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　　彩票悖论
　　彩票悖论源于HenryE.KyburgJr.考虑到只有一张中奖彩票的公平1,000张彩票。如果对彩票的执行有这麽多的了解，那麽接受某些彩票会中奖是合理的。
　　假设一个事件只有在它发生的概率大于0.99时才很有可能发生。基于这些理由，可以认为接受彩票1不会中奖的命题是合理的。由于彩票是公平的，因此可以合理地接受票2也不会中奖。事实上，对于彩票的任何个人彩票i来说，接受i不会中奖的彩票是合理的。但是，接受彩票1不会中奖，接受彩票2不会中奖，依此类推，直到接受彩票1,000不会中奖，这意味着接受没有彩票不会中奖是理性的，这意味着接受是理性的一张票赢，没有票赢的矛盾命题。
　　彩票悖论旨在证明管理理性接受的三个有吸引力的原则会导致矛盾：
　　接受一个很可能是真的命题是理性的。
　　接受一个已知不一致且共同不一致的命题是不合理的。
　　如果接受一个命题A是理性的，而接受另一个命题A'是理性的，那麽接受A和A'是理性的。
　　这个悖论仍然引起人们的兴趣，因为它在知识表示和不确定推理的基础上提出了几个问题：易错性、可纠正信念和逻辑结果之间的关係；一致性、统计证据和概率在信念固定中的作用；逻辑和概率一致性对理性信念的精确规范力量。
　　历史
　　虽然关于彩票悖论的第一个发表的陈述出现在Kyburg1961年的概率和理性信念的逻辑中，但悖论的第一个表述出现在他在1959年符号逻辑协会会议上发表的论文“概率和随机性”中，和1960年国际科学史和科学哲学大会，但于1963年发表在Theoria杂誌上。这篇论文在Kyburg(1987)重印。
　　Smullyan的变体
　　RaymondSmullyan对彩票悖论提出了以下变体：一个是不一致的，或者是自负的。由于人脑是有限的，所以存在有限数量的命题p₁…pₙ那个人相信。但除非你自负，否则你知道你有时会犯错误，而且并非你所相信的一切都是真的。因此，如果你不自负，你知道至少有一些pi是假的。然而你相信每一个pᵢ分别。这是一个不一致的地方。（Smullyan1978年，第206页）
　　简明指南
　　彩票悖论已成为认识论的中心话题，围绕这个谜题的大量文献可能会掩盖其最初的目的。Kyburg提出了思想实验，以了解他关于概率的创新思想的一个特徵（Kyburg1961，Kyburg和Teng2001），这些思想建立在认真对待上述前两个原则并拒绝最后一个原则的基础上。对于Kyburg来说，彩票悖论并不是真正的悖论：他的解决方案是限制聚合。
　　即便如此，对于正统的概率论者来说，第二和第三原则是主要的，所以第一原则被拒绝了。在这裡，人们也会看到实际上没有悖论而是错误的说法：解决方案是拒绝第一个原则，以及理性接受的想法。对于任何具​​有概率基础知识的人来说，第一条原则应该被拒绝：对于一个非常可能的事件，关于该事件的理性信念只是它很可能，而不是它是真的。
　　大多数认识论文献都是从正统的角度来解决这个难题，并努力解决这样做所面临的特定后果，这就是为什麽彩票与怀疑论的讨论（例如，Klein1981）以及断言知识主张的条件有关（例如，JPHawthorne2004）。通常还可以找到打开彩票思想实验的特定特徵的难题的建议解决方案（例如，Pollock1986），然后将彩票与其他认知悖论进行比较，例如大卫马金森的序言悖论，以及到具有不同结构的“彩票”。这一策略在(Kyburg1997)和(Wheeler2007)中都有论述，其中包括大量参考书目。
　　哲学逻辑学家和人工智能研究人员倾向于对调和这三个原则的弱化版本感兴趣，并且有很多方法可以做到这一点，包括JimHawthorne和LucBovens(1999)的信念逻辑，GregoryWheeler(2006)使用1-单调容量、BrysonBrown(1999)应用保护主义准一致性逻辑、IgorDouven和TimothyWilliamson(2006)诉诸累积非单调逻辑、HoracioArlo-Costa(2007)使用最小模型（经典）模态逻辑，以及JoeHalpern(2003)使用一阶概率。
　　最后，科学哲学家、决策科学家和统计学家倾向于将彩票悖论视为人们在构建用于聚合不确定信息的原则方法时所面临的複杂问题的早期例子，该方法现在已成为一门学科，有专门的期刊，信息融合，除了对一般领域期刊的持续贡献。
　　命令式逻辑
　　命令式逻辑是与命令式有关的逻辑领域。与声明式相反，命令式是否表示命题或更一般地表示真假在其语义中所起的作用，尚不清楚。因此，几乎没有关于命令式逻辑的任何方面的共识。
　　约根森的困境
　　逻辑的主要关注点之一是逻辑有效性。带有命令式的论证似乎是有效的。考虑：
　　P1。把桌子上的书都拿走！
　　P2。算术基础在桌面上。
　　C1。因此，把算术基础从桌面上拿走！
　　但是，如果从前提得出结论，则论证是有效的。这意味着前提使我们有理由相信结论，或者，前提的真实性决定了结论的真实性。由于命令式既不是真也不是假，而且它们不是正确的信念对象，逻辑有效性的标准解释都不适用于包含命令式的论证。
　　这是两难的。包含命令式的参数可以是有效的，也可以是无效的。一方面，如果这样的论点是有效的，我们需要对逻辑有效性和伴随的细节进行新的或扩展的说明。事实证明，提供这样的帐户具有挑战性。另一方面，如果这样的论点不能有效（或者因为这些论点都是无效的，或者因为有效性不是一个适用于命令式的概念），那麽我们对上述论点（以及其他类似的论点）的逻辑直觉)是错误的。由于任何一个答案似乎都有问题，因此这被称为Jørgensen'sdilemma，以JørgenJørgensen(da)命名。
　　虽然这个问题最初是由Frege在脚註中指出的，但它得到了Jørgensen的更完善的表述。
　　道义逻辑採用添加模态运算符的方法O一个带有命令式的论证，这样一个真值可以分配给这个命题。例如，可能很难为“把所有的书都从桌子上拿走！”这个论点分配一个真值，但是O(“takeallthebooksoffthetable”)，意思是“必须把所有的书都从桌子上拿走”，可以被赋予一个真值，因为它处于指示性语气中。
　　罗斯悖论
　　AlfRoss观察到，在命令式运算符的范围内应用经典的析取引入规则会导致不直观（或明显荒谬）的结果。当应用于简单的声明时，结果似乎是有效的推论。
　　P1。房间很乾淨。
　　C1。因此，房间乾淨或草绿色。
　　然而，类似的推论似乎对命令式无效。考虑：
　　P1。收拾你的房间！
　　C1。因此，打扫你的房间或烧毁房子！
　　罗斯的悖论突出了任何想要修改或添加到有效性标准帐户的人所面临的挑战。挑战就是我们所说的有效的命令式推理。对于有效的陈述性推理，前提给你一个相信结论的理由。有人可能会认为，对于命令式推理，前提给了你一个按照结论说的做的理由；虽然罗斯的悖论似乎表明并非如此，但它的严重性一直是争论的焦点。
　　道义逻辑的语义要求在一个可接受的可能世界中履行话语领域的所有义务；“必须打扫房间或烧毁房屋”的结论并不能证伪“必须打扫房间”的前提。此外，根据上下文，“不烧房子是强制性的”也可能是真的，在这种情况下，任何可接受的可能世界都必须有“你的房间被打扫了”和“房子没有被烧毁”两者都是真实的。
　　这场辩论的一些线索将其与HansKamp的自由选择悖论联繫起来，其中当在可能性模态范围内应用时，析取引入会导致荒谬的结论。
　　混合推论
　　以下是纯命令式推理的示例：
　　P1。做以下两件事：洗碗和打扫房间！
　　C1。因此，打扫你的房间！
　　在这种情况下，构成论证的所有句子都是祈使句。并非所有的命令式推论都属于这种类型。再考虑一下：
　　P1。把桌子上的书都拿走！
　　P2。算术基础在桌面上。
　　C1。因此，把算术基础从桌面上拿走！
　　请注意，这个论证由命令式和声明式组成，并且有一个命令式结论。
　　逻辑学家对混合推理特别感兴趣。例如，亨利·庞加莱认为，从一组不包含至少一个命令式的前提中，不能有效地得出命令式结论。虽然RMHare认为，不能从一组前提中有效地得出任何陈述性结论，而这些前提不能仅从它们之间的陈述性中有效地得出。逻辑学家对这些（或类似的）主张的真假没有达成共识，混合的命令式和声明式推理仍然令人烦恼。
　　应用
　　除了内在兴趣之外，命令式逻辑还有其他应用。在道德理论中使用命令式应该使命令式推理成为伦理学和元伦理学的重要课题。
　　意外上吊悖论
　　意外悬挂悖论或意外测试悖论是关于一个人对未来事件时间的预期的悖论，他们被告知将在意想不到的时间发生。这个悖论以不同的方式应用于囚犯的绞刑或突击学校测试。它是在MartinGardner1963年3月在《科学美国人》杂誌上的数学游戏专栏中首次向公众介绍的。对其确切性质没有达成共识，因此尚未就规范的解决方案达成一致。逻辑分析侧重于“真理价值”，例如将其识别为自我参照的悖论。悖论的认识论研究反而集中在与知识有关的问题上；例如，一种解释将其简化为摩尔悖论。有人认为这是哲学的“重大问题”。
　　描述
　　这个悖论被描述如下：
　　一名法官告诉一名被判刑的囚犯，他将在下週的一个工作日中午被绞死，但处决会让囚犯感到意外。直到那天中午刽子手敲他的牢房门，他才知道绞刑的日子。
　　在考虑了他的判决后，囚犯得出结论，他将逃脱绞刑。他的推理分为几个部分。他首先得出结论，“惊喜绞刑”不可能在周五进行，就好像他还没有在周四被绞死一样，只剩下一天了——所以如果他在周五被绞死也就不足为奇了。由于法官的判决规定绞刑会让他感到意外，因此他得出​​结论认为不会在周五发生。
　　然后他的理由是，週四也不会突然上吊，因为周五已经被淘汰了，如果到週三中午还没有上吊，那麽上週四一定是周四上吊，所以周四上吊也不足为奇。通过类似的推理，他得出结论，悬挂也不会发生在周三、週二或週一。他兴高采烈地回到自己的牢房，确信绞刑根本不会发生。
　　接下来的一周，刽子手在星期三中午敲响了囚犯的门——儘管如此，这对他来说是一个完全的惊喜。法官所说的一切都应验了。
　　其他版本的悖论用意外的消防演习、考试、流行测验、A/B测试启动、门后的狮子或移居西雅图之前的求婚来代替死刑。
　　逻辑学校
　　由于“意外”一词的含煳含义，难以将法官的声明转化为形式逻辑。制定的尝试可能是：
　　囚犯将在下週被绞死，并且（绞刑）的日期将无法从假设绞刑将在一周内发生（A）中推断出前一天晚上。
　　鑑于此公告，囚犯可以推断绞刑不会发生在一周的最后一天。然而，为了重现论证的下一阶段，即排除一周中的倒数第二天，囚犯必须论证他从陈述(A)中推断出绞刑不会在最后一天发生的能力意味着倒数第二天的绞刑也就不足为奇了。但由于“令人惊讶”的含义已被限制为不能从假设悬挂将在一周内发生而不是不能从陈述(A)中推断出来，因此该论点被阻止。
　　这表明更好的表述实际上是：
　　囚犯将在下週被绞死，其日期将在前一天晚上无法推断，使用此陈述作为公理(B)。
　　惠誉已经证明，这种说法仍然可以用形式逻辑来表达。使用将一周的长度缩短为仅两天的悖论的等价形式，他证明了儘管自我参照并非在所有情况下都是非法的，但在这种情况下，这是因为该陈述是自相矛盾的。
　　认识学派
　　已经提出了各种认识论公式，这些公式表明，囚犯对他将来会知道什麽的默认假设，以及一些关于知识的似是而非的假设，是不一致的。
　　Chow(1998)对悖论的一个版本进行了详细分析，其中一个意外的绞刑将在两天之内发生。将Chow的分析应用到意外绞刑的案例（为了简单起见，再次将一周缩短为两天），我们首先观察到法官的宣布似乎肯定了三件事：
　　S1：週一或週二挂牌。
　　S2：如果绞刑发生在周一，那麽囚犯在周日晚上不会知道它会发生在周一。
　　S3：如果绞刑发生在周二，那麽囚犯将不会在周一晚上知道绞刑发生在周二。
　　第一步，犯人认为周二绞刑发生的场景是不可能的，因为这会导致一个矛盾：一方面，到S3时，犯人将无法预测週一晚上的周二绞刑；但另一方面，通过S1和消除过程，囚犯将能够预测星期一晚上的星期二挂起。
　　週的分析指出了囚犯推理中的一个微妙缺陷。不可能的不是周二的绞刑。相反，儘管囚犯在周一晚上知道法官的断言S1、S2和S3都是正确的，但在周二执行绞刑是不可能的。
　　引起悖论的犯人推理之所以能够站得住脚，是因为犯人默认週一晚上，他（如果他还活着）会知道S1、S2和S3是真的。从几个不同的理由来看，这种假设似乎是没有根据的。有人可能会争辩说，法官关于某事是真实的声明永远不能成为囚犯知道它是真实的充分理由。此外，即使囚犯现在知道某件事是真实的，未知的心理因素也可能在未来抹去这些知识。最后，Chow建议，因为囚犯应该“知道”为真实的陈述是关于他无能的陈述要“知道”某些事情，有理由相信意外的悬吊悖论只是摩尔悖论的一个更複杂的版本。一个合适的类比可以通过将一周的长度减少到一天来实现。然后法官的判决变成：你明天会被绞死，但你不知道。
　　在文学
　　这个悖论也出现在路易斯萨查尔的儿童小说《路边学校的更多侧身算术》中。在其中一个故事中，Jewls老师计划在下週进行一次小测验，但不会提前让全班知道。与经典悖论不同，学生们一一消除日子导致朱尔斯夫人放弃了这个想法。