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克莱恩-罗瑟悖论
在数学中，Kleene-Rosser悖论是一个悖论，它表明某些形式逻辑系统是不一致的，特别是HaskellCurry于1930年推出的组合逻辑版本，以及AlonzoChurch最初于1932年推出的lambda演算——19年，两者最初都打算作为形式逻辑系统。1935年，StephenKleene和JBRosser展示了这个悖论。
悖论
Kleene和Rosser能够证明，这两个系统都能够描述和列举它们可证明的总体、可定义的数论函数，这使他们能够构建一个在形式语言中基本上複製理查德悖论的术语。
库里后来设法确定了允许构建这个悖论的微积分的关键成分，并用它来构建一个更简单的悖论，现在被称为库裡悖论。
知道者悖论
知道者悖论是属于自我参照悖论家族的悖论（如说谎者悖论）。非正式地，它包括考虑一个自称不知道的句子，并且显然推导出这样的句子既不知道又不知道的矛盾。
历史
悖论的一个版本已经出现在ThomasBradwardine的Insolubilia的第9章中。在对自我参照悖论进行现代讨论之后，美国逻辑学家和哲学家大卫·卡普兰和理查德·蒙塔古重新发现了这个悖论（并以现在的名字命名），现在被认为是该地区的一个重要悖论。该悖论与其他认知悖论有关，例如刽子手悖论和可知性悖论。
公式
知识的概念似乎受到知识是事实的原则的支配：
(KF)：如果句子'P'是已知的，那麽P
（我们使用单引号来指代引号内的语言表达，而“已知”是“在某个时候被某人知道”的缩写）。它似乎也受到证明产生知识的原则的支配：
(PK)：如果句子'P'已经被证明，那麽'P'是已知的
但是考虑以下句子：
(K):(K)未知
假设(K)是已知的。然后，通过(KF)，(K)是未知的，因此，通过归约法，(K)是未知的。现在，这个结论，也就是句子(K)本身，不依赖于未释放的假设，因此刚刚被证明。因此，通过（PK），我们可以进一步得出结论，（K）是已知的。将这两个结论放在一起，我们就有了矛盾，即(K)既不知道又不知道。
解决方案
因为，给定对角引理，每一个足够强的理论都必须接受类似(K)的东西，所以只能通过拒绝两个知识原理(KF)和(PK)之一或拒绝经典逻辑（其中验证从（KF）和（PK）到荒谬的推理）。第一种策略细分为几个备选方案。一种方法从AlfredTarski关于说谎者悖论的工作中所熟悉的真值谓词层次结构中获得灵感，并构建了一个类似的知识谓词层次结构。另一种方法支持单一知识谓词，但採用悖论来质疑(PK)的不受限制的有效性或至少了解（KF）。第二种策略也细分为几个备选方案。一种方法拒绝排中律，因此拒绝归谬法。另一种方法支持reduceioadabsurdum，因此接受(K)既不知道又不知道的结论，从而拒绝不矛盾律。
骗子悖论
在哲学和逻辑中，经典的说谎者悖论或说谎者的悖论或说谎者的悖论是说谎者在说谎的陈述：例如，宣称“我在说谎”。如果说谎者确实在说谎，那麽说谎者说的是真话，这意味着说谎者只是在撒谎。在“这句话是谎言”中，悖论被加强了，以使其能够进行更严格的逻辑分析。它仍然通常被称为“说谎者悖论”，儘管抽像是从说谎者的陈述中抽像出来的。试图将经典的二元真值分配给这个陈述，强化的骗子，导致矛盾.
如果“这句话是假的”是真的，那麽它就是假的，但句子说它是假的，如果它是假的，那麽它一定是真的，以此类推。
历史
Epimenides悖论（大约公元前600年）被认为是说谎者悖论的一个例子，但它们在逻辑上并不等同。据报导，半神话的先知埃皮梅尼德斯（Epimenides）是一名克里特岛人，他说“所有的克里特岛人都是骗子”。然而，Epimenides关于所有克里特岛人都是骗子的声明可以被认定为虚假，因为他知道至少有一个其他克里特岛人不说谎（或者，它可以被视为仅仅是所有克里特岛人都说谎的声明，并不是说他们只会说谎）。
这个悖论的名字在古希腊语中翻译为pseudómenoslógos(ψευδόμενοςλόγος)。说谎者悖论的一个版本归因于希腊哲学家米利都的Eubulides，他生活在公元前4世纪。据报导，尤布利德斯问道：“一个人说他在撒谎。他说的是真的还是假的？”
圣杰罗姆曾在佈道中讨论过这个悖论：
“我惊恐地说，每个人都是骗子！”大卫说的是真话还是说谎？如果每个人都是说谎者是真的，并且大卫所说的“每个人都是说谎者”是真的，那麽大卫也是在说谎；他也是一个男人。但是，如果他也在撒谎，那麽他“每个人都是骗子”的说法，因此是不正确的。无论你如何转命题，结论都是矛盾的。既然大卫自己是人，那麽他也是在撒谎；但如果他说谎是因为每个人都是说谎者，那麽他的谎言就不同了。
印度语法学家兼哲学家Bharthari（公元5世纪末）非常清楚一个说谎者的悖论，他将其表述为“我所说的一切都是假的”（sarvammithyābravīmi）。他将这一陈述与“不可意义”的悖论一起分析，并探讨了日常生活中没有问题的陈述与悖论之间的界限。
从9世纪后期开始，早期伊斯兰传统中关于说谎者悖论的讨论至少有五个世纪，而且显然没有受到任何其他传统的影响。Naṣīral-Dīnal-Ṭūsī可能是第一个将说谎者悖论认定为自我指涉的逻辑学家。
解释和变体
说谎者悖论的问题在于，它似乎表明，关于真假的共同信念实际上导致了矛盾。可以构造的句子即使完全符合语法和语义规则，也不能始终被赋予真值。
悖论的最简单版本是以下句子：
答：这个说法（A）是错误的。
如果(A)为真，则“此陈述为假”为真。因此，（A）一定是假的。（A）为真的假设导致（A）为假的结论，这是一个矛盾。
如果（A）是假的，那麽“这个陈述是假的”是假的。因此，(A)必须为真。(A)为假的假设导致(A)为真的结论，这是另一个矛盾。无论哪种方式，（A）都是真假，这是一个悖论。
然而，说谎的句子如果是假的就可以证明是真的，如果它是真的就可以证明是假的，这导致一些人得出结论，它“既非真也不假”。这种对悖论的回应实际上是拒绝每个陈述都必须是真或假的主张，也称为二价原则，这是一个与排中律有关的概念。
该陈述既非真也不假的提议引发了以下悖论的强化版本：
这种说法是不正确的。(B)
如果(B)既不真也不假，那麽它一定不是真。由于这是(B)本身所说的，这意味着(B)必须为true。由于最初（B）不是真的，现在是真的，另一个悖论出现了。
对(A)悖论的另一种反应是，正如GrahamPriest所做的那样，假设该陈述既是对的又是错的。然而，即使是Priest的分析也容易受到以下版本的骗子的影响：
这种说法只是错误的。（C）
如果（C）既是真又是假，那麽（C）只是假的。但是，事实并非如此。由于最初(C)是真的，现在不是真的，这是一个悖论。然而，有人认为，通过採用二值关係语义（与功能语义相反），辩证法方法可以克服这个版本的骗子。
骗子悖论也有多个句子版本。以下是两句版本：
以下陈述是正确的。(D1)
前面的说法是错误的。(D2)
假设(D1)为真。则(D2)为真。这意味着(D1)是错误的。因此，(D1)既真又假。
假设(D1)为假。则(D2)为假。这意味着(D1)为真。因此(D1)既是真又是假。无论哪种方式，（D1）都是真假——与上面的（A）相同的悖论。
骗子悖论的多句版本推广到此类陈述的任何循环序列（其中最后一个陈述断言第一个陈述的真/假），前提是有奇数个陈述断言其后继者的错误；以下是三句话的版本，每个陈述都断言其继任者的错误：
E2为假。(E1)
E3是假的。(E2)
E1为假。(E3)
假设(E1)为真。那麽（E2）是假的，这意味着（E3）是真的，因此（E1）是假的，导致矛盾。
假设(E1)为假。那麽（E2）为真，这意味着（E3）为假，因此（E1）为真。无论哪种方式，（E1）都是真假——与（A）和（D1）相同的悖论。
可能还有许多其他变体和许多补充。在正常的句子结构中，最简单的补语版本是句子：
这个说法是真的。（F）
如果假设F具有一个真值，那麽它就会提出确定该值的对象的问题。但是，更简单的版本是可能的，假设单个单词“真”具有真值。悖论的类比是假设单个词“假”同样具有真值，即它是假的。这揭示了悖论可以简化为假设谬误的想法本身俱有真值的心理行为，即谬误的想法本身是错误的：一种歪曲的行为。因此，悖论的对称版本将是：
以下陈述是错误的。(G1)
前面的说法是错误的。(G2)
可能的解决方案
模煳逻辑
在模煳逻辑中，语句的真值可以是介于0和1之间的任何实数，这与布尔逻辑相反，布尔逻辑中的真值只能是整数值0或1。在这个系统中，语句“这statementisfalse”不再自相矛盾，因为它可以被赋予0.5的真值，使其恰好一半正确，一半错误。一个简化的解释如下所示。
让我们用x来表示“这个陈述是假的”陈述的真值。声明变成
X=ñoT(X)
通过将NOT运算符推广到模煳逻辑中的等效Zadeh运算符，语句变为
X=1-X
由此得出
X=0.5
阿尔弗雷德·塔斯基
阿尔弗雷德·塔斯基将悖论诊断为仅出现在“语义封闭”的语言中，他的意思是一种语言，在这种语言中，一个句子可以用相同的语言（甚至其本身）表示另一个句子的真（或假）。为了避免自相矛盾，在讨论真值时有必要设想语言的层次，每个层次只能谓词较低层次的语言的真（或假）。因此，当一个句子指代另一个句子的真值时，它在语义上更高。引用的句子是“目标语言”的一部分，而引用的句子被认为是相对于目标语言的“元语言”的一部分。“语言”中的句子是合法的语义层次较高的句子是指“语言”层次中较低的句子，但不是相反。这可以防止系统变得自引用。
然而，这个系统是不完整的。人们希望能够做出诸如“对于层次结构的级别α中的每个语句，级别α+1的语句断言第一个语句是错误的”这样的语句。这是关于Tarski定义的层次结构的真实、有意义的陈述，但它指的是层次结构中每一层的陈述，因此它必须高于层次结构的每一层，因此在层次结构中是不可能的（儘管有界版本的句子是可能的）。SaulKripke在他被高度引用的论文“真理理论大纲”中发现了塔斯基层次结构中的这种不完整性，它被认为是分层语言中的普遍问题。
亚瑟普赖尔
ArthurPrior断言说谎者悖论并没有什麽自相矛盾的地方。他的主张（他归因于查尔斯·桑德斯·皮尔斯和约翰·布里丹）是每个陈述都包含对其自身真实性的隐含断言。因此，例如，陈述“二加二等于四是真的”不包含比陈述“二加二等于四”更多的信息，因为短语“确实……”总是隐含地存在。并且在说谎者悖论的自我指涉精神中，短语“确实……”等同于“整个陈述是真实的并且……”。
因此以下两个语句是等价的：
这种说法是错误的。
这个陈述是真的，这个陈述是错误的。
后者是“A而不是A”形式的简单矛盾，因此是错误的。因此不存在悖论，因为声称这个二合取Liar是错误的并不会导致矛盾。EugeneMills给出了类似的答案。
索尔·克里普克
SaulKripke认为，一个句子是否自相矛盾取决于偶然的事实。:6如果史密斯对琼斯所说的唯一一件事是
琼斯所说的关于我的大部分内容都是错误的。
琼斯只说了关于史密斯的三件事：
史密斯是个大手笔。
史密斯对犯罪很软弱。
史密斯所说的关于我的一切都是真的。
如果史密斯真的是个大手笔，但对犯罪并不手软，那麽史密斯对琼斯的评论和琼斯对史密斯的最后评论都是自相矛盾的。
Kripke以下列方式提出了一个解决方案。如果一个陈述的真值最终与世界上一些可评估的事实联繫在一起，那麽该陈述就是“有根据的”。如果不是，那麽这种说法是“没有根据的”。没有根据的陈述没有真值。说谎者的陈述和类似骗子的陈述是没有根据的，因此没有真值。
乔恩·巴怀斯和约翰·埃切门迪
JonBarwise和JohnEtchemendy提出说谎者的句子（他们将其解释为强化的骗子的同义词）是模棱两可的。他们将这一结论建立在他们对“否认”和“否定”的区分之上。如果说谎者的意思是“这句话不是真的”，那麽它就是在否认自己。如果它的意思是“这个陈述不是真的”，那麽它就是在否定自己。他们继续根据情境语义争论说，“否认的骗子”可以是真实的而没有矛盾，而“否定的骗子”可以是虚假的而不矛盾。他们1987年出版的书大量使用了没有充分根据的集合论。
辩证神论
GrahamPriest和包括JCBeall和BradleyArmour-Garb在内的其他逻辑学家提出，说谎者的句子应该被认为是真假，这种观点被称为辩证论。辩证神论认为存在真正的矛盾。辩证神论提出了自己的问题。其中最主要的是，既然辩证神论承认说谎者悖论，一个内在矛盾是真实的，它必须抛弃长期以来公认的爆炸原理，该原理断言任何命题都可以从矛盾中推导出来，除非辩证神论者愿意接受琐碎主义——认为所有命题是真的。由于琐碎主义是一种直观的错误观点，辩证神论者几乎总是拒绝爆炸原理。拒绝它的逻辑称为paraconsistent。
非认知主义
安德鲁·欧文（AndrewIrvine）主张对悖论採用非认知主义的解决方案，他认为一些明显结构良好的句子将被证明既非真也不假，并且“单独的形式标准将不可避免地证明是不够的”来解决这一悖论。
Bhartrhari的透视主义
印度文法学家兼哲学家Bhartrhari（公元5世纪末）在其代表作Vākyapadīya的其中一章中处理了诸如骗子之类的悖论。Bharthari的解决方案符合他对语言、思想和现实的一般方法，一些人将其描述为“相对主义”、“不承诺”或“透视主义”。关于说谎者悖论（sarvammithyābravīmi“我所说的一切都是错误的”）Bharthari确定了一个隐藏参数，该参数可以将日常交流中没有问题的情况变成一个顽固的悖论。Bharthari的解决方案可以根据JulianRoberts于1992年提出的解决方案来理解：“悖论会消耗自己。但我们可以通过时间语境化的简单权宜之计将矛盾的交战双方分开：对于一个人来说，什麽是“真实的”时间点不必在另一个时间点如此......“奥斯汀”论点的整体力量不仅是“事情发生了变化”，而且理性本质上是暂时的，因为我们需要时间来调和和管理原本会发生的事情成为相互破坏的国家。”根据罗伯特的建议，正是“时间”因素使我们能够调和分离的“世界的一部分”，这在Barwise和Etchemendy的解决方案中起着至关重要的作用。:188防止这两个“世界的一部分”直接对抗的时间能力在“骗子”之外。然而，根据Bhartrhari的分析，将世界的两种观点或世界的两个“部分”（功能完成其任务之前的部分和之后的部分）分开的时间延伸是任何“功能”所固有的：还有表示每个陈述的基础的功能，包括“骗子”。无法解决的悖论——我们有矛盾（virodha）或无限倒退（anavasthā）的情况——出现在撒谎者和其他悖论（如不可意义悖论（Bhartrhari'sparadox））的情况下，当从这个函数进行抽象时（vyāpāra)及其在时间上的扩展，通过接受同时的、相反的功能(aparavyāpāra)撤销前一个功能。
逻辑结构
为了更好地理解说谎者悖论，以更正式的方式写下来是有用的。如果“这个陈述是假的”由A表示并且正在寻找它的真值，则有必要找到一个限制A可能的真值选择的条件。因为A是自指的，所以可以给出条件由一个方程。
如果假设某个陈述B为假，则写下“B=false”。陈述B为假的陈述(C)将写为“C='B=false'”。现在，说谎者悖论可以表达为陈述A，即A是假的：
A="A=假"
这是一个等式，可以从中获得A=“此陈述为假”的真值。在布尔域中，“A=false”等价于“非A”，因此方程不可解。这是重新解释A的动机。使方程可解的最简单的逻辑方法是辩证法，在这种情况下，解是A既是“真”又是“假”。其他分辨率大多包括对等式的一些修改；ArthurPrior声称等式应该是“A='A=false和A=true'”因此A是错误的。在计算动词逻辑中，说谎者悖论被扩展到诸如“我听到他说的话；他说我没听到的话”，其中必须使用动词逻辑来解决悖论。
应用
哥德尔第一不完备定理
哥德尔的不完备性定理是数理逻辑的两个基本定理，它们说明了足够强大的数学公理系统的固有局限性。这些定理在1931年由KurtGödel证明，在数学哲学中很重要。粗略地说，在证明第一不完备定理时，哥德尔使用了骗子悖论的修改版，将“这句话是假的”替换为“这句话不可证明”，称为“哥德尔句子G”。他的证明表明，对于任何足够强大的理论T，G为真，但在T中不可证明。G的真值和可证明性分析是对说谎者句子真值分析的形式化版本。
为了证明第一个不完备性定理，哥德尔用数字表示陈述。那麽手头的理论，它被假设证明了关于数字的某些事实，也证明了关于它自己陈述的事实。关于陈述的可证明性的问题被表示为关于数字属性的问题，如果它是完整的，它将由理论决定。在这些术语中，哥德尔句子指出，不存在具有某种奇怪性质的自然数。具有此属性的数字将编码理论不一致的证明。如果有这样一个数字，那麽该理论将是不一致的，这与一致性假设相反。因此，在理论一致的假设下，不存在这样的数字。
在哥德尔句子中不能用“假”代替“不可证明”，因为谓词“Q是假公式的哥德尔数”不能表示为算术公式。这个结果，被称为塔斯基不可定义定理，是由哥德尔（当时他正在研究不完备性定理的证明）和阿尔弗雷德塔斯基独立发现的。
此后，乔治·布洛斯（GeorgeBoolos）草拟了第一个不完备性定理的替代证明，该定理使用贝里悖论而不是说谎者悖论来构建一个真实但无法证明的公式。
在流行文化中
骗子悖论偶尔在小说中被用来关闭人工智能，因为人工智能被表现为无法处理句子。在星际迷航：原始系列剧集“我，穆德”中，柯克船长和哈利穆德使用骗子悖论来混淆并最终禁用一个囚禁他们的机器人。在1973年的神秘博士连载《绿色死亡》中，博士暂时难倒了疯狂的电脑BOSS，他问道：“如果我告诉你我接下来说的是真的，但我说的最后一句话是谎言，你相信我吗？”BOSS试图弄清楚，但无法解决，最终决定该问题无关紧要并召集安全人员。
在2011年的电子游戏《传送门2》中，人工智能GLaDOS试图利用“这句话是假的”悖论杀死另一个人工智能，惠特利。然而，由于缺乏理解该陈述的智慧是一个悖论，他只是简单地回答，“嗯，真的。我会选择真实的。在那裡，这很容易。”并且不受影响。幽默的是，除了GLaDOS之外的所有其他AI，所有这些AI的感知力和清醒度都明显低于她和Wheatley，但仍因听到悖论而死亡。然而，GLaDOS后来指出，她在试图杀死Wheatley时差点自杀。
Devo的歌曲EnoughSaid包含歌词ThenextthingIsayyouwillbetrue/最后一件事是假的。
在《我的世界：故事模式》第7集中名为“拒绝访问”的故事模式中，主角Jesse和他的朋友们被一台名为PAMA的超级计算机捕获。在PAMA控制了Jesse的两个朋友后，Jesse得知PAMA在处理过程中停顿，并使用一个悖论来迷惑他并与他的最后一个朋友一起逃跑。玩家可以让他说的悖论之一是骗子悖论。
在道格拉斯·亚当斯《银河系漫游指南》第21章中，他描述了一个孤独的老人居住在一颗小行星的空间坐标中，那裡应该是一个专门为比罗生命形式提供的整个星球。这位老人一再声称没有什麽是真的，儘管后来他发现他在撒谎。
罗林斯乐队1994年的歌曲“Liar”暗示了一个悖论，当叙述者结束歌曲时说“我会一次又一次地撒谎，我会继续撒谎，我保证”。
罗伯特·厄尔·基恩(RobertEarlKeen)的歌曲“TheRoadGoesOnandOn”暗示了这个悖论。这首歌被广泛认为是基恩与托比·基思（TobyKeith）争执的一部分，而托比·基思（TobyKeith）大概就是基恩所指的“骗子”。