23

　　理发店悖论
　　理发店悖论是刘易斯卡罗尔在一篇题为“逻辑悖论”的三页文章中提出的，该文章发表在1894年7月的《心灵》杂誌上。这个名字来自卡罗尔在文章中用来说明悖论的“装饰性”短篇小说。它以前在他的写作和通信中以几种不同的形式存在，并不总是涉及理发店。卡罗尔将其描述为“假设理论中一个非常现实的困难”。[1]从现代逻辑的观点来看，这与其说是一个悖论，不如说是一个简单的逻辑错误。现在主要作为代数逻辑方法发展的一个插曲引起人们的兴趣当这些还没有被广泛理解时（即使在逻辑学家中），儘管这个问题继续与蕴涵和模态逻辑理论相关的讨论。
　　悖论
　　在故事中，乔叔叔和吉姆叔叔正在走向理发店。他们解释说，在这家店裡生活和工作的三个理发师——艾伦、布朗和卡尔——他们中的一些人或全部可能都在。我们得到了两条信息，可以从中得出结论。首先，这家店肯定开着，所以至少有一个理发师在。其次，据说艾伦非常紧张，所以除非布朗和他一起去，否则他永远不会离开这家店。
　　现在，根据吉姆叔叔的说法，卡尔是一位非常出色的理发师，他想知道卡尔是否会在那里为他剃须。乔叔叔坚持认为卡尔一定会参加，并声称他可以从逻辑上证明这一点。吉姆叔叔要求这个证明。
　　乔叔叔的论点如下：
　　假设卡尔出局了。我们将证明这个假设会产生矛盾。如果卡尔出局，那麽我们就知道：“如果艾伦出局，那麽布朗进场”，因为必须有人在“看管”。但是，我们也知道，每当艾伦出去时，他都会带着布朗，所以一般来说，“如果艾伦出去了，那麽布朗就出去了”。我们得出的这两种说法是不相容的，因为如果艾伦出局，那麽布朗就不能同时处于（根据其中一个）和出局（根据另一个）。有一个矛盾。因此，我们必须放弃卡尔出局的假设，并得出卡尔必须入局的结论。
　　吉姆叔叔的回答是，这个结论是没有根据的。从这两个“假设”的不相容性中得出的正确结论是，在我们假设卡尔出局的情况下，它们中的假设（艾伦出局）一定是错误的。然后我们的逻辑简单地允许我们得出结论“如果Carr出局，那麽Allen一定会入局”。
　　起源
　　这个悖论源于卡罗尔和他的牛津同事、威克汉姆逻辑学教授约翰库克威尔逊之间的分歧，他们两人长期处于对立状态。卡罗尔与之通信的其他人也讨论了这个问题，并在约翰·维恩、阿尔弗雷德·西奇威克和伯特兰·罗素后来发表的文章中得到了解决其中。库克威尔逊的观点在故事中由乔叔叔的角色代表，他试图证明卡尔必须永远留在店裡。当卡罗尔传播他的私人印刷版本的问题时，其他人也持有同样的观点。正如卡罗尔所指出的，“我在这个奇怪的点上与大约十几个逻辑学家进行了通信；到目前为止，对于C的自由度，意见似乎是平分秋色的”。
　　简化
　　符号
　　阅读原文时，记住以下几点可能会有所帮助：
　　卡罗尔称之为“假设”的东西，现代逻辑学家称之为“逻辑条件”。
　　UncleJoe总结了他的proofreductioadabsurdum，在英语中的意思是“矛盾的证明”。
　　Carroll所称的条件句的protasis现在被称为前件，类似地，脱节现在被称为后件。
　　符号可用于大大简化逻辑语句，例如这个故事中固有的逻辑语句：
　　否定不是不是X¬¬X
　　连词和X和Y∧X∧Y
　　析取或者X或Y∨X∨Y
　　有条件的如果...那麽如果X那麽Y⇒X⇒Y
　　注意：X⇒Y（也称为“蕴涵”）在英语中可以有多种读法，从“XisenoughforY”到“YfollowfromX”。（另见数学符号表。）
　　重述
　　为了帮助更简单地重述卡罗尔的故事，我们将採用以下原子语句：
　　A=艾伦在店裡
　　B=布朗在
　　C=卡尔在
　　因此，例如(¬A∧B)表示“艾伦出局，布朗入局”
　　吉姆叔叔给了我们两个公理：
　　现在店里至少有一位理发师(A∨B∨C)
　　艾伦在没有布朗的情况下永远不会离开商店（¬A⇒¬B）
　　乔叔叔给出了一个证明：
　　假设卡尔不在。H0:¬C
　　给定NOTC，如果艾伦不在，那麽布朗必须在，以满足公理1(A1)。通过H0和A1，¬A⇒B
　　但是公理2(A2)给出了，如果艾伦不在，那麽布朗不在是普遍正确的（如果¬A则¬B总是正确的）通过A2，¬A⇒¬B
　　到目前为止，我们有NOTC产生(NotATHENB)和(NotATHENNotB)。因此¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))
　　乔叔叔声称这些是矛盾的。⊥
　　因此，卡尔必须在。∴C
　　乔叔叔基本上提出了(¬A⇒B)和(¬A⇒¬B)是矛盾的论点，说相同的前件不能导致两个不同的结果。
　　这个所谓的矛盾是乔的“证明”的症结所在。卡罗尔将这种违背直觉的结果呈现为一个悖论，希望能够解决当代的歧义。
　　讨论
　　在现代逻辑理论中，这种情况并不是悖论。暗示法则调和了乔叔叔声称的不相容的假设。该定律指出，“如果X则Y”在逻辑上等同于“X为假或Y为真”（¬X∨Y）。例如，给定语句“如果您按下按钮，则灯亮”，在任何给定时刻，您没有按下按钮或灯亮必须是真的。
　　简而言之，得到的不是¬C产生矛盾，只是它使A成为必然，因为¬A是实际产生矛盾的东西。
　　在这种情况下，这意味着卡尔不必在场，但如果他不在场，艾伦必须在场。
　　化简为公理1
　　将暗示法则应用于违规条件表明，与其相互矛盾，不如简单地重申一个事实，即由于商店是开放的，艾伦、布朗或卡尔中的一个或多个在，而另一个几乎没有限制谁可以或不能在店裡。
　　为了看到这一点，让我们攻击Jim的大“矛盾”结果，主要是通过反复应用蕴涵定律。首先让我们分解两个有问题的条件之一：
　　“如果艾伦出局，那麽布朗出局”(¬A⇒¬B)
　　“艾伦上场或布朗下场”(A∨¬B)
　　将其代入
　　“如果卡尔出局，那麽如果艾伦也出局，那麽布朗就在，如果艾伦出局，那麽布朗就出局。”¬C⇒((¬A⇒B)∧(¬A⇒¬B))
　　这会产生，随着蕴含法则的持续应用，
　　“如果卡尔出局，那麽如果艾伦也出局，布朗在场，要么艾伦在场，要么布朗出局。”¬C⇒((¬A⇒B)∧(A∨¬B))
　　“如果卡尔出局，那麽这两个都是真的：艾伦在场或布朗在场，艾伦在场或布朗出局。”¬C⇒((A∨B)∧(A∨¬B))
　　“卡尔在，或者这两个都是真的：艾伦在，或者布朗在，艾伦在，或者布朗不在。”C∨((A∨B)∧(A∨¬B))
　　注意：C∨((A∨B)∧(A∨¬B))可以简化为C∨A
　　因为((A∨B)∧(A∨¬B))只是A
　　最后，（在右边我们分佈在括号上）
　　“卡尔在，或者艾伦在，或者布朗在，并且卡尔在，或者艾伦在，或者布朗不在。”C∨(A∨B)∧C∨(A∨¬B)
　　“总的来说，卡尔在或艾伦在或布朗在，并且包括在内，卡尔在或艾伦在或布朗不在。”(C∨A∨B)∧(C∨A∨¬B)
　　因此，两个同时成立的陈述是：“艾伦、布朗或卡尔中的一个或多个在”，这只是公理1，以及“卡尔在或艾伦在或布朗不在”。很明显，这两种说法可以同时成立的一种方式是在艾伦所在的情况下（因为艾伦的房子是理发店，布朗在某个时候离开了理发店）。
　　描述(X⇒Y)⇔(¬X∨Y)如何将其解析为一组有效陈述的另一种方法是将Jim的陈述“如果艾伦也出局……”改写为“如果卡尔出局并且艾伦出局……”出然后布朗在”（（¬C∧¬A）⇒B）。
　　显示条件兼容
　　这两个条件不是逻辑对立的：通过矛盾证明，Jim需要显示¬C⇒(Z∧¬Z)，其中Z恰好是一个条件。
　　(A⇒B)的反面是¬(A⇒B)，它使用德摩根定律解析为(A∧¬B)，这与(¬A∨¬B)完全不同，后者是A⇒¬B减少到的。
　　Carroll预见到了对这两个条件句“兼容性”的这种混淆，他在故事的结尾提到了它。他试图通过争辩说“如果卡尔在……”这一暗示的protasis和apodosis被“错误地划分”来澄清这个问题。然而，蕴含法则的应用完全消除了“如果……”（简化为析取），因此不存在protasis和apodosis并且不需要反论点。