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　　1+1+1+1+⋯
　　在数学中，1+1+1+1+⋯，也写成∑n=1∞n0,∑n=1∞1n，或者简单地说∑n=1∞1,是一个发散级数，这意味着它的部分和序列不会收敛到实数的极限。序列1n可以被认为是一个公比为1的几何级数。与其他有理比的几何级数不同（除了-1），它既不收敛于实数，也不收敛于某些p的p进数。在扩展实数线的背景下
　　∑n=1∞1=+∞
　　因为它的部分和序列单调无限制地增加。
　　当n0之和出现在物理应用中时，它有时可以被zeta函数正则化解释为黎曼zeta函数s=0处的值：
　　ζ(s)=∑n=1∞1ns=11−21−s∑n=1∞(−1)n+1ns.
　　然而，上面给出的两个公式在零处无效，但解析延拓是。
　　ζ(s)=2sπs-1sin⁡(πs2)Γ(1-s)ζ(1-s),
　　使用这个得到（假设Γ(1)=1），
　　ζ(0)=1πlims→0sin⁡(πs2)ζ(1−s)=1πlims→0(πs2−π3s348+...)(−1s+...)=−12
　　其中ζ(s)关于s=1的幂级数展开如下，因为ζ(s)在那裡有一个简单的馀数极点。在这个意义上1+1+1+1+⋯=ζ(0)=-1/2.
　　EmilioElizalde介绍了其他人对该系列的评论：
　　在短短不到一年的时间裡，两位杰出的物理学家A.Slavnov和F.Yndurain在巴塞罗那就不同的主题举办了研讨会。值得注意的是，在这两个演讲中，演讲者在某个时候向听众发表了这样的话：“众所周知，1+1+1+⋯=-1/2。暗示也许：如果你不知道这一点，继续听也没用。
　　1-2+3-4+⋯
　　在数学中，1-2+3-4+···是一个无限级数，其项是连续的正整数，给定交替的符号。使用sigma求和符号，序列的前m项的总和可以表示为
　　∑n=1Mn(-1)n-1
　　无穷级数发散，这意味着它的部分和序列(1,-1,2,-2,...)不趋向于任何有限极限。儘管如此，在18世纪中叶，莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）写下了他所承认的自相矛盾的方程式：
　　1-2+3-4+⋯=14.
　　这个方程的严格解释要到很久以后才会出现。从1890年开始，埃内斯托·切萨罗(ErnestoCesàro)、埃米尔·博雷尔(ÉmileBorel)和其他人研究了将广义和分配给发散级数的明确方法——包括对欧拉尝试的新解释。许多这些求和性方法很容易分配给1-2+3-4+...一个“值”1/4.Cesàro求和是少数不求和1−2+3−4+...的方法之一，因此该系列是需要稍强方法（例如Abelsummation）的示例。
　　系列1-2+3-4+...与Grandi的系列1-1+1-1+...密切相关。欧拉将这两个视为更一般的序列1-2n+3n-4n+...的特殊情况，其中n=1和n=0分别。这一研究方向扩展了他在巴塞尔问题上的工作，并导致了现在被称为狄利克雷eta函数和黎曼zeta函数的函数方程。
　　分歧
　　系列的项(1,-2,3,-4,...)不接近0；因此1-2+3-4+...与项test不同。散度也可以直接从定义中看出：一个无穷级数收敛当且仅当部分和的序列收敛到limit，在这种情况下该limit是无穷级数的值。1−2+3−4+...的部分和是：
　　1、
　　1-2=-1,
　　1-2+3=2,
　　1-2+3-4=-2,
　　1-2+3-4+5=3,
　　1-2+3-4+5-6=-3,
　　...
　　部分和的序列表明该系列不会收敛到特定数字：对于任何提出的极限x，都存在一个点，超过该点后续部分和都在区间[x-1,x+1]之外，所以1−2+3−4+...发散。
　　部分和只包括每个整数一次——如果计算空部分和，即使是0——从而建立了集合的可数性Z整数。
　　求和启发式
　　稳定性和线性
　　由于项1,-2,3,-4,5,-6,...遵循一个简单的模式，序列1-2+3-4+...可以通过移位和逐项来操作加法以产生一个数值。如果将s=1−2+3−4+...写成一些普通数s是有意义的，那麽以下操作支持s=1⁄4：
　　4s=(1-2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)+(1−2+3−4+⋯)=(1−2+3−4+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+(1−2)+(3−4+5−6⋯)=(1−2+3−4+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)+1+(−2+3−4+5+⋯)−1+(3−4+5−6⋯)=1+(1−2+3−4+⋯)+(−2+3−4+5+⋯)+(−2+3−4+5+⋯)+(3−4+5−6⋯)=1+[(1−2−2+3)+(−2+3+3−4)+(3−4−4+5)+(−4+5+5−6)+⋯]=1+[0+0+0+0+⋯]4s=1
　　所以s=14.
　　虽然1-2+3-4+...没有通常意义上的和，但方程s=1-2+3-4+...=如果要定义这样的总和，可以支持1⁄4作为最自然的答案。发散级数的“总和”的广义定义称为求和法或求和法。有许多不同的方法，希望它们共享一些普通求和的性质。上述操作实际证明如下：给定任何线性且稳定并对序列1-2+3-4+...求和，它产生的总和是1⁄4。此外，由于
　　2s=(1-2+3-4+⋯)+(1-2+3-4+⋯)=1+(-2+3-4+⋯)+1-2+(3-4+5⋯)=0+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+⋯2s=1-1+1-1⋯
　　这种方法还必须将Grandi级数相加为1−1+1−1+...=1⁄2。
　　柯西积
　　1891年，埃内斯托·切萨罗（ErnestoCesàro）表示希望将发散级数严格引入微积分，他指出：“已经写出(1−1+1−1+...)2=1−2+3−4+...并断言两边都等于1⁄4。”对于切萨罗来说，这个方程是他前一年发表的一个定理的应用，这是可和发散级数历史上的第一个定理。他的求和方法的详细信息如下;中心思想是1-2+3-4+...是1-1+1-1+...与1-1+1-1+...的柯西积（离散卷积）。
　　两个无限级数的柯西积即使在它们都发散的情况下也被定义。在an=bn=(−1)n的情况下，柯西积的项由有限对角线和给出
　　Cn=∑ķ=0nAķbn-ķ=∑ķ=0n(−1)k(−1)n−k=∑k=0n(−1)n=(−1)n(n+1).
　　然后是产品系列
　　∑n=0∞(-1)n(n+1)=1-2+3-4+⋯.
　　因此，考虑两个系列的Cauchy积的求和方法——并将总和1/2分配给系列1-1+1-1+...也将分配给系列1-2+3-4+。..总和1/4。根据上一节的结果，这意味着1−1+1−1+...和1−2+3−4+...的可和性等价于线性、稳定和尊重Cauchy的方法产品。
　　Cesàro定理就是一个微妙的例子。级数1−1+1−1+...在最弱的意义上是Cesàro-summable，称为(C,1)-summable，而1−2+3−4+...需要Cesàro定理的更强形式,是(C,2)-可和的。由于Cesàro定理的所有形式都是线性且稳定的，[7]和的值如上计算。
　　具体方法
　　切萨罗和霍尔德
　　要找到1−2+3−4+...的(C,1)Cesàro和，如果存在，则需要计算级数部分和的算术平均值。部分金额为：
　　1,-1,2,-2,3,-3,...,
　　这些部分和的算术平均值是：
　　1,0,2⁄3,0,3⁄5,0,4⁄7,....
　　这个均值序列不会收敛，因此1−2+3−4+...不是Cesàro可和的。
　　Cesàro求和有两个众所周知的推广：概念上更简单的是自然数n的(H,n)方法序列。(H,1)和是Cesàro求和，更高的方法重複计算均值。上面，偶数均值收敛到1⁄2，而奇数均值均等于0，因此均值的均值收敛于0的平均值并且1⁄2，即1⁄4。所以1−2+3−4+...是(H,2)可求和为1⁄4。
　　“H”代表OttoHölder，他在1882年首次证明了数学家现在认为的Abel求和与(H,n)求和之间的联繫；1-2+3-4+...是他的第一个例子。事实上1⁄4是1−2+3−4+...的(H,2)和...保证它也是Abel和；这也将在下面直接证明。
　　Cesàro求和的另一个常用公式化概括是(C,n)方法的序列。已经证明(C,n)求和和(H,n)求和总是给出相同的结果，但它们具有不同的历史背景。1887年，Cesàro几乎说明了(C,n)求和的定义，但他只给出了几个例子。特别是，他将1−2+3−4+...相加，得到1⁄4通过一种可以改写为(C,n)但当时没有理由的方法。他在1890年正式定义了(C,n)方法，以陈述他的定理，即(C,n)-可和级数和(C,m)-可和级数的柯西积是(C,m+n+1)-可累加。
　　阿贝尔求和
　　在1749年的一份报告中，LeonhardEuler承认该级数存在分歧，但仍准备对其进行总结：
　　...当说这个系列1-2+3-4+5-6等的总和是1⁄4，这一定显得自相矛盾。因为通过添加这个系列的100项，我们得到-50，但是，101项的总和得到+51，这与1⁄4并且当增加项数时变得更大。但我之前已经註意到，有必要赋予sum一个更广泛的含义......
　　欧拉多次提出对“总和”这个词的概括。在1−2+3−4+...的情况下，他的想法类似于现在所谓的Abelsummation：
　　...毫无疑问，这个系列1-2+3-4+5等的总和是1/4；因为它来自公式的扩展1⁄(1+1)2，其价值无可争辩1⁄4。通过考虑一般级数1-2x+3x2-4x3+5x4-6x5+&c，这个想法变得更加清晰。扩展表达式时出现的1⁄(1+x)2，在我们设置x=1之后，这个级数确实等于。
　　有很多方法可以看到这一点，至少对于绝对值|x|<1,欧拉是对的
　　1-2X+3X2-4X3+⋯=1(1+X)2.
　　可以採用右手边的泰勒展开式，或者对多项式应用正式的长除法过程。从左侧开始，可以遵循上面的一般启发式方法，尝试乘以(1+x)两次或对几何级数1-x+x2-...进行平方。欧拉似乎还建议逐项区分后一个系列。
　　在现代观点中，生成函数1-2x+3x2-4x3+...没有在x=1处定义函数，因此不能简单地将值代入结果表达式。由于该函数是为所有|x|<1，当x接近1时，仍然可以取极限，这就是Abel和的定义：
　　limX→1-∑n=1∞n(−x)n−1=limx→1−1(1+x)2=14.
　　欧拉和博雷尔
　　欧拉在该系列中应用了另一种技术：欧拉变换，这是他自己的发明之一。要计算欧拉变换，首先要从构成交替序列的正项序列开始——在本例中为1,2,3,4,...。该序列的第一个元素被标记为0。
　　下一个需要1、2、3、4、...之间的前向差异序列；这只是1,1,1,1,...。这个序列的第一个元素被标记为Δa0。欧拉变换也依赖于差异的差异和更高的迭代次数，但是1,1,1,1,...之间的所有前向差异都是0。1-2+3-4+...的欧拉变换是然后定义为
　　12A0-14ΔA0+18Δ2A0-⋯=12-14.
　　在现代术语中，有人说1−2+3−4+...是欧拉可和为1⁄4。
　　Euler可和性也意味着Borel可和性，具有相同的总和值，与一般情况一样。
　　天平分离
　　Saichev和Woyczyński到达1−2+3−4+...=1⁄4通过仅应用两个物理原理：无穷小松弛和尺度分离。准确地说，这些原则导致他们定义了一个广泛的“φ-求和方法”系列，所有这些方法都将系列相加为1⁄4:
　　如果φ(x)是一阶和二阶导数在(0,∞)上连续且可积的函数，则φ(0)=1且φ(x)和xφ(x)在+∞处的极限是都是0，然后是
　　limδ→0∑M=0∞(-1)M(M+1)φ(δM)=14.
　　这个结果概括了Abel求和，通过让φ(x)=exp(−x)来恢復。一般陈述可以通过将级数中的项在m上配对并将表达式转换为黎曼积分来证明。对于后一步，1-1+1-1+...的相应证明应用了平均值定理，但这裡需要泰勒定理的更强的拉格朗日形式。
　　概括
　　1−1+1−1+...的三重柯西积是1−3+6−10+...，即三角形数的交替级数；它的阿贝尔和欧拉和是1⁄8。1−1+1−1+...的四倍柯西积是1−4+10−20+...，四面体数的交替级数，其阿贝尔和为1⁄16。
　　1−2+3−4+...在稍微不同的方向上的另一个推广是系列1−2n+3n−4n+...用于其他n值。对于正整数n，这些级数具有以下Abel和:
　　1-2n+3n-⋯=2n+1-1n+1Bn
　　其中Bn是伯努利数。对于偶数n，这减少到
　　1-22ķ+32ķ-⋯=0,
　　这可以解释为说明黎曼zeta函数的负偶数值为零。这笔款项在1826年成为NielsHenrikAbel特别嘲笑的对象：
　　发散系列完全是魔鬼的作品，敢于在它们身上找到任何证据是一种耻辱。如果使用它们，人们可以从它们中得到想要的东西，而正是它们造成瞭如此多的不快乐和如此多的悖论。谁能想到比这样说更骇人听闻的事
　　0=1-22n+32n-42n+等等。
　　其中n是一个正数。朋友们，这裡有一些可笑的东西。
　　Cesàro的老师EugèneCharlesCatalan也贬低了分歧系列。在加泰罗尼亚语的影响下，Cesàro最初将1−2n+3n−4n+...的“常规公式”称为“荒谬的等式”，并在1883年表达了当时的典型观点，即公式是错误的但在某种程度上仍然有用。最后，在他1890年的Surlamultiplicationdesséries中，切萨罗採用了一种从定义开始的现代方法。
　　该系列还研究了n的非整数值；这些构成了Dirichleteta函数。Euler研究与1−2+3−4+...相关的级数的部分动机是eta函数的函数方程，它直接导致了Riemannzeta函数的函数方程。Euler已经因在正偶数处找到这些函数的值（包括巴塞尔问题）而闻名，他正试图在正奇数处找到值（包括Apéry常数）)也是一个今天仍然难以捉摸的问题。尤其是eta函数更容易用Euler方法处理，因为它的Dirichlet级数是Abel处处可和的；zeta函数的狄利克雷级数更难在它发散的地方求和。例如，zeta函数中1−2+3−4+...的对应物是非交替级数1+2+3+4+...，它在现代物理学中有很深的应用，但需要更强大的方法来求和。