗雷格将他的《算术概论》的副本寄给希尔伯特；如上所述，弗雷格的最后一卷提到了罗素向弗雷格传达的悖论。1903年11月7日，希尔伯特收到弗雷格的最后一卷书后，给弗雷格写了一封信，他在信中提到了罗素的悖论，“我相信策梅洛博士在三四年前发现了它”。在EdmundHusserl的Nachlass中发现了Zermelo实际论证的书面记录。
　　1923年，路德维希·维特根斯坦提出如下“处置”罗素悖论：
　　一个函数不能是它自己的参数的原因是一个函数的符号已经包含了它的参数的原型，它不能包含它自己。因为让我们假设函数F(fx)可以是它自己的参数：在这种情况下，会有一个命题F(F(fx))，其中外部函数F和内部函数F必须具有不同的含义，因为内层的形式为O(fx)，外层的形式为Y(O(fx))。只有字母“F”对这两个功能是通用的，但字母本身没有任何意义。如果我们写成(do):F(Ou)而不是F(Fu)，这一点立即变得清晰。欧=福.这解决了罗素的悖论。(TractatusLogico-Philosophicus,3.333)
　　罗素和阿尔弗雷德·诺斯·怀特黑德写了他们的三卷本《数学原理》，希望实现弗雷格无法做到的事情。他们试图通过採用他们为此目的设计的类型理论来消除朴素集合论的悖论。虽然他们以某种方式成功地为算术奠定了基础，但完全不明显他们是通过纯粹的逻辑手段做到这一点的。虽然《数学原理》避免了已知的悖论并允许推导大量数学，但它的系统引发了新的问题。
　　无论如何，库尔特·哥德尔在1930-31年证明，虽然《数学原理》的大部分逻辑（现在称为一阶逻辑）是完整的，但如果皮亚诺算术是一致的，则它必然是不完整的。这被非常广泛地——儘管不是普遍地——认为表明弗雷格的逻辑主义纲领是不可能完成的。
　　2001年，庆祝罗素悖论诞生一百週年的百年国际会议在慕尼黑举行，会议记录已出版。
　　应用版本
　　这个悖论有一些版本更接近现实生活，对于非逻辑学家来说可能更容易理解。例如，理发师悖论假设一个理发师给所有不给自己刮鬍子的人刮鬍子，而且只给不给自己刮鬍子的人刮鬍子。当人们考虑理发师是否应该为自己刮鬍子时，悖论开始出现。
　　对理发师悖论等“外行人的说法”的一个简单反驳似乎是不存在这样的理发师，或者理发师患有脱发症，或者是女性，而在后两种情况下，理发师不刮鬍子，等等可以无悖论地存在。罗素悖论的全部意义在于，“这样的集合不存在”的答案意味着给定理论中集合概念的定义是不令人满意的。注意“这样一个集合不存在”和“它是一个空集合”这两个陈述之间的区别。这就像说“没有桶”和说“桶是空的”之间的区别。
　　上述情况的一个显着例外可能是格雷林-纳尔逊悖论，其中词语和意义是场景的要素，而不是人和理发。虽然通过说这样的理发师不存在（也不可能存在）来反驳理发师悖论很容易，但对于一个有意义定义的词，不可能说类似的话。
　　将悖论戏剧化的一种方式如下：假设每个公共图书馆都必须编制一份其所有书籍的目录。由于目录本身就是图书馆的书籍之一，一些图书馆员为了完整起见将其包含在目录中；而其他人则忽略它，因为它是图书馆的一本书，这是不言而喻的。现在想像一下，所有这些目录都发送到国家图书馆。他们中的一些人将自己包含在他们的列表中，而另一些则没有。国家图书馆员编制了两份总目录——一份列出了自己的目录，一份没有列出。
　　问题是：这些主目录是否应该列出自己？“列出自己的所有目录的目录”没有问题。如果图书馆员没有将它包含在自己的列表中，它仍然是那些包含它们自己的目录的真实目录。如果他确实包括了它，它仍然是那些列出自己的目录的真实目录。然而，正如图书管理员不会在第一个主目录上出错一样，他也注定会在第二个目录上失败。当涉及到“所有不列出自己的目录的目录”时，图书馆员不能将其包含在自己的列表中，因为这样它就会包含自己，因此属于另一个目录，即确实包含自己的目录.但是，如果图书管理员遗漏了它，则目录是不完整的。无论哪种方式，
　　应用程序和相关主题
　　类罗素悖论
　　如上文理发师悖论所示，罗素悖论不难扩展。拿：
　　及物动词<V>，可以应用于其实体形式。
　　造句：
　　<V>是所有（并且只有那些）自己不<V>的人，
　　有时“all”会被“all<V>ers”代替。
　　一个例子是“油漆”：
　　画所有（而且只有那些）不画自己的画家。
　　或“选举”
　　选举人或（代表）选举所有不选举自己的人。
　　在《生活大爆炸》第8季剧集“天行者入侵”中，谢尔登·库珀分析了歌曲“PlayThatFunkyMusic”，得出的结论是歌词呈现了罗素悖论的音乐示例。
　　属于该方案的悖论包括：
　　理发师用“刮鬍子”。
　　原始的罗素悖论与“包含”：包含所有不包含自身的（容器）的容器（集合）。
　　Grelling-Nelson悖论与“描述者”：描述所有词的描述者（词），不描述自己。
　　理查德与“表示”的悖论：表示所有不表示自己的表示者（数字）的表示者（数字）。（在这个悖论中，所有对数字的描述都会得到一个分配的数字。术语“表示所有不表示自己的表示符（数字）”在这裡称为Richardian。）
　　“我在撒谎。”，即说谎者悖论和埃皮门尼德悖论，其起源是古老的
　　罗素-迈希尔悖论