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　　莱因哈特基数
　　在集合论（数学的一个分支）中，莱因哈特基数是一种大基数。莱因哈特基数在ZF（Zermelo-FraenkelsettheorywithouttheAxiomofChoice）下被考虑，因为它们与ZFC（ZFwiththeAxiomofChoice）不一致。它们是由美国数学家威廉·纳尔逊·莱因哈特(WilliamNelsonReinhardt,1939–1998)提出的
　　定义
　　莱因哈特基数是非平凡基本嵌入的临界点j：V→V的V进入自身。
　　这个定义明确地引用了正确的类j.在标准ZF中，类的形式为{x|φ(x,a)}对于一些集合a和公式φ.但是Suzuki(1999)表明没有这样的类是基本嵌入j：V→V.因此，莱因哈特基数与这种阶级概念不一致。
　　莱因哈特基数还有其他的公式不知道是不一致的。一是新增功能符号j到ZF的语言，连同公理说明j是一个基本的嵌入V,以及所有涉及的公式的分离和收集公理j.另一种是使用诸如NBG或KM之类的类理论，它们承认不需要在上述意义上定义的类。
　　库恩不一致定理
　　Kunen(1971)证明了他的不一致性定理，表明存在一个基本嵌入j：V→V将NBG与选择公理相矛盾（并且ZFC扩展为j）。他的证明使用了选择公理，关于这种嵌入是否与没有选择公理的NBG一致（或与ZF加额外符号）一致，仍然是一个悬而未决的问题j及其伴随的公理）。
　　Kunen定理不仅仅是Suzuki(1999)的推论，因为它是NBG的推论，因此不需要假设j是一个可定义的类。另外，假设0#存在，则存在传递模型的基本嵌入MZFC（实际上是Goedel的可构造宇宙）L)进入自身。但是这样的嵌入不是M.
　　更强的公理
　　莱因哈特基数有一些变体，形成了断言存在基本嵌入的假设层次结构V→V.
　　超级莱因哈特基数是κ这样对于每个序数α，有一个基本的嵌入j：V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.
　　J3：有一个非平凡的基本嵌入j：V→V
　　J2：有一个非平凡的基本嵌入j：V→V和直流λ持有，在哪裡λ是高于临界点的最小不动点。
　　J1：对于每个序数α，有一个基本的嵌入j：V→V和j(κ)>α并且有临界点κ.
　　J1和J2中的每一个都立即暗示J3。红衣主教κ正如在J1中一样，被称为超级莱因哈特基数。
　　伯克利基数是伍丁建议的更强的大基数。
　　伯克利基数
　　在集合论中，伯克利基数是HughWoodin在1992年左右在加州大学伯克利分校的一次研讨会上提出的某些大基数。
　　伯克利基数是Zermelo-Fraenkel集合论模型中的基数κ，具有以下性质：对于每个包含κ和α<κ的传递集M，存在M到M中的非平凡基本嵌入，其中α<临界点<κ.伯克利基数是比莱因哈特基数严格更强的基数公理，这意味着它们与选择公理不兼容。
　　成为伯克利基数的一个弱点是，对于Vκ上的每个二元关係R，都存在(Vκ,R)的非平凡基本嵌入。这意味着我们有基本的
　　j1,j2,j3,...
　　j1:(Vκ,∈)→(Vκ,∈),
　　j2:(Vκ,∈,j1)→(Vκ,∈,j1),
　　j3:(Vκ,∈,j1,j2)→(Vκ,∈,j1,j2),
　　等等。这可以无限地持续任何有限次数，并且在模型具有依赖选择的范围内，是无限的。因此，可以简单地通过断言更多的依赖选择来加强这一概念。
　　虽然所有这些概念都与策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)不兼容，但它们的Π2/V后果似乎不假。ZFC在断言方面没有已知的不一致，例如：
　　对于每个序数λ，都有一个ZF+Berkeley基数的传递模型，该模型在λ序列下是封闭的。
　　全能悖论
　　全能悖论（omnipotenceparadox）是一组关于「全能」概念在语义学上的悖论，它包含两个方面的问题：一、一个全能的个体在逻辑上是否成立？二、「全能」这个用语的含义到底是什麽？该悖论的内容是：如果任一个体是「全能」的话，那麽他就一定能够制订出一个他不能履行的工作，如此他就不会是全能的；反之，若一个「全能」的个体不能够制订出一个他不能履行的工作，如此他也不会是全能的。因此，无论他能否制订这项工作，他都不会是全能的。
　　简介
　　当代，关于该悖论的一个通俗版本是：「上帝能够创造一块连他自己都搬不动的石头吗？」这个问题是难以回答的。那该个体要麽能够创造一块他自己搬不动的石头，要麽就不能创造一块他自己搬不动的石头。如果他能创造这样的一块石头，那麽他就会搬不动这块石头，那麽他就必然不是全能的；如果他不能造这样的一块石头，那他本身就已经不是全能的了。但如果这个「全能」的个体是定义为只在完成一件事内皆为全能，则不会造成悖论，如：如果这个个体要创造出一块他搬不动的石头，因为全能的能力他可以创造出来，但要证明他搬不动则是要完成另一件事，但如果重新成立一件事那他当然就可以搬的动那块石头，原因是上一个命题裡那块他搬不动的石头所使用的全能仅限在完成一次事件中，如果再多成立一个事件，则上一个事件所使用的「全能」会被复盖掉，因为一开始所给的定义是只在这一件事内他可以做到全能的创造力，当然也包括阻碍他「全能」的这个命题，而这类物体的存在与他的「全能」并不相矛盾。因此这个悖论的前提必须建筑在「全能」的力量连续完成一次以上的事件，但是用这种单一事件来解释全能会被语言叙述方法的改变而出现问题，因为两动作可以併成一个来陈述，如：全能的个体是否能在其肩上找到一块他自己扛不动的石头。
　　另有一个经典悖论与此也有相似之处，即不可抗拒的力量悖论：「如果一种不可抗拒的力量遇到了一个无法撼动的物体会怎麽样」？即「矛盾」：全能之矛与全能之盾能否共存？对该问题的两难回答是：如果世间真有这样一种力量，那麽世上就不可能有无法撼动的物体；如果世间真有一个无法撼动的物体，那麽世上就不会有不可抗拒的力量。如果承认这个两个回答中的任何一种，就势必承认不可能存在全能的个体，因此无解；但前提是这两种东西分在不同人的手中，成为对立，若他们全都为一人持有，则不会也不需要相互矛盾。
　　其实，一些宗教典籍中本身就包含了这种矛盾，无需再用其他问题质问。比如《圣经》，在《创世纪》1章3节：「神说：『要有光』，就有了光。」然而，同是这位全知全能的神，却花了六天才创造世界；这本身就是悖论。
　　全能悖论也有许多相关的引申，如全能者是否能「化圆为方」等许多可能无解或未解的问题。
　　「全能」一词的含义
　　英国哲学家彼得·积奇将该悖论中的「全能」概念作出了分类：
　　「Y完全全能」：表示Y完全可以做任何事。在这种意义下，Y可以做任何可以用语言表述的事物，甚至自相矛盾的事物（即Y可以同时处于X及X'）。也就是说，Y的能力不受人类有限的思想和知识限制。笛卡尔关于上帝的论述中支持的就是这个概念。在这种意义上，全能悖论确实存在逻辑矛盾，但悖论并不存在。
　　「Y全能」：表示只要X在逻辑上可能，Y就有能力做X这件事。托马斯·阿奎那的神学看法中持有的就是这种观点。哲学家麦罗德提出的这种全能不能完全解决全能悖论，例如X是「製造一个连製造者都搬不动的东西」，这在逻辑上是完全可能的：一个人完全可以有建造一艘他自己都搬不动的船的能力。但这种观点却依然存在逻辑漏洞，因为当「製造者」包含全能者时，「製造者搬不动的东西」在逻辑上是不可能的。
　　「Y全能」：表示只要「Y可以做X」这个论述在逻辑上可能，Y就有能力做X这件事。这裡有一个重要的前提是，所谓的「这个论述逻辑上可能」必须符合对Y而言（满足Y的性质），且与从其他事物的角度上看这种逻辑可能或不可能无关。纵观托马斯·阿奎那的着作，有的时候他持的似乎又是这个观点。在这种意义上，麦罗德指出全能悖论已经不存在，因为「上帝製造一块他自己都搬不动的石头」这个行为在逻辑上是不可能的。
　　「Y大能」：表示Y不仅比任何其他的事物更有能力，并且任何事物在能力上都是不可能赶超Y的。虽然这个意义也能消除全能悖论，但是这样上帝显然也就不是全能的了。从义大利哲学家安瑟伦的作品中看，他似乎在指出，正是因为上帝「大能」而非「全能」，才使得上帝看起来更加「全能」。
　　圣奥古斯丁在《上帝之城》中写到：「[上帝]全能意味着他可以做他想做的任何事情。」这裡奥古斯丁所说的全能指的是，如果Y想做X，那麽Y就一定能并且会去做X。
　　此外还有意见认为，「全能」有偶发全能和本质全能的区别。本质全能指一个神或者其他超自然事物从根本上就是全能的，而偶发全能指神或者其他超自然事物只能在某个时候是全能的，此后又变回非全能的状态。对全能悖论中的「全能」到底是「偶发全能」和「本质全能」的不同理解，将引起讨论方式上的重大差异。
　　一些哲学家坚信上帝是完全全能的，例如笛卡尔在他的《第一哲学沉思录》中就强调了这个观点。同时，也有一些哲学家认为把神或者其他超自然事物看做要麽全能，要麽不全能这种想法根本就是不正确的，因为人类理解的全能本身就分为多个层次上的全能。近代对全能悖论的研究，还注意到了语言对于全能概念表述的内在限制。如果人类的语言不能正确的表达全能的概念，那麽人类在哲学上甚至有可能不能理解全能这一概念。
　　对悖论的回应
　　常见的哲学回应
　　哲学家科安认为这个悖论最重要的内容是告诉我们上帝不可能是全能的。
　　对于全能悖论的一种通俗回答是，既然已经规定了上帝全能，那麽「搬不动」一词就没有逻辑上的含义，那麽悖论也就无效了。
　　英国作家及护教家C·S·刘易斯则认为，对于研究像全能这样的概念，再去讨论一个「很重，重到连上帝都搬不动的石头」是没有意义的，就好像讨论一个「方形的圆」一样。所以说问「上帝能不能创造一块连他自己都搬不动的石头」就像问「上帝能不能画一个方形的圆」一样，是没有意义的。让上帝去创造一个自己搬不动的石头意味着要让上帝同时创造一种能力和一种无能：创造石头的能力和不具备举起它的能力。这个悖论从根本上指出上帝将不再全能，因为他有不能做的事，但同时全能的定义就是没有不能做的事（即在论证不是全能的同时，默认了上帝不是全能的）。
　　另外一个观点是，如果上帝是全能的，那麽他就必定能够暂时去除自己全能的能力。那麽他就可以先取消自己的搬很重的重物的能力，造一块自己都搬不动的石头，然后再恢復自己的全能，去搬这个石头。这种观点承认了上帝有创造一个他自己都搬不动的石头的能力，但是石头搬不动这件事情却是他自己限定的，因此只要他不去让自己搬不动任何石头，他就还是全能。继而出现「上帝能否想像出一件他永远无法创造的物件」则完美解破暂时失去能力的说法；但同时按照这个说法，上帝只要永远不去创造这个东西，他就「永远无法创造」。
　　我们另外可以假设，上帝全能正是因为上帝有克服各种自身「不能」的能力。如果这样理解，那麽上帝确实可以造出一块很重的石头，是他暂时不能搬动的。但是他将立即获得能够搬动这块石头的能力，因此上帝似乎仍是全能的。但是这种假设的问题在于，如果上帝是这种意义上的全能，那麽他就必须不断地增强自己的能力，那麽他就永远不是全能的，因为他一直都在趋近于全能。
　　另一神学解释为，上帝能造出一块石头且他有能力决定是否要搬他，若是不搬即为全能者所不能搬的石头广义为「全能者搬不动的石头」。但若将命题改为「上帝能否想像出一件他永远无法创造的物件」则解破能力控制的说法。
　　1955年，澳大利亚哲学家约翰·莱斯利·麦基在哲学期刊《心灵》（Mind）上发表了一篇文章，试图用区分第一类全能（无限的能力）和第二类全能（无限的能力来决定做什麽而不做什麽，获得什麽而不获得什麽）来解决全能悖论。他认为，如果一个全能的神同时是第一类全能和第二类全能的话，那麽他就迟早会需要限制他自己的能力，从而变得不再全能。该文章发表以后引起的一些争论，矛头指向是否应该使用正式逻辑来理解全能悖论，从而规避悖论的本质。
　　另外一种对全能悖论的回答是，全能需要被准确的定义，而不是简单地理解为「完全全能」。只要规定了全能不包括逻辑上不可能的行为和事，那麽全能悖论就不再存在。近代哲学对于支持这种观念的论据主要来自麦罗德。麦罗德基本和C·S·刘易斯是一致的，他认为问上帝能不能创造一块他自己都搬不动的石头就像问上帝能不能画一个方形的圆一样，是没有意义的。
　　偶发全能和本质全能
　　如果将全能理解为偶发全能，那麽上帝就可以在某一段时间裡使自己暂时不全能，那麽能否创造他自己搬不动的石头就不成其为悖论了。但是偶发全能的理解，却让人怀疑这种全能能否算是全能，或者只是一般意义上的「大能」而已。不过，主动放弃全能的能力却正是基督教与救主降临和耶稣神性有关论断中的核心内容。
　　如果一个个体是本质全能，那他就能够解开这个悖论——只要我们能接受全能并不一定为绝对全能。该全能者为本质全能，因此他并不能变得非全能，更进一步的讲，该全能者不能做违反逻辑的事。创造一块全能者都搬不动的石头是不可能的。而全能者不能创造这石头，但还是能保有其全能。这解说并无违反定义2，只要我们知道该全能者是本质全能而非偶发全能。不过，对非全能者而论，减少自身的能力是有可能的，因此会出现一个矛盾的状况是非全能者能做一些事情，但一个本质全能者不能做。
　　这是奥古斯汀的理论的基础，在他的上帝之城中：
　　“ForHeiscalledomnipotentonaccountofHisdoingwhatHewills,notonaccountofHissufferingwhatHewillsnot;forifthatshouldbefallHim,Hewouldbynomeansbeomnipotent.Wherefore,HecannotdosomethingsfortheveryreasonthatHeisomnipotent.”
　　（上帝被称作全能乃是因为他能随心所欲，而并非在于他是否能给自己一道难题，再说，他也没有兴趣为难自己，因为倘若他作出此举，他便不能再被称作全能，因此，上帝之所以为全能，乃是因为他没办法做出某些事情。）
　　因此奥古斯汀以此为理据指上帝不能做任何东西或事情来令上帝并非上帝。
　　部份哲学家，包括笛卡儿认为如果全能的定义是指全能者可以做逻辑上不合理的事的话，这矛盾就能被解决。在这状况下，该全能者可以创造一块他举不起的石头，但亦都能不管三七廿一的把该石块举起来。在假设上，这样的存在亦能令2+2=5变成数学上可能，或是创造一个正方的三角形。这种解决矛盾的方式，因为定义本身的逻辑一致性，而有其问题。矛盾可能有被解决，不过其牺牲了一致性而让逻辑变成次协调性逻辑。如果以双面真理说或其他逻辑超理方式来谈，则这可能看来并非一个问题。
　　语义学与全能悖论
　　一般理解路德维希·维根斯坦在他的《逻辑哲学论》中想表达的意思是，我们的语言是没有能力表述像「全能」这样的概念的。在《逻辑哲学论》的第六章第四节以前，维根斯坦一直都在逻辑实证主义的范畴内讨论问题。但是从第六章第四节开始，维根斯坦提出，对于我们远离我们日常经验的事物，例如人种这个概念，还有其他几类先验的概念，像死后、上帝等等，是我们有限的语言所不能描述的。因此受语言所限，在这些领域裡转圈，是得不到有效答案的。
　　维根斯坦的《逻辑哲学论》使「全能悖论」变成了一个语义学问题。根据他的着作《逻辑哲学论》（Tractatus），试图建立这类全能悖论的努力是徒劳的，因为人类没有对全能的日常经验，甚至一个经验是否与「全能」相关都无法判断，那麽人类创造出来的有限的语言又怎麽能够描述「全能」呢？维根斯坦在《逻辑哲学论》说：「如果我们说不出来，就最好保持沉默。」维根斯坦对于「全能悖论」的论述对20世纪以来的哲学家和神学家有很大影响，英国哲学家黛维·菲利普就是一例。
　　有趣的是，维根斯坦晚年的着作似乎是和《逻辑哲学论》中的观点是矛盾的。这些观点反而成了后人用于反驳「全能悖论」是语义学问题的指南。
　　「全能悖论」的其他变体
　　数学
　　早在公元6世纪时，伪狄奥尼修斯就指出了「全能悖论」和《使徒行传》中记载的圣保罗和魔法师Elmyas的辩论（Acts13:8）有相似之处，只不过《使徒行传》中，他们之间辩论的问题是上帝是否能够「否定自己」。11世纪时，安瑟伦又提出，即使上帝做不到某些事情，他仍然可以是全能的。
　　托马斯·阿奎那对于全能悖论提出过一个更深刻的问题，即「上帝能否创造一个内角和不是180°的三角形。」他在《哲学大全》中说：
　　“因为逻辑、几何、代数中的一些定律是仅仅是从基于最根本的自然规律建立的公式化原则中导出的，所以上帝是无法做违反这些定律的事情的。例如，他不能创造一类不是物种的动物，也不能画一条通过圆心但是不等分圆的直线，更不能画一个内角和不等于两直角之和的三角形。”
　　拉丁文原文：
　　“Cumprincipiaquarundamscientiarum,utlogicae,geometriaeetarithmeticae,sumanturexsolisprincipiisformalibusrerum,exquibusessentiareidependet,sequiturquodcontrariahorumprincipiorumDeusfacerenonpossit:sicutquodgenusnonsitpraedicabiledespecie;velquodlineaeductaeacentroadcircumferentiamnonsintaequales;autquodtriangulusrectilineusnonhabeattresangulosaequalesduobusrectis.”
　　虽然说非欧几何中一个三角形的内角和可以不等于180°，但是这并不能解决阿奎那给出的悖论。例如，在椭圆几何中，我们仍然可以问，「上帝在椭圆几何的世界裡能画一个内角和小于或等于180°的三角形吗？」核心问题在于，上帝是否能够在一个体系中，却同时超越这个体系的基本规律。
　　政治学
　　全能悖论同时也是政治学中的一个问题。例如在议会主权的探讨中，如果规定某个机构拥有全能的法律权力，那麽该机构就无法约束自己；如果要求某个机构能够约束自己，那麽它就无法拥有全能的法律权力。因此，似乎是要麽只能设立一种政府机构，虽然缺乏自我约束，但是却能够在漫长的历史过程中始终有调整法律以适应现实的能力；要麽只能保证政府机构的自我约束，但是这样法律就不能根据现实灵活调整。
　　物理学
　　从某种意义上说，全能悖论的经典表述，「上帝是否能够创造一块连他自己都搬不动的石头」，是建立在亚里斯多德世界观之上的。如果考虑地球轨道和地球相对于太阳的公转，那麽完全可以说，这个石头自创造之时起就已经是被搬起来了的，因为物理学理论指出「搬起」，即移动某个物体取决于这个物体被赋予的加速度。当然这麽理解就跟全能悖论无关了，因为全能悖论讨论的是上帝的全能问题。只要增加一个条件（上帝有一天创造了一个符合亚里斯多德世界观的宇宙），全能悖论就就继续有效。
　　在伊森艾伦的理据中讲述原罪、自然神话及一些其他经典启示时，于第三章第四节中他记述全能本身并不能让动物生命脱离死亡，因为改变和死亡都是该种生命被给予的定义。他论述一个不能没有其他，就像没有相对数量的山峰就没有山谷，或是我亦不能同时存在和不存在。("theonecannotbewithouttheother,anymorethantherecouldbeacompactnumberofmountainswithoutvalleys,orthatIcouldexistandnotexistatthesametime,orthatGodshouldeffectanyothercontradictioninnature.")他被朋友称为自然神论者，艾伦接纳一个神圣的存在，不过在理据全书中，他亦争论个神圣的存在一定会被逻辑所限制。
　　笛卡尔在《哲学原理》中用全能悖论驳斥了早期原子论。他指出，所谓存在「既不可见又不可分割」的原子的论述与「上帝存在」是矛盾的。上帝怎麽可能会创造出一种连他自己都不能分割的微粒呢？
　　一个在欧几里得平面上的三角形，它的三条边、三个角、三个顶点标记如图。三角形的三个内角之和，即α+β+γ，应该等于180°