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　　Reflecting基数
　　在集合论（一门数学学科）中，Reflecting基数是基数κ，对于该基数κ，在κ上有一个正常的理想I，使得对于每个X∈I+，X在α处反射的α∈κ的集合在I+.（如果S∩α在α中是静止的，则据说κ的静止子集S在α<κ处反射。）Reflecting基数由(Mekler&Shelah1989)引入。
　　每个弱紧緻基数都是一个Reflecting基数，也是一个Reflecting基数的极限。不可达的Reflecting基数的一致性强度严格大于极大Mahlo基数，其中基数κ如果是κ+-Mahlo，则称为极大Mahlo（Mekler&Shelah1989）。然而，不可达的Reflecting基数通常不是Mahlo
　　weaklycompact基数
　　在数学中，weaklycompact基数是Erdős&Tarski(1961)引入的某种基数；weaklycompact基数是大基数，这意味着不能从集合论的标准公理证明它们的存在。（塔斯基最初称它们为“不是非常紧凑”的基数。）
　　形式上，基数κ被定义为弱紧緻，如果它是不可数的并且对于每个函数f:[κ]2→{0,1}有一组基数κ对于f是齐次的。在这种情况下，[κ]2表示κ的2元素子集的集合，并且κ的子集S对于f是齐次的当且仅当所有[S]2映射到0或所有它都映射到1.
　　“弱紧緻”这个名称是指如果一个基数是弱紧緻的，那麽某种相关的不定式语言满足紧緻定理的一个版本；见下文。
　　每个弱紧緻基数都是反射基数，也是反射基数的极限。这也意味着弱紧緻基数是Mahlocardinals，并且小于给定弱紧緻基数的Mahlocardinals的集合是平稳的。
　　等效
　　以下等价于任何不可数基数κ：
　　κ是弱紧緻的。
　　对于每个λ<κ、自然数n≥2和函数f:[κ]n→λ，有一组基数κ对于f是齐次的。（德雷克1974年，第7章定理3.5）
　　κ是不可达的，并且具有树属性，也就是说，每棵高度为κ的树都具有大小为κ的级别或大小为κ的分支。
　　基数κ的每个线性顺序都具有顺序类型κ的升序或降序。
　　κ是Π1/1-Indescribable。
　　κ具有扩展属性。换句话说，对于所有U⊂Vκ存在一个传递集X，其中κ∈X和一个子集S⊂X，使得(Vκ,∈,U)是(X,∈,S)的基本子结构.在这裡，U和S被视为一元谓词。
　　对于κ的子集的基数κ的每个集合S，存在一个决定S的非平凡κ-完全滤波器。
　　κ是κ-可展开的。
　　κ是不可达的，无限语言Lκ,κ满足弱紧緻性定理。
　　κ是不可达的，无限语言Lκ,ω满足弱紧緻性定理。
　　κ是不可达的并且对于每个传递集M与κ的基数κ∈M,<κM⊂M,并且满足足够大的ZFC片段,有一个基本的嵌入j从M到传递集N基数κ使得<κN⊂N,有临界点crit(j)=κ。（豪瑟1991年，定理1.3）
　　一种语言Lκ,κ被称为满足弱紧緻性定理，如果当Σ是基数最多为κ的一组句子并且每个少于κ元素的子集都有一个模型，那麽Σ有一个模型。强紧凑基数以类似的方式定义，而不限制句子集的基数。
　　Indescribable基数
　　在数学中，QIndescribable基数是某种难以用某种语言Q描述的大基数。有许多不同类型的Indescribable的基数对应于不同的语言选择Q。它们是由Hanf&Scott(1961)介绍的。
　　基数κ称为Π米_
　　-Indescribable如果对于每个Πm命题φ，并且设置A⊆Vκ与(Vκ+n,∈,A)⊧φ存在一个α<κ与(Vα+n,∈,A∩Vα)⊧φ。此处查看具有m-1量词交替的公式，其中最外层的量词是通用的。Σ米_
　　-Indescribable的基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于A）的优势，也无法通过任何具有m-1量词交替的n+1阶逻辑公式将κ与较小的基数区分开（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。
　　如果基数κ是Π，则称它是完全Indescribable的米_
　　-对于所有正整数m和n都Indescribable。
　　如果α是一个序数，则基数κ称为α-Indescribable的，如果对于每个公式φ和Vκ的每个子集U使得φ(U)在Vκ+α中成立，有一个λ<κ使得φ(U∩Vλ)在Vλ+α中成立。如果α是无限的，那麽α-Indescribable的序数是完全Indescribable的，如果α是有限的，它们与Π相同αω_-Indescribable的序数。α-Indescribable性意味着α<κ，但是当α≥κ时，有一个基数的替代概念是有意义的：存在λ<κ和β，使得φ(U∩Vλ)在Vλ+β中成立。
　　等效条件
　　一个基数是不可访问的当且仅当它是Π0n-对于所有正整数n都Indescribable，等效地当它是Π02-无法描述，如果它是Σ11-无法形容。Π11-Indescribable基数与弱紧緻基数相同。
　　如果V=L，则对于自然数n>0，不可数基数是Π1-Indescribable的当且仅当它是(n+1)-平稳的。
　　大基数层次结构中的关係
　　基数是Σ1n+1-Indescribable的当且仅当它是Π1-Indescribable。Π的性质1
　　-Indescribable的是Π1n+1.对于m>1，有Π的性质mn_-Indescribable的是Σmn_和是Σ的性质mn_-Indescribable的是Πmn_.因此，对于m>1，每个基数要么是Πmn+1-Indescribable或Σmn+1-indescribable既是Πmn_-Indescribable和Σmn_-Indescribable，并且它下面的一组这样的基数是静止的。一致性强度为Σmn_-Indescribable基数低于Πmn_-Indescribable，但对于m>1，它与ZFC一致，即最小的Σmn_-Indescribable的存在并且在最小的Π之上mn_-Indescribable基数（这由ZFC与Π的一致性证明mn_-Indescribable基数和一个Σmn_-上面Indescribable基数）。可测量的基数是Π21-Indescribable，但最小的可测量基数不是Σ21-无法形容。但是，假设选择，在任何可测量的基数之下都有许多完全无描述的基数。
　　完全Indescribable的基数在可构造宇宙和其他规范内部模型中仍然完全Indescribable，对于Π也是如此mn_和Σmn_Indescribable。
　　Unfoldable基数
　　在数学中，可展开基数是某种大基数。
　　形式上，基数κ是λUnfoldable的当且仅当对于ZFC的基数κ的每个传递模型M负幂集使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，有将M的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为κ且j(κ)≥λ。
　　一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-Unfoldable的。
　　一个基数κ是强λUnfoldable的当且仅当对于每个ZFC负幂集的基数κ的传递模型M使得κ在M中并且M包含其所有长度小于κ的序列，存在一个非-将M的平凡基本嵌入j到传递模型“N”中，其中j的临界点为κ，j(κ)≥λ，并且V(λ)是N的子集。不失一般性，我们也可以要求N包含所有长度为λ的序列。
　　同样，一个基数是强Unfoldable的当且仅当它对于所有λ都是强λ-Unfoldable。
　　这些性质本质上是强和超紧基数的较弱版本，与V=L一致。许多与这些基数相关的定理都可以推广到它们的可展开或强展开对应物。例如，强展开的存在意味着适当强迫公理的稍弱版本的一致性。
　　Ramsey基数是可展开的，并且在L中将是强展开的。然而，它可能无法在V中强展开。
　　在L中，任何可展开的基数都是强可展开的；因此可折叠和强可折叠具有相同的一致性强度。
　　基数k是κ-强可展开的，并且κ-Unfoldable，当且仅当它是弱紧緻的。一个κ+ω-unfoldable基数是完全Indescribable的，并且前面是一组完全不可描述的固定基数。
　　Shrewd基数
　　在数学中，Shrewd基数是由（Rathjen1995）引入的某种大基数，扩展了Indescribable基数的定义。
　　对于序数λ，基数κ称为λ-shrewd，如果对于每个命题φ，并且设置A⊆Vκ与(Vκ+λ,∈,A)⊧φ存在一个α,λ'<κ与(Vα+λ',∈,A∩Vα)⊧φ。如果它对于每个λ[1]（定义4.1）（包括λ>κ）都是λ-shrewd，则称为shrewd。
　　这个定义将Indescribable性的概念扩展到超限水平。对于任何序数μ<λ，λShrewd基数也是μShrewd的。（推论4.3）Shrewdness由MichaelRathjen开发，作为他对Π12-comprehension的序数分析的一部分。它本质上是可接纳序数稳定性性质的非递归模拟。
　　更一般地，基数κ被称为λ-Πm-shrewd如果对于每个Πm命题φ，并且设置A⊆Vκ与(Vκ+λ,∈,A)⊧φ存在一个α,λ'<κ与(Vα+λ',∈,A∩Vα)⊧φ。[1]（定义4.1）Πm是Lévy层次结构的级别之一，简而言之，看一下具有m-1量词交替的公式，最外面的量词是通用的。
　　对于有限的n，一个n-Πm-精明的基数与一个Πmn-不可描述的基数是一样的。
　　如果κ是一个Subtle基数，那麽κ-srewd基数的集合在κ中是静止的。（引理4.6）Rathjen没有说明Subtle基数与可展开的基数相比如何。
　　λ-shrewdness是Drake中定义的λ-Indescribable性的改进版本；这个基本属性的不同之处在于反射的子结构必须是(Vα+λ,∈,A∩Vα)，使得基数κ不可能是κIndescribable的。此外，单调性特性也丢失了：对于某些序数α<λ，λ-Indescribable的基数可能无法成为α-Indescribable的。