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　　Subtle基数
　　在数学中，Subtle基数和Ethereal基数是密切相关的大基数。
　　如果对于每个封闭且无界的C⊂κ和长度为κ的每个序列A，其中元素数为δ（对于任意δ），Aδ⊂δ，存在属于C的α，β，则基数κ被称为Subtle，与α<β，使得Aα=Aβ∩α。
　　如果对于每个闭合且无界的C⊂κ和长度为κ的每个序列A，其中元素数为δ（对于任意δ），Aδ⊂δ和Aδ具有与δ相同的基数，则基数κ被称为以太存在α,β,属于C,α<β,使得card(α)=card(Aβ∩Aα)。
　　Jensen&Kunen(69)介绍了Subtle基数。Ketonen(74)介绍了Ethereal基数。任何Subtle基数都是Ethereal，任何不可达的Ethereal基数都是Subtle。
　　定理
　　当且仅当基数κ的每个传递集S都包含x和y使得x是y的真子集且x≠Ø且x≠{Ø}时，存在一个Subtle基数≤κ。一个无限序数κ是Subtle当且仅当对于每个λ<κ，每个基数κ的传递集S都包含一个阶类型λ的链（包含下）
　　Ineffable基数
　　在超限数的数学中，Ineffable基数是某种大基数，由Jensen&Kunen(69)提出。在以下定义中，κ将永远是一个常规的不可数基数。
　　一个基数κ如果对于每个F：κ→P(κ)（在哪裡P(κ)是幂集κ)具有以下属性F(δ)是的一个子集δ对于所有序数δ<κ,有一个子集S的κ有基数κ和同质的F，在某种意义上，对于任何δ1<δ2在S,F(δ1)=F(δ2)∩δ1.
　　一个基数κ如果对于每个二进制值函数，则称为IneffableF：[κ]²→{0,1},有一个固定子集κ在哪个F是同质的：也就是说，要么F将从该子集中提取的所有无序元素对映射为零，或者它将所有此类无序对映射为一。一个等效的公式是基数κ如果对于每个序列⟨Aα:α∈κ⟩使得每个Aα⊆α，存在A⊆κ使得{α∈κ:A∩α=Aα}在κ中是静止的，则是Ineffable。
　　更普遍，κ叫做n-Ineffable（对于一个正整数n)如果对于每个F：[κ]n→{0,1}有一个固定子集κ在哪个F是n-同质的（对所有无序的取相同的值n-从子集中提取的元组）。因此，它是Ineffable当且仅当它是2-Ineffable。
　　一个完全Ineffable基数是一个红衣主教n-每个人都无法言喻2≤n<ℵ₀.如果κ是(n+1)-Ineffable，那麽集合n-Ineffable基数κ是一个固定子集κ.
　　每个n-Ineffable的基数都是n-几乎不可言喻的（在它之下的n-Ineffable的集合是静止的），并且每个n-Ineffable都是n-Subtle（在它之下的n-Subtle的集合是静止的）。最小的n-Subtle基数甚至不是弱紧凑的（并且与Ineffable基数不同，最小的n-Ineffable是Π21-describable)，但是n-Ineffable基数在每个n-Subtle基数之下是静止的。
　　如果有一个非空的，一个基数κ是完全IneffableR⊆磷P(κ)这样
　　-每个A∈R是静止
　　的-对于每个一个∈R和F：[κ]2→{0,1}，有B⊆Af的齐次B∈R.
　　使用任何有限的n>1代替2将导致相同的定义，因此完全Ineffable基数是完全Ineffable（并且具有更大的一致性强度）。完全ineffable红衣主教是Πn1-对于每个n都ineffable，但完全Ineffable属性是Δ1/2.
　　完全Ineffable一致性强度低于1-iterable基数，后者又低于显着基数，而显着基数又低于ω-Erdős基数。此处提供了按一致性强度列出的大基本公理列表。
　　Remarkable基数
　　在数学中，Remarkable基数是某种大基数。
　　如果对于所有正则基数θ>κ存在π、M、λ、σ、N和ρ，则基数κ被称为显着
　　π:M→Hθ是一个基本的嵌入
　　M是可数和传递的
　　π(λ)=κ
　　σ:M→N是具有临界点λ的基本嵌入
　　N是可数和传递的
　　ρ=M∩Ord是N中的正则基数
　　σ(λ)>ρ
　　M=HρN，即M∈N和N⊨“M是所有遗传上小于ρ的集合的集合”
　　等效地，κ当且仅当对于每个λ>κ有λ¯<κ这样在某些强制扩展中V[G]，有一个基本的嵌入j：Vλ/V→Vλ/V令人满意的j(crit⁡(j))=κ.虽然定义类似于超紧基数的定义之一，但这裡的基本嵌入只需要存在于V[G]，不在V.
　　Erdős基数
　　在数学中，Erdős基数，也称为分区基数，是PaulErdős和AndrásHajnal(58)引入的某种大基数。
　　Erdős基数κ(α)被定义为最小基数，使得对于每个函数f:κ<ω→{0,1}，有一组阶类型α对于f是齐次的（如果存在这样的基数）。在划分演算的符号中，Erdős基数κ(α)是最小的基数，使得
　　κ(α)→(α)<ω
　　零尖的存在意味着可构造宇宙L满足“对于每个可数序数α，都有一个α-Erdős基数”。事实上，对于每个不可分辨的κ，Lκ满足“对于每个序数α，在Coll(ω,α)中有一个α-Erdős基数（Levy坍缩以使α可数）”。
　　然而，ω1-Erdős基数的存在意味着零锐角的存在。如果f是L的满足关係（使用序数参数），则零尖的存在等价于存在关于f的ω1-Erdős序数。反过来，零尖意味着库尔特·哥德尔的可构造性公理的错误。
　　如果κ是α-Erdős，那麽它在每个满足“α可数”的传递模型中都是α-Erdős。
　　可迭代的基数
　　在数学中，可迭代基数是Gitman(2011)和Sharpe和Welch(2011)引入的一种大基数，并由Gitman和Welch(2011)进一步研究。如果κ的每个子集都包含在弱κ-模型M中，则Sharpe和Welch将基数κ定义为可迭代的，对于该模型M，在κ上存在一个M-超滤器，允许通过任意长度的超幂进行有根据的迭代。Gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数κ如果仅需要长度为α的超幂次迭代，则定义为α可迭代的。（根据标准论点，iterability等价于ω1-iterability。）
　　Ramsey基数
　　在数学中，Ramsey基数是Erdős&Hajnal(62)引入的一种大基数，以FrankP.Ramsey命名，其定理确立了ω具有Ramsey基数推广到不可数情况的特定性质。
　　令[κ]<ω表示κ的所有有限子集的集合。一个不可数的基数κ称为Ramsey如果，对于每个函数
　　f:[κ]<ω→{0,1}
　　有一个基数κ的集合A对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在来自A的基数n的子集上是常数。如果A可以选择为κ的平稳子集，则基数κ被称为ineffablyRamsey。如果对于每个函数，基数κ实际上称为Ramsey
　　f:[κ]<ω→{0,1}
　　有C是κ的一个封闭且无界的子集，因此对于C中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎Ramsey的概念，其中对于每个λ<κ，f的齐次集都需要阶类型λ。
　　这些Ramsey基数中的任何一个的存在都足以证明0#的存在，或者实际上每个秩小于κ的集合都有一个尖。
　　每个可测量的红衣主教都是Ramsey基数，每个Ramsey基数都是Rowbottom基数。
　　介于Ramseyness和可测性之间的强度中间属性是κ上存在κ完全正态非主理想I使得对于每个A∉I和对于每个函数
　　f:[κ]<ω→{0,1}
　　有一个集合B⊂A不在I中，对于f是齐次的。这比κ是不可言喻的Ramsey严格地强。
　　Ramsey基数的存在意味着0#的存在，这反过来又意味着KurtGödel的可构造性公理的错误。