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　　Mahlo基数
　　在数学中，Mahlo基数是某种大基数。Mahlo基数首先由PaulMahlo(1911,1912,1913)描述。与所有大基数一样，ZFC无法证明这些Mahlo基数变种存在（假设ZFC是一致的）。
　　一个基数κ被称为强Mahlo如果κ是强不可达且集合U={λ<κ∣λisstronglyinaccessible}在κ中是静止的。
　　基数κ被称为弱Mahlo如果κ是弱不可达且弱不可达基数集小于κ是静止的κ.
　　“Mahlo基数”一词现在通常意味着“强Mahlo基数”，儘管Mahlo最初考虑的大基数是弱Mahlo基数。
　　Mahlo基数的最小充分条件
　　如果κ是极限序数并且小于κ的规则序数集在κ中是静止的，则κ是弱Mahlo。
　　证明这一点的主要困难是证明κ是规则的。我们将假设它不是规则的，并构造一个clubset，它给我们一个μ，使得：
　　μ=cf(μ)<cf(κ)<μ<κ这是一个矛盾。
　　如果κ不规则，则cf(κ)<κ。我们可以选择一个严格递增且连续的cf(κ)-序列，该序列以cf(κ)+1开始，并以κ为极限。该序列的限制将是κ中的clubset。所以在这些限制中必须有一个规则的μ。所以μ是cf(κ)序列的初始子序列的极限。因此，它的共定性小于κ的共定性，同时又大于它；这是一个矛盾。因此，κ不规则的假设一定是错误的，即κ是规则的。
　　下面不能存在静止集ℵ₀具有所需属性，因为{2,3,4,...}是ω中的俱乐部，但不包含正则序数；所以κ是不可数的。这是常规大基数的常规限制；所以它是弱不可达的。然后使用低于κ的不可数极限基数集作为clubset，以表明可以假设静止集由弱不可达集组成。
　　如果κ是弱Mahlo并且也是一个强极限，那麽κ是Mahlo。
　　κ是弱不可达和强限制，所以它是强不可达的。
　　我们证明了低于κ的不可数强极限基数的集合是κ中的clubset。令μ0为阈值和ω1中的较大者。对于每个有限n，令μn+1=2μn小于κ，因为它是一个强极限基数。那麽它们的极限是一个强极限基数，并且根据其规律性小于κ。不可数强极限基数的极限也是不可数强极限基数。所以它们的集合是κ中的clubset。将该clubset与小于κ的弱不可达基数的静止集相交，以获得小于κ的强不可达基数的静止集。
　　示例：显示Mahlo基数κ是κ不可达的（超不可达）
　　术语“超不可达”是模棱两可的。在本节中，如果基数κ是κ不可达的（与更常见的1不可达的含义相反），则它被称为超不可达。
　　假设κ是Mahlo。我们通过对α的超限归纳来证明对于任何α≤κ，κ是α不可达的。因为κ是Mahlo，所以κ是不可达的；因此0-不可达，这是同一回事。
　　如果κ是α不可达的，那麽存在任意接近κ的β不可达（对于β<α）。考虑大于某个阈值但小于κ的此类β-不可达的同时限制的集合。它在κ中是无界的（想像在β<αω次的情况下旋转通过β不可达项，每次选择一个更大的基数，然后按规律取小于κ的极限（如果α≥κ则失败））。它是封闭的，所以它是κ中的clubset。因此，根据κ的Mahlo-ness，它包含一个不可达的。那个不可达实际上是一个α-不可访问。所以κ是α+1-不可达的。
　　如果λ≤κ是极限序数并且κ对于所有α<λ是α不可达的，那麽对于某些α<λ，每个β<λ也小于α。所以这个案子是微不足道的。特别是，κ是κ不可达的，因此是超不可达的。
　　为了证明κ是超不可达的极限，因此是1-超不可达，我们需要证明对于每个α<μ都是α不可达的基数μ<κ的对角线集是κ中的clubset。选择一个高于阈值的0-inaccessible，称之为α0。然后选择一个α0-inaccessible，称它为α1.不断重複这一点并在极限处取极限，直到达到一个固定点，称之为μ。那麽μ具有所需的属性（对于所有α<μ的α不可访问的同时限制）并且按规律小于κ。此类基数的极限也有性质，所以它们的集合是κ中的clubset。根据κ的Mahlo-ness，在这个集合中有一个不可达基数并且它是超不可达的。所以κ是1-hyper-inaccessible。我们可以将这个相同的clubset与小于κ的静止集相交，得到一组小于κ的超不可达的静止集。
　　κ是α超不可达的证明的其馀部分模彷了它是α不可访问的证明。所以κ是超超不可达的，等等。
　　α-Mahlo、hyper-Mahlo和极大Mahlo基数
　　术语α-Mahlo是模棱两可的，不同的作者给出了不等价的定义。一个定义是，对于某个序数α，基数κ被称为α-Mahlo，如果κ是强不可达的，并且对于每个序数β<α，低于κ的β-Mahlo基数集在κ中是固定的。然而，条件“κisstronginaccessible”有时会被其他条件代替，例如“κisregular”或“κisweaklyinaccessible”或“κisMahlo”。我们可以定义“hyper-Mahlo”、“α-hyper-Mahlo”、“hyper-hyper-Mahlo”、“weaklyα-Mahlo”、“weaklyhyper-Mahlo”、“weaklyα-hyper-Mahlo”等等上，通过类比对不可达基数的定义，例如，如果基数κ是κ-Mahlo，则称为超-Mahlo。
　　基数κ极大地是Mahlo或κ+-Mahlo当且仅当它不可达并且在Mahlo运算下闭合的κ的幂集上存在正常（即非平凡且在对角线交点下闭合）κ-完全滤波器，它将序数集S映射到{α∈S:α具有不可数的共尾性并且S∩α在α中是平稳的}
　　如果我们将宇宙替换为内部模型，则保留了不可接近、Mahlo、弱Mahlo、α-Mahlo、极大Mahlo等特性。
　　每个反射基数都比一个大的Mahlo严格地具有更多的一致性强度，但不可达的反射基数不是一般的Mahlo
　　Mahlo
　　如果X是一类序数，我们可以形成一类新的序数M(X)，由不可数共尾的序数α组成，使得α∩X在α中是静止的。这种操作M称为Mahlo操作。它可以用来定义Mahlo基数：例如，如果X是常规基数的类，则M(X)是弱Mahlo基数的类。α具有不可数共尾性的条件保证了α的封闭无界子集在交集下是封闭的，从而形成一个过滤器；在实践中X的元素通常已经有不可数的共定性，在这种情况下，这个条件是多馀的。一些作者添加了α在X中的条件，这在实践中通常没有什麽区别，因为它通常是自动满足的。
　　对于固定的规则不可数基数κ，Mahlo运算会在κ的所有子集的布尔代数上以非平稳理想为模进行运算。
　　Mahlo操作可以如下进行超限迭代：
　　M0(X)=X
　　Mα+1(X)=M(Mα(X))
　　如果α是极限序数，则Mα(X)是Mβ(X)的交集，因为β<α
　　这些迭代的Mahlo操作产生α-Mahlo基数类，从强不可达基数类开始。
　　也可以通过定义对这个过程进行对角化
　　MΔ(X)是在Mβ(X)中对于β<α的序数α的集合。
　　当然，这个对角化过程也可以迭代。对角化Mahlo运算产生超Mahlo基数，依此类推。
　　Mahlo基数和反射原理
　　公理F是关于序数上的每个正规函数都有一个固定不动点的陈述。（这不是一阶公理，因为它量化了所有正规函数，因此可以将其视为二阶公理或公理方案。）如果基数上的每个正规函数都有一个正则，则称为Mahlo不动点，所以公理F在某种意义上说所有序数的类是Mahlo。基数κ是Mahlo当且仅当公理F的二阶形式在Vκ中成立。公理F反过来等价于以下陈述：对于任何带参数的公式φ，存在任意大的不可达的序数α，使得Vα反映φ（换句话说，φ在Vα中成立）当且仅当它在整个宇宙中成立）