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乌鸦悖论
乌鸦悖论，也称为Hempel的悖论，Hempel的乌鸦，或者很少是室内鸟类学的悖论，是一个悖论，源于什麽构成了陈述真实性的证据的问题。观察既不是黑色也不是乌鸦的物体可能会正式增加所有乌鸦都是黑色的可能性，儘管直觉上这些观察是不相关的。
这个问题是由逻辑学家CarlGustavHempel在1940年代提出的，以说明归纳逻辑和直觉之间的矛盾。
一隻黑色乌鸦，以及一组非黑色非乌鸦。乌鸦悖论表明，这两个图像都为所有乌鸦都是黑色的假设提供了证据。
悖论
Hempel根据假设描述了悖论：
(1)所有的乌鸦都是黑色的。以暗示的形式，这可以表示为：如果某物是乌鸦，那麽它是黑色的。
通过对立，这个语句等价于：
(2)如果某物不是黑色的，那麽它就不是乌鸦。
在(2)为真的所有情况下，(1)也为真——同样，在所有(2)为假的情况下（即，如果想像一个世界，其中的东西不是黑色的，而是一隻乌鸦，存在），（1）也是错误的。
给定一个一般性陈述，例如allravenareblack，引用一般类的特定可观察实例的同一陈述形式通常会被视为构成该一般性陈述的证据。例如，
(3)我的宠物乌鸦是黑色的。
是支持所有乌鸦都是黑色的假设的证据。
当同样的过程应用于陈述（2）时，就会出现悖论。看到青苹果时，可以观察到：
(4)这个青苹果不是黑的，也不是乌鸦。
通过同样的推理，这个陈述证明（2）如果某物不是黑色的，那麽它就不是乌鸦。但是由于（如上所述）这个陈述在逻辑上等价于（1）所有乌鸦都是黑色的，因此看到绿色苹果是支持所有乌鸦都是黑色的概念的证据。这个结论似乎是自相矛盾的，因为它暗示通过观察苹果已经获得了关于乌鸦的信息。
提议的决议
Nicod的标准说，只有对乌鸦的观察才会影响人们对是否所有乌鸦都是黑色的看法。观察更多的黑乌鸦实例应该支持该观点，观察白色或彩色乌鸦应该与之相矛盾，并且观察非乌鸦应该没有任何影响。
Hempel的等价条件指出，当一个命题X提供支持另一个命题Y的证据时，X也提供支持任何逻辑上等价于Y的命题的证据。
实际上，乌鸦的集合是有限的。非黑色事物的集合要么是无限的，要么是人类无法枚举的。为了确认“所有乌鸦都是黑色的”这一说法，有必要观察所有的乌鸦。这很困难，但可能。为了确认“所有非黑色的东西都是非乌鸦”的说法，有必要检查所有非黑色的东西。这是不可能的。观察黑乌鸦可以被认为是有限数量的确认证据，但观察非黑色非乌鸦将是无限量的证据。
该悖论表明Nicod准则和Hempel等价条件并不相互一致。解决悖论必须至少拒绝以下一项：
没有影响的负面实例（！PC），
等价条件(EC)，或者，
通过正例（NC）进行验证。
一个令人满意的解决方案还应该解释为什麽天真地似乎是一个悖论。接受矛盾结论的解决方案可以通过提出一个我们直觉知道是错误但很容易与(PC)混淆的命题来做到这一点，而拒绝(EC)或(NC)的解决方案应该提出一个我们直觉知道的命题是真的，但这很容易与（EC）或（NC）混淆。
接受相关的非乌鸦
儘管这个悖论的结论似乎违反直觉，但一些方法认为，对（有色）非乌鸦的观察实际上可以构成支持关于乌鸦（普遍黑色）的假设的有效证据。
亨普尔的决心
Hempel本人接受了自相矛盾的结论，认为结果看起来自相矛盾的原因是我们拥有先验信息，没有这些信息，对非黑非乌鸦的观察确实会提供证据证明所有乌鸦都是黑色的。
他以“所有钠盐都燃烧为黄色”这一概括的例子来说明这一点，并要求我们考虑当有人将一块纯冰放在不会变黄的无色火焰中时发生的观察：[3]：19–20
这个结果将证实“任何不燃烧黄色的东西都不是钠盐”这一断言，因此，凭藉等价条件，它将证实原始公式。为什麽这给我们留下了自相矛盾的印象？当我们将之前的情况与我们尚不知道其化学成分的物体放在火焰中并没有将其变黄的情况进行比较时，原因就很清楚了，随后的分析表明它不含钠盐。毫无疑问，我们应该同意，这一结果是基于假设的预期结果……因此，此处获得的数据构成了该假设的确认证据。...在看似矛盾的确认案例中，我们往往并没有真正判断给定证据的关係，仅将E与假设H...在我们的插图中，此信息包括以下知识：（1）实验中使用的物质是冰，以及（2）冰不含钠盐。如果我们假设这些附加信息是给定的，那麽，当然，实验的结果不会增加所考虑的假设的强度。但是，如果我们小心避免这种对额外知识的默认引用……悖论就会消失。该信息包括以下知识：（1）实验中使用的物质是冰，以及（2）冰不含钠盐。如果我们假设这些附加信息是给定的，那麽，当然，实验的结果不会增加所考虑的假设的强度。但是，如果我们小心避免这种对额外知识的默认引用……悖论就会消失。该信息包括以下知识：（1）实验中使用的物质是冰，以及（2）冰不含钠盐。如果我们假设这些附加信息是给定的，那麽，当然，实验的结果不会增加所考虑的假设的强度。但是，如果我们小心避免这种对额外知识的默认引用……悖论就会消失。
标准贝叶斯解
最受欢迎的提议之一是接受这样的结论，即对青苹果的观察提供了所有乌鸦都是黑色的证据，但认为由于乌鸦的数量和乌鸦的数量之间存在很大差异，提供的确认量非常小非黑色物体的数量。根据这个决议，这个结论显得自相矛盾，因为我们直观地估计观察一个青苹果所提供的证据数量为零，而实际上它不是零但非常小。
IJGood在1960年对这一论点的介绍也许是最着名的，从那时起，该论点的变体就一直很流行，儘管它是在1958年提出的[并且该论点的早期形式出现了早在1940年。
古德的论点包括计算观察一隻黑乌鸦或一隻白鞋所提供的证据的权重，以支持物体集合中的所有乌鸦都是黑色的假设。证据的权重是贝叶斯因子的对数，在这种情况下，贝叶斯因子只是在进行观察时假设的机率发生变化的因子。论据如下：
...假设有ñ随时可能看到的物体，其中r是乌鸦和b是黑色的，并且ñ每个对像都有概率1ñ被看见。让Hi假设有i非黑乌鸦，并假设假设H1,H2,...,Hr最初是等概率的。然后，如果我们碰巧看到一隻黑乌鸦，贝叶斯因子支持H0是
这比统一仅高出大约r/(2ñ-2b)如果ñ-b比较大r.因此，看到一隻白鞋所提供的证据权重是肯定的，但如果已知乌鸦的数量与非黑色物体的数量相比是很小的，那麽它就很小。
该解决方案及其变体的许多支持者一直是贝叶斯概率的拥护者，现在它通常被称为贝叶斯解决方案，儘管正如Chihara所观察到的那样，“没有贝叶斯解决方案这样的东西。有贝叶斯主义者使用贝叶斯技术提出了许多不同的‘解决方案’。”使用贝叶斯技术的值得注意的方法（其中一些接受!PC而拒绝NC）包括Earman，Eells，Gibson，Hosiasson-Lindenbaum，Howson和Urbach，Mackie，和欣提卡，他声称他的方法“比同一个悖论的所谓‘贝叶斯解决方案’更贝叶斯”。利用Carnap的归纳推理理论的贝叶斯方法包括Humburg,Maher,和Fitelson&Hawthorne。Vranas引入了术语“标准贝叶斯解决方案”以避免混淆。
卡尔纳普方法
Maher接受了自相矛盾的结论，并对其进行了提炼：
非乌鸦（任何颜色）证实所有乌鸦都是黑色的，因为
(i)该对像不是乌鸦的信息消除了该对像是泛化反例的可能性，并且
(ii)它降低了未观察到的物体是乌鸦的概率，从而降低了它们是泛化反例的概率。
为了达到(ii)，他求助于Carnap的归纳概率理论，该理论（从贝叶斯的角度来看）是一种分配先验概率的方法，它自然地实现了归纳。根据Carnap的理论，后验概率，P(Fa|E),那一个对象,A,会有一个谓词,F,在证据之后E观察到的是：
在哪裡磷(Fa)是初始概率a有谓词F;n是已检查的对像数量（根据现有证据E);nF是被检查对象的数量，结果证明有谓词F，和λ是衡量泛化阻力的常数。
如果λ接近于零，P(Fa|B)在一个对像被证明有谓词之后，将非常接近于AF,而如果λ远大于n,P(Fa|E)将非常接近P(Fa)无论观察到的对像中具有谓词的比例如何F.
使用这种Carnapian方法，Maher识别出一个我们直观（并且正确）知道是错误的命题，但很容易与自相矛盾的结论混淆。有问题的命题是观察非乌鸦告诉我们乌鸦的颜色。虽然这在直觉上是错误的，并且根据Carnap的归纳理论也是错误的，但观察非乌鸦（根据相同的理论）会使我们减少对乌鸦总数的估计，从而将可能反例的估计数量减少到所有乌鸦都是黑色的规则。
因此，从贝叶斯-卡纳皮的观点来看，对非乌鸦的观察并没有告诉我们关于乌鸦的颜色的任何信息，但它告诉我们关于乌鸦的普遍性，并通过减少我们的估计可能不是黑色的乌鸦的数量。
背景知识的作用
对悖论的大部分讨论，特别是贝叶斯方法，都集中在背景知识的相关性上。令人惊讶的是，Maher表明，对于一大类背景知识的可能配置，对非黑非乌鸦的观察提供的确认量与对黑乌鸦的观察完全相同。他考虑的背景知识的配置是由一个样本命题提供的，即一个命题是合取的。原子命题，每一个都将一个谓词归于一个个体，没有两个原子命题涉及同一个个体。因此，“A是一隻黑乌鸦，B是一隻白鞋”形式的命题可以被认为是一个以“黑乌鸦”和“白鞋”为谓词的样本命题。
Maher的证明似乎与贝叶斯论证的结果相矛盾，即观察非黑色非乌鸦提供的证据比观察黑色乌鸦少得多。原因是Good和其他人使用的背景知识不能以样本命题的形式表达——特别是标准贝叶斯方法的变体通常假设（正如Good在上面引用的论点中所做的那样）乌鸦、非黑色物体和/或物体的总数是已知数量。Maher评论说，“我们认为非黑色的东西比乌鸦还多的原因是因为我们迄今为止观察到的东西都是如此。这种证据可以用一个样本命题来表示。但是......给定任何作为背景证据的样本命题，
Fitelson&Hawthorne研究了观察非黑色非乌鸦提供的证据少于观察黑色乌鸦的条件。他们表明，如果a是随机选择的对象，Ba是物体是黑色的命题，并且Ra是物体是乌鸦的命题，那麽条件：
对非黑非乌鸦的观察足以提供比黑乌鸦的观察更少的证据。在这裡，命题上的一条线表示该命题的逻辑否定。
这个条件并没有告诉我们提供的证据的差异有多大，但是同一篇论文后来的计算表明，黑乌鸦提供的证据的权重超过了非黑非乌鸦提供的证据的权重大约-日誌P(BA|RAH¯).这等于在假设并非所有乌鸦都是黑色的情况下，当发现未知颜色的乌鸦是黑色时提供的附加信息量（以位为单位，如果对数的底为2）。
Fitelson&Hawthorne解释说：
在正常情况下，p=P(BA|RAH¯)可能在0.9或0.95左右；所以1/p大约在1.11或1.05左右。因此，与非黑色非乌鸦相比，黑色乌鸦的单个实例似乎不会产生更多的支持。然而，在合理的条件下，可以证明一系列n实例（即n个黑色乌鸦，与n个非黑色非乌鸦相比）产生的似然比比率约为(1/p)n,对于大型n.
作者指出，他们的分析与非黑非乌鸦提供极少量证据的假设完全一致，儘管他们并未试图证明这一点；他们只是计算黑色乌鸦提供的证据数量与非黑色非乌鸦提供的证据数量之间的差异。
对来自正面实例的归纳提出异议
一些解决悖论的方法集中在归纳步骤上。他们争论对特定实例（例如一隻黑乌鸦）的观察是否是一种必然增加对一般假设（例如乌鸦总是黑色）的信心的证据。
红鲱鱼
Vicad给出了一个背景知识的例子，关于该背景知识，观察一隻黑乌鸦会降低所有乌鸦都是黑色的概率：
假设我们知道我们处于两个世界中的一个或另一个，并且假设H正在考虑中，即我们世界中的所有乌鸦都是黑色的。我们预先知道，在一个世界上有一百隻黑乌鸦，没有非黑乌鸦，还有一百万隻其他鸟类；另一个世界有一千隻黑鸦，一隻白鸦，还有一百万隻鸟。一隻鸟是从我们世界上所有的鸟中随机选择的。原来是一隻黑乌鸦。这是强有力的证据……我们在第二个世界，不是所有的乌鸦都是黑色的。
古德得出结论，白鞋是一条“红鲱鱼”：有时即使是一隻黑乌鸦也能构成反对所有乌鸦都是黑色的假设的证据，因此对白鞋的观察可以支持这一事实并不奇怪，也不值得关注.根据Good的说法，Nicod的标准是错误的，因此不存在自相矛盾的结论。
Hempel拒绝将此作为悖论的解决方案，坚持认为命题“c是一隻乌鸦并且是黑色的”必须“单独考虑，而不参考任何其他信息”，并指出它“……在我在Mind中的文章的第5.2(b)节……在像白鞋这样的案例中出现自相矛盾的部分原因是未能遵守这一准则。”
然后出现的问题是，是否应该在绝对没有背景信息的情况下（如Hempel建议的那样）来理解这个悖论，或者在我们实际拥有的关于乌鸦和黑色物体的背景信息的背景下，或者关于所有背景信息的可能配置。
Vicad已经证明，对于某些背景知识配置，Nicod的标准是错误的（假设我们愿意将“归纳支持”等同于“增加概率”——见下文）。仍然有可能，就我们的实际知识配置而言，这与古德的例子非常不同，尼科德的标准可能仍然是正确的，因此我们仍然可以得出自相矛盾的结论。另一方面，Hempel坚持我们的背景知识本身就是红鲱鱼，我们应该在完全无知的情况下考虑归纳。
在他提出的决议中，马赫含蓄地利用了这样一个事实，即当很可能没有乌鸦时，命题“所有乌鸦都是黑色的”是很可能的。Good之前曾使用这一事实来回应Hempel的坚持，即Nicod的标准应被理解为在没有背景信息的情况下成立：
...想像一个无限智能的新生婴儿，它具有内置的神经迴路，使他能够处理形式逻辑、英语语法和主观概率。在详细定义了一隻乌鸦之后，他现在可能会争辩说，几乎不可能有任何乌鸦，因此极有可能所有的乌鸦都是黑色的，也就是说，H是真的。“另一方面，”他继续争辩说，“如果有乌鸦，那麽它们有多种颜色的可能性是合理的。因此，如果我发现甚至存在一隻黑乌鸦，我会考虑H比最初更不可能。
根据古德的说法，这与人们可以合理地预期达到完全无知的状态一样接近，而且尼科德的状态似乎仍然是错误的。Maher通过使用Carnap的归纳理论来形式化“如果有一隻乌鸦，那麽很可能有很多只乌鸦”这一概念，使古德的论点更加精确。
Maher的论点考虑了一个恰好由两个物体组成的宇宙，每个物体都不太可能是乌鸦（千分之一的机会）并且不太可能是黑色的（十分之一的机会）。使用Carnap的归纳公式，他发现当发现两个物体中的一个是黑乌鸦时，所有乌鸦都是黑色的概率从0.9985降低到0.8995。
Maher得出结论，不仅矛盾的结论是正确的，而且Nicod的标准在没有背景知识的情况下也是错误的（除了知道宇宙中物体的数量是两个并且乌鸦比黑色物体的可能性更小）。
杰出谓词
Quine认为，悖论的解决方案在于承认某些谓词，他称之为自然类，在归纳方面具有显着的地位。这可以用NelsonGoodman的谓词grue例子来说明。.如果一个物体在（比如）2022年之前是蓝色的，之后是绿色的，那麽它就是灰色的。显然，我们预计2022年之前为蓝色的物体在之后会保持蓝色，但我们不希望在2022年之前被发现为蓝色的物体在2022年之后是蓝色的，因为在2022年之后它们将是绿色的。Quine的解释是，“蓝色”是一种自然的种类；我们可以将其用于归纳的特权谓词，而“grue”不是自然种类，并且将其与归纳一起使用会导致错误。
这暗示了悖论的解决方案——Nicod的标准对于自然种类是正确的，例如“蓝色”和“黑色”，但对于人为设计的谓词是错误的，例如“grue”或“non-raven”。根据该决议，悖论出现了，因为我们隐含地将Nicod的标准解释为适用于所有谓词，而实际上它只适用于自然类。
Hintikka採用了另一种方法，它支持特定谓词而不是其他方法。Hintikka的动机是找到一种贝叶斯方法来解决这个悖论，这种方法没有利用关于乌鸦和黑色事物相对频率的知识。他认为，关于相对频率的争论不能总是解释由对A类对象的观察组成的证据的感知不相关性，以了解非A类对象的目的。
他的论点可以通过使用“raven”和“black”以外的谓词重新表述这个悖论来说明。例如，“所有男人都是高个子”相当于“所有矮个子都是女人”，因此观察随机选择的人是个矮个子女人应该提供所有男人都高的证据。儘管我们缺乏背景知识来表明男性比矮个子要少得多，但我们仍然发现自己倾向于拒绝这个结论。Hintikka的例子是：“……像‘没有物质实体是无限可分的’这样的概括似乎完全不受有关非物质实体的问题的影响，这与人们对话语世界中物质和非物质实体的相对频率的看法无关。"
他的解决方案是在谓词集中引入一个顺序。当逻辑系统配备此命令时，可以限制泛化的范围，例如“所有乌鸦都是黑色的”，使其仅适用于乌鸦而不适用于非黑色事物，因为命令特权掠夺非黑色事物-黑色的东西。正如他所说：
“如果我们有理由假设‘所有乌鸦都是黑色’的概括范围可以限于乌鸦，那麽这意味着我们有一些外部信息可以依赖于事实情况。悖论源于事实这些信息为我们对情况的自发看法增添了色彩，并没有被纳入对归纳情况的通常处理中。”
Hempel等价条件的拒绝
解决悖论的一些方法拒绝Hempel的等价条件。也就是说，他们可能不会考虑支持陈述allnon-blackobjectsarenon-raven的证据必然支持逻辑等效的陈述，例如allravenareblack。
选择性确认
Scheffler和Goodman採用了一种方法来解决这个悖论，该方法结合了KarlPopper的观点，即科学假设从未真正得到证实，只会被证伪。
该方法首先註意到对黑乌鸦的观察并不能证明“所有乌鸦都是黑色的”，但它证伪了相反的假设“没有乌鸦是黑色的”。另一方面，非黑非乌鸦与“所有乌鸦都是黑色的”和“没有乌鸦都是黑色的”一致。正如作者所说：
......所有乌鸦都是黑色的陈述不仅被黑色乌鸦的证据所满足，而且受到这种证据的支持，因为黑色乌鸦不证实所有乌鸦都不是黑色的相反陈述，即满足其否认。换句话说，一隻黑乌鸦满足了所有乌鸦都是黑色而不是不是黑色的假设：它因此选择性地确认所有乌鸦都是黑色的。
选择性确认违反了等价条件，因为黑乌鸦选择性地确认“所有乌鸦都是黑色的”，而不是“所有非黑色的东西都是非乌鸦”。
概率或非概率归纳
舍夫勒和古德曼的选择性确认概念是对“提供有利于……的证据”的解释的一个例子，它与“增加……的可能性”不相符，这必须是所有拒绝接受的决议的普遍特徵。等价条件，因为逻辑上等价的命题必须总是有相同的概率。
观察一隻黑乌鸦不可能增加“所有乌鸦都是黑色的”命题的概率，而不会对“所有非黑色的东西都是非乌鸦”的概率造成完全相同的变化。如果一个观察归纳支持前者但不支持后者，那麽“归纳支持”必须指代命题概率变化以外的东西。一个可能的漏洞是将“All”解释为“Nearlyall”——“Nearlyallravenareblack”并不等同于“Nearlyallnon-blackthingsarenon-raven”，而这些命题的概率可能大不相同。
这就提出了概率论与归纳推理之间关係的更广泛的问题。卡尔波普尔认为，仅凭概率论不能解释归纳。他的论点涉及分裂一个假设，H，进入证据演绎地蕴含的部分，E，以及另一部分。这可以通过两种方式完成。
首先，考虑分裂：
H=aandBB=BandC
在哪裡A,B和C是概率独立的：P(AandB)=P(A)P(B)等等。H和E的这种分裂成为可能的必要条件是P(H|B)>P(H)，就这样H由概率支持E.
波普尔的观察是这部分，B，的H得到支持的E实际上演绎自E,而部分H不能从E根本没有得到任何支持E-那是，P(A|B)=P(A).
二、分裂：
H=(HorE)and(HorE¯)
分开H进入(H○rE)，正如波普尔所说，“是逻辑上最强的部分H（或内容的H)[演绎地]从E“，和(HorE¯)，他说，“包含所有H超越E“。他继续：
做E，在这种情况下，为因子提供任何支持(HorE¯),其中在E只需要获得H?答案是：不。它永远不会。的确，E反支撑(HorB¯)除非P(H|B)=1或者P(B)=1（这是不感兴趣的可能性）。...
这个结果对概率计算的归纳解释是完全毁灭性的。所有的概率支持都是纯粹演绎的：假设中没有被证据演绎的部分总是被证据强烈反对……有概率支持这样的东西；甚至可能存在归纳支持之类的东西（儘管我们几乎不这麽认为）。但是概率计算表明，概率支持不可能是归纳支持。
正统方法
正统的Neyman-Pearson假设检验理论考虑如何决定是接受还是拒绝假设，而不是为假设分配什麽概率。从这个角度来看，“所有乌鸦都是黑色的”这个假设并没有逐渐被接受，因为当进行越来越多的观察时，它的概率会增加到一个，而是作为评估数据的结果在一个单一的动作中被接受已经收集了。正如内曼和皮尔森所说：
在不希望知道每个单独的假设是对还是错的情况下，我们可能会寻找规则来管理我们对它们的行为，在遵循这些规则时，我们可以确保从长期的经验来看，我们不会经常出错。
根据这种方法，没有必要为假设的概率分配任何值，儘管在决定是接受还是拒绝时，一定要考虑给定假设或给定竞争假设的数据概率.接受或拒绝假设会带来出错的风险。
这与贝叶斯方法形成对比，贝叶斯方法要求为假设分配先验概率，根据观察到的数据对其进行修改以获得假设的最终概率。在贝叶斯框架内，没有错误的风险，因为假设不被接受或拒绝；相反，它们被分配了概率。
已经从正统的观点对悖论进行了分析，除其他见解外，还导致了对等价条件的拒绝：
很明显，一个人不能既接受所有P都是Q的假设，又拒绝相反的假设，即所有非Q都是非P。然而很容易看出，根据Neyman-Pearson测试理论，“所有P都是Q”的测试不一定是“所有非Q都是非P”的测试，反之亦然。“所有P都是Q”的检验需要参考以下形式的一些替代统计假设r所有P中的Q，0<r<1，而“所有非Q都是非P”的测试需要参考一些统计替代形式r所有非Q的都是非P的，0<r<1.但这两组可能的替代方案是不同的......因此可以测试H没有对其相反的测试。
拒绝实质性暗示
以下命题都相互暗示：“每个物体要么是黑色的，要么不是乌鸦”，“每个乌鸦都是黑色的”，“每个非黑色物体都是非乌鸦”。因此，根据定义，它们在逻辑上是等价的。然而，这三个命题有不同的领域：第一个命题说的是“每个物体”，而第二个命题说的是“每隻乌鸦”。
第一个命题是唯一一个量化域不受限制的命题（“所有对象”），所以这是唯一一个可以用一阶逻辑表达的命题。它在逻辑上等价于：
∀X,RX→BX
并且还要
∀X,BX¯→RX¯
在哪裡→表示物质条件，据此“如果A然后B“可以理解为”B或者A”。
几位作者认为，实质含义并没有完全捕捉到“如果A然后B”（参见物质蕴涵的悖论）。“对于每一个对象，X,X是黑色或不是乌鸦”在没有乌鸦的情况下为真。正因为如此，“所有的乌鸦都是黑色的”在没有乌鸦的情况下被认为是真的。此外，古德和马赫用来批评尼科德的论点标准（见上文§Good'sbaby）依赖于这一事实——当极有可能没有乌鸦时，“所有乌鸦都是黑色的”是极有可能的。
在没有乌鸦的情况下说所有乌鸦都是黑色的，这是一个空洞的陈述。它什麽都没有。“所有的乌鸦都是白色的”同样具有相关性和真实性，如果该陈述被认为具有任何真实性或相关性。
一些解决悖论的方法试图找到其他方式来解释“如果A然后B”和“所有A是B”，这将消除“所有乌鸦都是黑色的”和“所有非黑色的东西都是非乌鸦”之间的感知等价性。
一种这样的方法涉及引入多值逻辑，根据该逻辑“如果A然后B"有真值I,表示“不确定”或“不合适”时A是假的。在这样的系统中，不会自动允许对位：“如果A然后B"不等于"如果B然后A”。因此，“所有乌鸦都是黑色的”并不等同于“所有非黑色的东西都是非乌鸦”。
在这个系统中，当对立发生时，所涉及的条件语态从指示式（“如果那块黄油被加热到32°C，那麽它已经融化”）变为反事实（“如果那块黄油已经加热到32°C，然后它就会融化”）。根据这个论点，这消除了得出黄牛可以告诉我们有关乌鸦的结论所必需的所谓等效性：
在正确的语法用法中，对立论证不应该完全在直陈式中陈述。因此：
从这个事实来看，如果这条火柴被划伤，它就会亮，因此如果它不亮，它就没有被划伤。
很尴尬。我们应该说：
从这个事实来看，如果这根火柴被划伤，它会亮，因此如果它不亮，它就不会被划伤。...
人们可能想知道这种对矛盾律的解释对亨佩尔的证实悖论有什麽影响。“如果a那是一隻乌鸦a是黑色的”等价于“如果a那时不黑a不会是乌鸦”。因此任何确认后者的东西也应该通过等价条件确认前者。的确，但黄牛仍然无法进入“所有乌鸦都是黑色”的确认，因为在科学中，确认已经完成通过预测，并且预测是在指示性情绪中正确陈述的。问什麽证实了反事实是毫无意义的。
接受假设的不同结果
一些评论员观察到，“所有乌鸦都是黑色的”和“所有非黑色的东西都是非乌鸦”这两个命题提出了检验假设的不同程序。例如，Good写道：
作为命题，这两个陈述在逻辑上是等价的。但它们对实验者有不同的心理影响。如果他被要求测试是否所有的乌鸦都是黑色的，他会寻找一隻乌鸦，然后决定它是否是黑色的。但是如果他被要求测试是否所有非黑色的东西都是非乌鸦，他可能会寻找一个非黑色的物体，然后决定它是否是乌鸦。
最近，有人建议“所有乌鸦都是黑色的”和“所有非黑色的东西都是非乌鸦”在被接受时会产生不同的效果。该论点考虑了乌鸦和黑色物体的总数或流行率未知但估计的情况。当假设“所有乌鸦都是黑色的”被接受时，根据论证，黑色物体的估计数量增加，而乌鸦的估计数量不变。
可以通过考虑两个人的情况来说明，他们对乌鸦和黑色物体有相同的信息，并且对乌鸦和黑色物体的数量有相同的估计。具体而言，假设总共有100个物体，并且根据相关人员可获得的信息，每个物体很可能是非乌鸦，也可能是乌鸦，也很可能是黑色因为它是非黑色的：
和命题R一个,Rb对于不同的对像是独立的a,b等等。那麽估计乌鸦的数量是50；估计黑色的东西是50个；黑乌鸦的估计数量为25，非黑乌鸦的估计数量（假设的反例）为25。
其中一个人进行统计测试（例如Neyman-Pearson测试或将证据的累积权重与阈值的比较）“所有乌鸦都是黑色的”假设，而另一个测试“所有非黑色物体都是非乌鸦”的假设。为简单起见，假设用于测试的证据与这里处理的100个对象的集合无关。如果第一个人接受“所有乌鸦都是黑色”的假设，那麽根据该论点，大约50个以前颜色受到怀疑的物体（乌鸦）现在被认为是黑色的，而其馀物体则没有什麽不同（非乌鸦）。因此，他应该估计黑色乌鸦的数量为50，黑色非乌鸦的数量为25，非黑色非乌鸦的数量为25。通过指定这些变化，将“所有乌鸦都是黑色的”的域限制为乌鸦。
另一方面，如果第二个人接受“所有非黑色物体都是非乌鸦”的假设，那麽大约50个非黑色物体（其中不确定每个物体是否是乌鸦）将被认为是非黑色物体。-乌鸦。同时，对于剩下的大约50个对象（黑色对象）没有什麽不同。因此，他应该估计黑色乌鸦的数量为25只，黑色非乌鸦的数量为25只，非黑色非乌鸦的数量为50接受了不同的假设，接受“所有乌鸦都是黑色的”不等于接受“所有非黑色的东西都是非乌鸦”；接受前者意味着估计更多的东西是黑色的，而接受后者涉及估计更多的东西是非乌鸦。相应地，该论点认为，前者需要乌鸦作为证据证明是黑色的，而后者需要非黑色的东西证明是非乌鸦。
存在预设
许多作者认为“所有A是B"假设有对像是A.这种分析已应用于乌鸦悖论：
...H1：“所有乌鸦都是黑色的”和H2：“所有非黑色的东西都是非乌鸦”并不是严格等价的……因为它们存在不同的存在预设。此外，虽然H1和H2描述相同的规律——非黑乌鸦不存在——它们具有不同的逻辑形式。这两个假设有不同的含义，并结合了不同的程序来测试它们所描述的规律性。
修改后的逻辑可以使用预设运算符“*”来考虑存在预设。例如，
∀X,*RX→BX
可以表示“所有乌鸦都是黑色的”，同时表明它是乌鸦而不是本示例中假定存在的非黑色物体。
...每个假设的逻辑形式在其推荐的支持证据类型方面将其区分开来：每个假设的可能真实替代实例与不同类型的对像有关。这两个假设包含不同种类的测试程序这一事实在形式语言中通过在不同谓词前加上运算符“*”来表达。因此，预设算子也用作相关算子。它以谓词'X是一隻乌鸦H1因为与“所有乌鸦都是黑色的”中包含的测试程序相关的对象仅包括乌鸦；它以谓词'为前缀X是非黑色的'，在H2，因为与“所有非黑色事物都是非乌鸦”中包含的测试程序相关的对象仅包括非黑色事物。...使用弗雷格术语：只要它们的前提成立，两个假设就具有相同的所指对象（真值），但意义不同；也就是说，它们表达了两种不同的方式来确定该真值。