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　　Jónsson基数
　　在集合论中，Jónsson基数（以BjarniJónsson命名）是某种大基数。
　　如果对于每个函数f:[κ]<ω→κ有一个阶类型为κ的集合H使得对于每个n，限制在H的n个元素子集的f至少省略，则不可数基数κ被称为Jónssonκ中的一个值。
　　每个Rowbottom基数都是Jónsson。根据EugeneM.Kleinberg的一个定理，理论ZFC+“有一个Rowbottom基数”和ZFC+“有一个Jónsson基数”是等价的。WilliamMitchell借助Dodd-Jensen核心模型证明了Jónsson基数存在的一致性暗示了Ramsey基数存在的一致性，因此Jónsson基数的存在和Ramsey基数的存在是等一致性的.
　　一般来说，Jónsson基数不一定是通常意义上的大基数：它们可以是单数。但是单数Jónsson基数的存在与可测量基数的存在等价。使用选择公理，许多小基数（ℵₙ，例如）可以证明不是Jónsson。然而，像这样的结果需要选择公理：确定性公理确实意味着对于每个正自然数n，基数ℵₙ是琼森。
　　Jónsson代数是没有相同基数的适当子代数的代数。（它们与Jónsson-Tarski代数无关）。在这裡，代数是指具有可数个函数符号的语言模型，换句话说，是具有从该集合的有限乘积到自身的可数个函数的集合。当且仅当没有该基数的Jónsson代数时，基数才是Jónsson基数。Jónsson函数的存在表明，如果允许代数进行无限运算，则不存在Jónsson基数的类似物。
　　Rowbottom基数
　　在集合论中，由Rowbottom(1971)引入的Rowbottom基数是某种大基数。
　　一个不可数的基数κ据说是λ-Rowbottom如果对于每个函数f:[κ]<ω→λ(其中λ<κ)存在一个阶数类型的集合Hκ对于f是准齐次的，即对于每个n，H的n个元素子集的f图像具有<λ元素。κ如果是，则为Rowbottomω₁-行底。
　　每个Ramsey基数都是Rowbottom，每个Rowbottom基数都是Jónsson。根据Kleinberg的一个定理，理论ZFC+“有一个Rowbottom基数”和ZFC+“有一个Jónsson基数”是等价的。
　　通常，Rowbottom基数不一定是通常意义上的大基数：Rowbottom基数可以是单数。ZFC+“是否是一个悬而未决的问题ℵω是Rowbottom”是一致的。如果是的话，它的一致性强度比Rowbottom基数的存在要高得多。确定性公理确实意味着ℵω是Rowbottom（但与选择公理相矛盾）。
　　measurable基数
　　在数学中，可测基数是某种大基数。为了定义这个概念，人们在基数κ上引入二值测度，或更一般地在任何集合上引入二值测度。对于基数κ，它可以被描述为将其所有子集细分为大集合和小集合，使得κ本身很大，∅并且所有单例{α}，α∈κ都很小，小集合的补集很大并且反之亦然。小于的交集κ大集合又是大的。
　　事实证明，具有二值测度的不可数基数是不能从ZFC证明存在的大基数。
　　StanislawUlam在1930年引入了可测量基数的概念。
　　定义
　　形式上，可测量的基数是不可数的基数κ，因此在κ的幂集上存在κ加性、非平凡、0-1值测度。（这裡的术语κ-additive意味着，对于任何序列Aα，α<λ的基数λ<κ，Aα是小于κ的序数的成对不相交集，Aα的并集的度量等于个体Aα的测量值。）
　　等效地，κ是可测量的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类M的临界点。这种等价性归功于JeromeKeisler和DanaScott，并使用了模型理论中的超强构造。由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑超能力时通常不存在的技术问题，现在称为斯科特的把戏。
　　等效地，当且仅当κ是具有κ完全非主超滤器的不可数基数时，κ是可测量的基数。同样，这意味着超滤器中任何严格小于κ的集合的交集也在超滤器中。
　　特性
　　儘管从ZFC得出，每个可测量的基数都是不可达的（并且是ineffable的，Ramsey等），但与ZF一致的是，可测量的基数可以是后继基数。从ZF+确定性公理可以得出ω1是可测的，并且ω1的每个子集都包含或不相交于一个封闭且无界的子集。
　　Ulam表明，承认非平凡可数加法二值测度的最小基数κ实际上必须承认κ加法测度。（如果有一些小于κ的measure-0子集的集合，其并集为κ，那麽对该集合的诱导度量将是κ的极小性的反例。）从那裡，可以证明（使用选择公理）至少这样的基数一定是不可达的。
　　值得注意的是，如果κ承认非平凡的κ-加法测度，则κ必须是正则的。（通过非平凡性和κ-可加性，任何小于κ的基数子集都必须具有测度0，然后再次通过κ-可加性，这意味着整个集合不能是小于κ的基数小于的并集κ.)最后，如果λ<κ，则不可能是κ≤2λ。如果是这种情况，那麽我们可以用一些长度为λ的0-1序列的集合来识别κ。对于序列中的每个位置，在该位置具有1的序列子集或在该位置具有0的子集都必须具有度量1。这些λ的交集-因此，许多度量1子集也必须具有度量1，但它将仅包含一个序列，这与度量的非平凡性相矛盾。因此，假设选择公理，我们可以推断出κ是一个强极限基数，这就完成了其不可达性的证明。
　　如果κ是可测的且p∈Vκ且M（V的超幂）满足ψ(κ,p)，则α<κ使得V满足ψ(α,p)的集合在κ中是平稳的（实际上是一个集合措施1）。特别是如果ψ是Π1公式并且V满足ψ(κ,p)，则M满足它，因此V满足ψ(α,p)α<κ。此属性可用于表明κ是大多数类型的比可测量弱的大基数的限制。请注意，见证κ可测量的超滤器或测量不能在M中，因为最小的此类可测量基数必须在其下方有另一个这样的基数，这是不可能的。
　　如果从V的基本嵌入j1到具有临界点κ的M1中开始，则可以将κ上的超滤器U定义为{S⊆κ:κ∈j1(S)}。然后在U上取V的超幂，我们可以得到另一个V的基本嵌入j2到M2中。然而，重要的是要记住j2≠j1。因此其他类型的大基数，如强基数也可能是可测量的，但不使用相同的嵌入。可以证明，一个强基数κ是可测的，并且在其下方也有κ-许多可测基数。
　　每个可测量的基数κ都是0-大基数，因为κM⊆M，即从κ到M的每个函数都在M中。因此，Vκ+1⊆M。
　　实值可衡量
　　如果在κ的幂集上存在一个在单例上消失的κ加性概率测度，则基数κ称为实值可测。实值可测基数由StefanBanach(1930)提出。Banach&Kuratowski(1929)表明，连续统假设意味着C不是实值可测量的。StanislawUlam(1930)表明（见下文Ulam的部分证明）实值可测量基数是弱不可达的（它们实际上是弱Mahlo）。所有可测基数都是实值可测基数，当且仅当κ大于C.因此，一个基数是可测量的，当且仅当它是实值可测量且强不可达的。小于或等于的实值可测量基数C当且仅当Lebesgue测度对所有实数集的可数加性扩展当且仅当在某个非空集的幂集上存在无原子概率测度时才存在。
　　Solovay(1971)表明，ZFC中的可测基数、ZFC中的实值可测基数和ZF中的可测基数是等一致的。
　　实值可测量基数的弱不可访问性
　　如果[4][nb1]假设基数α是Ulam数
　　每当μ是集合X的外部度量，
　　μ(X)<∞
　　μ（｛x｝）=0,x∈X
　　全部A⊂X是μ可测量的。
　　然后
　　card⁡X≤α⇒μ(X)=0。
　　等价地，基数α是Ulam数，如果
　　每当
　　ν是集合Y的外部度量，F是Y的不相交子集族，
　　ν(⋃F)<∞,
　　ν(A)=0为了A∈F,
　　⋃G是ν-可测量的G⊂F
　　然后
　　card⁡F≤α⇒ν(⋃F)=0。
　　最小的无限基数ℵ₀是一个乌兰数。Ulam数的类在基数后继运算下是封闭的。如果一个无限基数β有一个直接前驱α，它是一个Ulam数，假设μ满足性质(1)–(4)X=β.在序数和基数的冯诺依曼模型中，选择单射函数
　　fₓ：X→α,∀X∈β,
　　并定义集合
　　U(b,a)={X∈β：FX(b)=a},a∈α,b∈β.
　　由于FX是一对一的，集合
　　{U(b,a),b∈β}(afixed）,
　　{U(b,a),a∈α}(bfixed)
　　是不相交的。根据μ的性质(2)，集合
　　{b∈β：μ(U(b,a))>0}
　　是可数的，因此
　　card⁡{(b,a)∈β×α|μ(U(b,a))>0}≤ℵ₀⋅α=α.
　　因此有一个b₀这样
　　μ(U(b₀,a))=0∀a∈α
　　暗示，因为α是Ulam数并使用第二个定义（与ν=μ和条件（1）-（4）满足），
　　μ(⋃a∈αU(b₀,a))=0。
　　如果b₀<X<β,然后fₓ(b₀)=aₓ⇒X∈U(b₀,aₓ).因此
　　β=b₀∪{b₀}∪⋃a∈αü(b₀,a),
　　按属性(2),μ{b₀}=0,并且因为carb⁡b₀≤α，由（4）、（2）和（3），μ(b₀)=0。它遵循μ(β)=0。结论是β是一个乌拉姆数。
　　有一个类似的证明证明一组S的Ulam数的上确有cardS乌兰号码又是乌兰号码。连同前面的结果，这意味着不是Ulam数的基数是弱不可达的。
　　0†
　　在集合论中，0†是自然数的一个特定子集，由RobertM.Solovay在1960年代未发表的着作中首次定义。（上标†应该是dagger，但它在某些浏览器上显示为加号。）定义有点尴尬，因为可能没有满足条件的自然数集。具体来说，如果ZFC是一致的，则ZFC+“0†不存在”是一致的。ZFC+"0†存在”不知道是不一致的（大多数集合论者认为它是一致的）。换句话说，它被认为是独立的（参见大基数的讨论）。它通常表述如下：
　　0†存在当且仅当存在一个非平凡的基本嵌入j：L[U]→L[U]用于相对化的哥德尔可构造宇宙L[U]，其中U是一个超滤器，证明某些基数κ是可测量的。
　　如果0†存在，那麽仔细分析L[U]的嵌入到其自身中会发现存在κ的封闭无界子集和大于κ的序数的封闭无界真类，它们一起对于结构是不可识别的(L,∈,U),并且0†被定义为关于L[U]中不可分辨的真公式的一组哥德尔数。
　　Solovay证明了0†的存在源于两个可测量的基数的存在。它传统上被认为是一个大基数公理，儘管它不是一个大基数，也不是一个基数。