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　　强基数
　　在集合论中，强基数是大基数的一种。这是对超紧凑基数概念的弱化。
　　正式定义
　　如果λ是任意序数，κ是λ-strong意味着κ是一个基数并且存在一个从宇宙V到具有临界点κ的传递内模型M的基本嵌入j和
　　Vλ⊆M
　　也就是说，M在初始段上与V一致。那麽κ是强的意味着它对于所有序数λ都是λ强的。
　　与其他大基数的关係
　　根据定义，强基数在一致性强度层次结构中低于超紧基数，高于可测量基数。
　　κ是κ强的当且仅当它是可测量的。如果κ强或λ强，则λ≥κ+2，那麽见证κ可测量的超滤器U将在Vκ+2中，因此在M中。所以对于任何α<κ，我们有一个超滤器U在j(Vκ)-j(Vα)中，记住j(α)=α。向后使用基本嵌入，我们得到在Vκ-Vα中有一个超滤器.所以有任意大的可测基数低于κ是规则的，因此κ是κ-许多可测基数的极限。
　　强基数的一致性强度也低于超强基数和伍丁基数。然而，强基数大于non-强基数。
　　每一位强大的红衣主教都具有很强的可展开性，因此完全indescribable。
　　tall基数
　　在数学中，tall基数是一个大基数κ，对于所有序数θ都是θ-tall，如果存在基本嵌入j:V→M和临界点κ，则基数称为θ-tall使得j(κ)>θ和Mκ⊆M。
　　高大的红衣主教与强基数是等价的。
　　Woodin基数
　　在集合论中，伍丁基数（以W.HughWoodin命名）是基数λ这样对于所有功能
　　F：λ→λ
　　存在基数κ<λ和
　　{F(β)∣β<κ}⊆κ
　　和一个基本的嵌入
　　j：V→M
　　来自冯诺依曼宇宙V转化为传递内模型M有临界点κ和
　　Vj(F)(κ)⊆M.
　　一个等价的定义是这样的：λ是伍丁当且仅当λ非常Inaccessible并且对所有人来说A⊆Vλ存在一个λA<λ这是<λ-A-强的。
　　λᴀ存在<λ-A-strong意味着对于所有序数α<λ,存在一个j：V→M这是一个带有临界点的基本嵌入λᴀ,j(λ一个)>α,Vα⊆M和j(A)∩Vα=A∩Vα.（另见强基数。）
　　Woodin基数前面有一组固定的可测量基数，因此它是Mahlo基数。然而，第一位伍丁基数甚至不是弱紧凑。
　　结果
　　伍丁基数在描述性集合论中很重要。根据Martin和Steel的结果，无限多个Woodin基数的存在意味着射影确定性，这反过来又意味着每个射影集都是Lebesgue可测的，具有Baire属性（与开集不同的是微薄集，即，一个集合，它是无处稠密集合的可数并集）和完美集合属性（可数或包含完美子集）。
　　伍丁基数存在的一致性可以使用确定性假设来证明。在ZF+AD+DC工作可以证明θ₀是Woodin在遗传序数可定义集合类中。θ₀是第一个序数，连续统不能通过序数可定义的满射映射到该序数上（参见Θ（集合论））。
　　Shelah证明瞭如果伍丁基数的存在是一致的，那麽它的非平稳理想是一致的ω1是ℵ2-饱和。伍丁还证明了无限多伍丁红衣主教的存在和一个ℵ₁-密集的理想ℵ₁.
　　超伍丁基数
　　基数_κ如果存在正常度量，则称为超伍丁U上κ这样对于每一组S,集合
　　{λ<κ∣λ是<κ-S-强}
　　在U.
　　λ是<κ-S-strong当且仅当对于每个δ<κ有一个传递类N和一个基本的嵌入
　　j：V→N
　　和
　　λ=crit(j),
　　j(λ)≥δ，和
　　j(S)∩Hδ=S∩Hδ.
　　这个名字暗示了一个经典的结果，即基数是伍丁当且仅当对于每个集合S,集合
　　{λ<κ∣λ是<κ-S-强}
　　是一个平稳集。
　　的措施U将包含以下所有Shelah基数的集合κ.
　　弱超伍丁基数
　　基数_κ如果对每个集合，则称为弱超伍丁小号存在一个正常的度量U上κ这样集合{λ<κ∣λ是<κ-S-强}在U.λ是<κ-S-strong当且仅当对于每个δ<κ有一个传递类N和一个基本的嵌入j：V→N和λ=crit(j),j(λ)≥δ，和j(S)∩Hδ=S∩Hδ.
　　这个名字暗示了一个经典的结果，即基数是伍丁，如果每个集合小号,集合{λ<κ∣λ是<κ-S-强}是静止的。
　　超伍丁基数和弱超伍丁基数之间的区别在于U不依赖于集合的选择S对于超伍丁基数。
　　Shelah基数
　　在公理集合论中，Shelah基数是一种大基数。基数_κ被称为ShelahF：κ→κ,存在传递类N和一个基本的嵌入j：V→N有临界点κ;和vj(F)(κ)⊂n.
　　Shelah基数有一个普通的超滤器，其下方包含一组弱超伍丁基数。
　　Superstrong基数
　　在数学中，基数κ被称为超强当且仅当存在一个基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ的传递内部模型M和Vj(κ)⊆M。
　　类似地，基数κ是n-超强当且仅当存在一个基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ的传递内部模型M和Vjn(κ)⊆M。AkihiroKanamori已经证明，对于每个n>0，n+1-超强基数的一致性强度超过了n-巨大基数的一致性强度。
　　Subcompact基数
　　在数学中，次紧基数是某种大基数。
　　基数κ是次紧的当且仅当对于每个A⊂H(κ+)存在一个非平凡的基本嵌入j:(H(μ+),B)→(H(κ+),A)（其中H(κ+)是具有临界点μ和j(μ)=κ的遗传小于κ+)的所有基数集的集合。
　　类似地，κ是一个准紧基数当且仅当对于每个A⊂H(κ+)存在一个非平凡的基本嵌入j:(H(κ+),A)→(H(μ+),B)临界点κ和j(κ)=μ。
　　H(λ)由所有传递闭包的基数小于λ的集合组成。
　　每个准紧基数都是次紧的。准紧緻性是次紧緻性的加强，因为它向上投射大的基数性质。这种关係类似于可扩展与超紧凑基数的关係。准紧緻性可以被视为1-可扩展性的强化或“粗体”版本。次紧基数的存在意味着存在许多1-可扩展基数，因此也存在许多超强基数。2κ-超紧基数κ的存在意味着许多准紧基数的存在。
　　亚紧凑基数值得注意，因为最小的基数意味着平方原则的失败。如果κ是次紧的，那麽平方原理在κ处失效。次紧基数级别的规范内部模型除了次紧基数之外都满足平方原则。（此类模型的存在尚未得到证明，但无论如何，对于较弱的基数，平方原则都可以强制使用。）
　　准紧緻性是目前不使用长扩展器的内部模型可以见证的最强大的大基数属性之一。对于当前的内部模型，包含的基本嵌入取决于它们对P(κ)的影响（在包含嵌入的阶段计算），其中κ是临界点。这甚至可以防止他们看到κ+强紧緻基数κ。
　　亚紧凑和准紧凑基数由RonaldJensen定义。
　　Stronglycompact基数
　　在集合论（数学的一个分支）中，强紧緻基数是某种大基数。
　　当且仅当每个κ-完全过滤器都可以扩展到κ-完全超滤器时，基数κ是强紧緻的。
　　强紧基数最初是根据无限逻辑定义的，其中允许逻辑运算符採用无限多的操作数。规则基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数小于κ来定义的；那麽κ是强紧緻的，如果它的逻辑满足有限逻辑紧緻性质的类比。具体来说，从其他一些语句集合中得出的语句也应该从基数小于κ的某些子集合中得出。
　　只有当原始语句集合的基数低于某个基数λ时，才要求保持这种紧緻性，可以削弱强紧緻性的性质；然后我们可以参考λ-紧緻性。一个基数是弱紧的当且仅当它是κ紧的；这是该概念的原始定义。
　　强紧緻性意味着可测性，并被超紧緻性所暗示。鑑于存在相关基数，与ZFC一致的是，第一个可测基数是强紧緻的，或者第一个强紧緻基数是超紧緻的；然而，这些不可能都是真的。强紧緻基数的可测量极限是强紧緻，但至少这样的极限不是超紧緻。
　　强紧緻的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论者推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等价的。然而，在超紧緻红衣主教的规范内模型理论被开发出来之前，证明是不可能的。
　　可扩展性是强紧凑性的二阶模拟。
　　Extendible基数
　　在数学中，可扩展的基数是由Reinhardt(1974)引入的大基数，他的部分动机是反射原理。直观地说，这样一个基数代表了一个点，超过这个点，集合宇宙的初始部分开始看起来相似，从某种意义上说，每个部分都可以基本嵌入到后面的部分中。
　　变体和与其他红衣主教的关係
　　如果有一个基本嵌入j证明κ是η可扩展的（即j是从Vκ+η到具有临界点κ的某个Vλ的基本嵌入），则基数κ称为η-C(n)-可扩展的，使得此外，Vj(κ)在V中是Σn-正确的。也就是说，对于每个Σn公式φ，当且仅当φ成立时，φ在Vj(κ)中成立五。如果基数κ对于每个序数η都是η-C(n)-可扩展的，则称它是C(n)-可扩展的。每个可扩展基数都是C(1)-可扩展的，但对于n≥1，最小的C(n)-可扩展基数永远不会是C(n+1)-可扩展（Bagaria2011）。
　　Vopěnka原理暗示了可扩展红衣主教的存在；事实上，Vopěnka原则（对于可定义的类）等价于所有n的存在C(n)-可扩展基数（Bagaria2011）。所有可扩展的基数都是超紧凑基数
　　Vopěnka原理
　　在数学中，Vopěnka原理是一个大基数公理。公理背后的直觉是集合论宇宙是如此之大，以至于在每个适当的类中，一些成员与其他成员相似，这种相似性通过基本嵌入形式化。
　　Vopěnka的原则首先由PetrVopěnka提出并由H.JeromeKeisler独立考虑，并由Solovay,Reinhardt&Kanamori(1978)撰写。根据Pudlák(2013,p.204)的说法，Vopěnka的原则最初是一个玩笑：Vopěnka显然对大基数不感兴趣，并将他的原则作为一个虚假的大基数属性引入，计划稍后证明它是不一致的。然而，在发表他的不一致证明之前，他发现了其中的一个缺陷。
　　定义
　　Vopěnka的原则断言，对于每一个适当的二元关係类（每个都有集合大小的域），都有一个基本可嵌入到另一个中。这不能用ZFC的一句话来表述，因为它涉及对类的量化。如果一个基数κ是不可达的并且Vopěnka的原理在等级Vκ中成立（允许任意S⊂Vκ作为“类”），则称为Vopěnka基数。
　　许多等效的配方是可能的。例如，Vopěnka原理等价于以下每个陈述。
　　对于每个适当的简单有向图类，该类的两个成员之间具有同态性。
　　对于任何SignΣ和任何适当的Σ结构类，该类有两个成员，它们之间具有基本嵌入。
　　对于每个谓词P和序数的适当类S，对于S中的一些κ和λ，存在一个非平凡的基本嵌入j:(Vκ,∈,P)→(Vλ,∈,P)。
　　序数的范畴不能完全嵌入到图的范畴中。
　　可访问函子的每个子函子都是可访问的。
　　（在可定义的类设置中）对于每个自然数n，都存在一个C(n)可扩展基数。
　　即使限制在一阶集合论中可定义的谓词和适当的类，该原理也意味着对于每个n都存在Σn个正确的可扩展基数。
　　如果κ是一个Huge基数，则Vopěnka原理的强形式在Vκ中成立：
　　有一个κ-完全超滤器U使得对于每个{Ri:i<κ}其中每个Ri是一个二元关係并且Ri∈Vκ，有S∈U和一个非平凡的基本嵌入j:Ra→Rb对于S中的每个a<b。
　　Huge基数
　　在数学中，如果存在一个基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ的传递内部模型M和
　　j(κ)M⊂M.
　　这裡，αM是所有元素在M中的长度为α的序列的类。
　　KennethKunen(1978)介绍了Huge基数。
　　变体
　　在下文中，jn是指基本嵌入j的第n次迭代，即j与自身n次组合，用于有限序数n。此外，<αM是所有长度小于α且元素在M中的序列的类别。请注意，对于“超级”版本，γ应该小于j(κ)，而不是jn(κ).
　　当且仅当存在具有临界点κ的j:V→M并且
　　<jn(κ)M⊂M.
　　当且仅当对于每个序数γ都有j:V→M具有临界点κ，γ<j(κ)，并且
　　<jn(κ)M⊂M.
　　κ是n-huge当且仅当存在j:V→M具有临界点κ并且
　　jn(κ)M⊂M.
　　κ是超n-巨大的当且仅当对于每个序数γ有j:V→M具有临界点κ,γ<j(κ),并且
　　jn(κ)M⊂M.
　　请注意，0-huge与measurablecardinal相同；并且1-huge与巨大的相同。对于所有有限的n，满足秩公理之一的基数是n-huge。
　　几乎Huge基数的存在意味着Vopěnka的原则是一致的。更准确地说，任何几乎Huge基数也是Vopěnka基数。
　　一致性强度
　　基数按照一致性强度增加的顺序排列如下：
　　几乎n-Huge的
　　超级几乎n-Huge的
　　n-Huge的
　　超级Huge_
　　几乎n+1-Huge的
　　Huge基数的一致性意味着超紧基数的一致性，然而，最小的基数小于最小的超紧基数（假设两者都存在）。
　　ω-Huge基数
　　可以尝试将ω-huge基数κ定义为一个基本嵌入j:V→M从V到具有临界点κ和λM⊆M的传递内部模型M，其中λ是jn(κ)对于正整数n。然而，Kunen的不一致定理表明，这样的基数在ZFC中是不一致的，儘管它们在ZF中是否一致仍然是开放的。相反，ω-巨大的基数κ被定义为从某个等级Vλ+1到自身的基本嵌入的临界点。这与秩到秩公理I1密切相关。
　　完整性公理
　　在数学中，完整性公理是由PaulCorazza在2000年提出的集合论的一个强公理。
　　陈述编辑
　　整体性公理大致表明，从冯诺依曼宇宙V到其自身存在一个基本嵌入j。必须仔细说明这一点，以避免Kunen的不一致定理（粗略地）指出不存在这种嵌入。
　　更具体地说，正如SamuelGomesdaSilva所说，“通过从模式中省略j公式的替换公理的所有实例来避免不一致”。因此，完整性公理不同于莱因哈特基数（另一种提供从V到自身的基本嵌入的方式），它允许选择公理，而不是修改替换公理。然而，Holmes,Forster&Libert(2012)写道，Corrazza的理论应该“自然地被视为Zermelo集合论的一个版本，而不是ZFC”。
　　如果整体性公理是一致的，那麽在整体性公理中添加所有集合在遗传上序数可定义的断言也是一致的。Hamkins(2001)介绍的整体性公理的分层版本的一致性，由Apter(2012)研究。
　　Rank-into-rank
　　在集合论（数学的一个分支）中，秩到秩嵌入是一个大的基本属性，由以下四个公理之一定义，以增加一致性强度的顺序给出。（秩<λ的集合是冯诺依曼层次的集合Vλ的元素之一。）
　　公理I3：存在Vλ到自身的非平凡基本嵌入。
　　公理I2：V有一个非平凡的基本嵌入到包含Vλ的传递类M中，其中λ是临界点上方的第一个不动点。
　　公理I1：存在Vλ+1到自身的非平凡基本嵌入。
　　公理I0：存在L(Vλ+1)的非平凡基本嵌入，其临界点低于λ。
　　这些本质上是最强的已知大基数公理，在ZFC中不知道是不一致的；莱因哈特基数的公理更强，但与选择公理不一致。
　　如果j是这些公理之一中提到的基本嵌入，并且κ是它的临界点，那麽λ是j^n(κ)当n变为ω。更一般地，如果选择公理成立，则可以证明，如果存在Vα的非平凡基本嵌入，则α要么是共尾性ω的极限序数，要么是此类序数的后继。
　　公理I0、I1、I2和I3最初被怀疑是不一致的（在ZFC中），因为人们认为莱因哈特基数与选择公理不一致的Kunen不一致定理可以扩展到它们，但这并没有然而发生了，现在通常认为它们是一致的。
　　每个I0基数κ（这裡是j的临界点）都是一个I1基数。
　　每个I1基数κ（有时称为ω-huge基数）都是一个I2基数，并且在其下方有一组固定的I2基数。
　　每个I2基数κ是一个I3基数，并且在其下方有一组固定的I3基数。
　　每个I3基数κ在其上方都有另一个I3基数，并且对于每个n<ω都是一个n-大基数。
　　公理I1意味着Vλ+1（等效地，H(λ+)）不满足V=HOD。在Vλ+1（甚至从参数Vλ和序数<λ+）中没有可定义的集合S⊂λ，其中S在λ中是cofinal并且|S|<λ，也就是说，没有这样的S证明λ是奇异的。同样对于公理I0和L(Vλ+1)中的序数可定义性（甚至来自Vλ中的参数）。然而，在全局范围内，甚至在Vλ中，V=HOD与公理I1相对一致。
　　请注意，有时通过添加“伊卡洛斯集”会进一步加强I0，因此它会是
　　AxiomIcarus集：存在L(Vλ+1,Icarus)的非平凡基本嵌入，其临界点低于λ。
　　Icarus集应该在Vλ+2-L(Vλ+1)中，但选择是为了避免产生不一致。因此，例如，它不能编码Vλ+1的良序。有关详细信息，请参阅Dimonte的第10节。