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　　0.999...
　　在数学中，0.999...（也写为0.9，在重複十进製表示法中）表示由小数点后无休止的9序列组成的重複小数。这个重複的小数表示不小于序列中每个小数的最小数字（0.9,0.99,0.999,...）；也就是这个数列的上确界。这个数字等于1。换句话说，“0.999...”不是“几乎完全”或“非常、非常接近但不完全”1，而是“0.999...”和“1”
　　从直观的论证到数学上严格的证明，有很多方法可以证明这种相等性。使用的技术取决于目标受众、背景假设、历史背景和实数的首选发展，通常定义0.999...的系统。在其他系统中，0.999...可以具有相同的含义、不同的定义或未定义。
　　更一般地，每个非零终止小数都有两个相等的表示（例如，8.32和8.31999...），这是所有位置数字系统表示的属性，无论base是什麽。对终止十进製表示的功利主义偏好助长了它是唯一表示的误解。由于这个和其他原因——例如依赖于非基本技术、属性或学科的严格证明——一些人会发现相等性足以违反直觉，以至于他们质疑或拒绝它。这一直是数学教育中几项研究的主题。
　　初级证明
　　方程0.999...=1有一个基本证明，它仅使用（有限）十进制数的比较和加法的数学工具，没有参考更高级的主题，如级数、极限、实数的正式构造等。证明是Stillwell(1994,p.42)给出的一个练习，是直观事实的直接形式化，即如果在数轴上绘製0.9、0.99、0.999等在它们和1之间没有空间放置一个数字。符号0.999...的含义是数字轴上位于所有数字0.9、0.99、0.999等右侧的最小点。因为有最终在1和这些数字之间没有空间，点1必须是这个最小点，所以0.999...=1。
　　直观的解释
　　如果将0.9、0.99、0.999等放在数轴上，就会立即看到所有这些点都在1的左侧，并且越来越接近1。
　　更准确地说，从0.9到1的距离是0.1=1/10，从0.99到1的距离是0.01=1/102，依此类推。从第n个点（小数点后有n个9s的点）到1的距离是1/10n。
　　因此，如果1不是大于0.9、0.99、0.999等的最小数字，那麽在数轴上就会有一个点位于1和所有这些点之间。该点与1的正距离小于每个整数n的1/10n。在标准数係（有理数和实数）中，对于所有n，没有小于1/10n的正数。这是（一个版本的）阿基米德属性，可以证明在有理数係统中成立。因此，1是大于所有0.9、0.99、0.999等的最小数字，因此1=0.999...。
　　关于完整性的讨论
　　这个论点显示的部分内容是序列0.9、0.99、0.999等的最小上界：大于序列所有项的最小数字。实数係统的公理之一是完备性公理，它指出每个有界序列都有一个最小上界。这个最小上界是定义无限小数展开的一种方式：由无限小数表示的实数是其有限截断的最小上界。这裡的论证不需要假设完整性是有效的，因为它表明这个特定的有理数序列实际上具有最小上界，并且这个最小上界等于一。
　　严谨的证明
　　前面的解释不是证明，因为无法正确定义数字与其表示为数轴上的点之间的关係。为了证明的准确性，数字0.999...9，小数点后有n个九，表示为0.(9)n。因此0.(9)1=0.9,0.(9)2=0.99,0.(9)3=0.999，依此类推。由于1/10n=0.0...01，小数点后有n位，十进制数的加法规则意味着
　　0。(9)n+1/10n=1,
　　和
　　0。(9)n<1,
　　对于每个正整数n。
　　必须证明1是不小于所有0.(9)n的最小数。为此，足以证明，如果一个数x不大于1且不小于全0.(9)n，则x=1。所以让x这样
　　0。(9)n≤X≤1,
　　对于每个正整数n。所以，
　　1-1≤1-X≤1-0。(9)n.
　　其中，使用基本算术和上面建立的第一个等式，简化为
　　0≤1-X≤1/10n.
　　这意味着1和x之间的差小于任何正整数的倒数。因此这个差必须为零，因此x=1;那是
　　0.999…=1.
　　这个证明依赖于这样一个事实，即零是唯一小于所有整数倒数的非负数，或者等效地，没有任何数大于每个整数。这是阿基米德性质，对有理数和实数进行验证。实数可以扩展为数係统，例如超实数，具有无限小的数（infinitesimals）和无限大的数（infinitenumbers）。使用此类系统时，通常不使用符号0.999...，因为没有最小的数字不小于全0.(9)n.（这由0.(9)n≤x<1暗示0.(9)n–1≤2x–1<x<1的事实暗示）。
　　代数论证
　　对平等的过度简化说明是教育学讨论和批评的主题。Byers(2007,p.39)讨论了这样一个论点，即在小学，人们被教导1⁄3=0.333...，因此，忽略所有基本的微妙之处，将这个恆等式“乘以”3得到1=0.999....._他进一步说，这个论点是没有说服力的，因为在等号的含义上存在未解决的歧义；一个学生可能会想，“这肯定不意味着数字1与符号0.999所表示的数字相同......”。拜尔斯遇到的大多数本科数学专业的学生都觉得，虽然0.999...就这一论点而言“非常接近”1，有些人甚至说它“无限接近”，他们还没有准备好说它等于1。Richman(1999)讨论瞭如何“这一论点的力量来自于大多数人被灌输接受第一个方程而不加思考的事实”，但也表明该论点可能导致怀疑论者质疑这一假设。
　　拜尔斯还提出了以下论点。
　　X=0.999…10X=9.999…bymultiplyingby1010x=9+0.999…bysplittingoffintegerpart10x=9+xbydefinitionofx9x=9bysubtractingxx=1bydividingby9
　　不接受第一个论点的学生有时会接受第二个论点，但在Byers看来，仍然没有解决歧义，因此不理解无限小数的表示。Peressini&Peressini(2007)提出了相同的论点，也指出它没有解释相等性，表明这种解释可能涉及无穷大和完整性的概念。Baldwin&Norton(2012)引用Katz&Katz(2010a)也得出结论，在没有正式的限制概念的情况下，基于这些论点来处理身份还为时过早。
　　Richman(1999)也给出了相同的论点，他指出怀疑论者可能会质疑x是否可取消——也就是说，从两边减去x是否有意义。
　　分析证明
　　由于0.999...的问题不影响数学的正式发展，所以可以推迟到证明实分析的标准定理。一个要求是表徵可以用十进製表示法编写的实数，包括一个可选符号、一个或多个数字的有限序列（形成整数部分）、小数分隔符和形成小数部分的数字序列。为了讨论0.999...，整数部分可以概括为b0并且可以忽略负数，因此小数扩展具有形式
　　b0.b1b2b3b4b5….
　　与整数部分不同，小数部分不限于有限多个数字。这是一个位置表示法，例如，数字5in500的贡献是5in50的十倍，而5in0.05的贡献是5in0.5的十分之一。
　　无限系列和序列
　　十进制扩展的一个常见发展是将它们定义为无限级数之和。一般来说：
　　b0.b1b2b3b4…=b0+b1(110)+b2(110)2+b3(110)3+b4(110)4+⋯.
　　对于0.999...可以应用有关几何级数的收敛定理：
　　如果|r|<1然后ar+ar2+ar3+⋯=ar1-r.
　　由于0.999...是这样一个总和，其中a=9和公比r=1⁄10，因此该定理使问题变得简单：
　　0.999…=9(110)+9(110)2+9(110)3+⋯=9(110)1-110=1.
　　这个证明早在1770年就出现在LeonhardEuler的《代数元素》中。
　　几何级数之和本身就是一个比欧拉更早的结果。一个典型的18世纪推导使用了类似于上面给出的代数证明的逐项操作，直到1811年，Bonnycastle的教科书《代数导论》使用这样的几何级数论证来证明在0.999上的相同操作是正确的。.19世纪对这种自由求和方法的反应导致了今天仍然占主导地位的定义：级数的和被定义为其部分和的序列的极限。该定理的相应证明显式地计算该序列；它可以在任何基于证明的微积分或分析介绍中找到。
　　一个序列(x0,x1,x2,...)如果距离|x-xn|随着n的增加，变得任意小。0.999...=1的陈述本身可以被解释和证明为一个极限：
　　0.999…=deFlimn→∞0.99…9⏟n=deflimn→∞∑k=1n910k=limn→∞(1−110n)=1−limn→∞110n=1−0=1.
　　前两个等式可以解释为符号速记定义。其馀等式可以证明。最后一步，即1⁄10n→0作为n→∞，通常由实数的阿基米德性质证明。这种对0.999...的基于极限的态度通常被用更令人回味但不太精确的术语来表达。例如，1846年的教科书TheUniversityArithmetic解释说，“.999+，持续到无穷大=1，因为每增加一个9都会使值更接近1”；1895年的《学校算术》说：“当取大量9时，1和0.99999之间的差异……变得不可思议地小”。这样的启发式通常被学生错误地解释为暗示0.999...本身小于1。
　　嵌套区间和最小上限
　　上面的级数定义是定义由十进制扩展命名的实数的简单方法。一种补充方法是针对相反的过程量身定制的：对于给定的实数，定义十进制扩展来命名它。
　　如果已知一个实数x位于闭区间[0,10]中（即，它大于或等于0且小于或等于10），可以想像将该区间划分为仅重叠的十个部分在它们的端点：[0,1]、[1,2]、[2,3]等等直到[9,10]。数字x必须属于其中之一；如果它属于[2,3]，则记录数字“2”并将该区间细分为[2,2.1],[2.1,2.2],...,[2.8,2.9],[2.9,3]。继续这个过程会产生一个无限的嵌套区间序列，由无限的数字序列b0,b1,b2,b3标记,...,一个人写道
　　x=b0.b1b2b3…
　　在这种形式主义中，恆等式1=0.999...和1=1.000...分别反映了1在[0,1]和[1,2]中都存在的事实，因此可以在查找时选择任一子区间它的数字。为了确保这种表示法不会滥用“=”符号，需要一种方法来为每个小数重构一个唯一的实数。这可以通过限制来完成，但其他构造继续使用排序主题。
　　一个直接的选择是嵌套区间定理，它保证给定一系列嵌套的封闭区间，其长度变得任意小，区间在它们的交点中恰好包含一个实数。所以b0。b1b2b3...被定义为包含在所有区间[b0,b0+1],[b0中的唯一数。乙1，乙0。乙1+0.1]，依此类推。对于每个有限的9秒。由于1是每个这些区间的一个元素，因此0.999...=1。
　　嵌套区间定理通常建立在实数的一个更基本的特徵之上：最小上界或上界的存在。要直接利用这些对象，可以定义b0。b1b2b3...是近似值集合{b0,b0的最小上界。乙1，乙0。b1b2,...}。然后可以证明这个定义（或嵌套区间定义）与细分过程一致，再次暗示0.999...=1。汤姆·阿波斯托尔总结道，
　　一个实数可能有两种不同的十进製表示的事实仅仅是反映了两组不同的实数可以具有相同的上确界。
　　实数构造的证明
　　一些方法使用公理集合论将实数明确定义为建立在有理数之上的某些结构。自然数-0、1、2、3等等-从0开始并继续向上，因此每个数字都有一个后继数。可以用负数扩展自然数以给出所有整数，并进一步扩展为比率，给出有理数。这些数字系统伴随着加法，减法，乘法和除法的算术。更微妙的是，它们包括排序，以便一个数字可以与另一个数字进行比较，并发现小于、大于或等于另一个数字。
　　从有理数到实数的步骤是一个主要的扩展。至少有两种流行的方法可以实现这一步骤，均发表于1872年：Dedekind剪切和Cauchy序列。直接使用这些结构的0.999...=1的证明在实分析教科书中找不到，过去几十年的现代趋势一直是使用公理分析。即使提供了构造，它通常也用于证明实数的公理，从而支持上述证明。然而，一些作者表达了这样一种观点，即从构造开始在逻辑上更合适，并且由此产生的证明更加独立。
　　戴德金削减
　　在Dedekind割方法中，每个实数x被定义为所有小于x的有理数的无限集。特别地，实数1是所有小于1的有理数的集合。每个正小数展开式都容易确定Dedekind割：小于展开式某个阶段的有理数的集合.所以实数0.999...是有理数r的集合，使得r<0，或r<0.9，或r<0.99，或r小于形式的某个其他数
　　1-110n=0。(9)n=0。99…9⏟nnines.
　　0.999...的每一个元素都小于1，所以它是实数1的一个元素。反之，1的所有元素都是有理数，可以写成
　　ab<1,
　　与b>0和b>a。这意味着
　　1-ab=b-ab≥1b>110b,{
　　因此
　　ab<1-110b.
　　并且因为
　　1-110b=0。(9)b<0.999…
　　根据上面的定义，1的每个元素也是0.999...的一个元素，并且结合上面的证明，0.999...的每个元素也是1的一个元素，集合0.999...和1包含相同的有理数，因此是相同的集合，即0.999...=1。
　　实数定义为Dedekind切分最早由RichardDedekind于1872年发表。上述为每个小数展开式分配实数的方法源于一篇题为“Is0.999...=1?”的说明性论文。FredRichman在《数学》杂誌中，针对大学数学教师，尤其是初级/高级教师，以及他们的学生。Richman指出，对有理数的任何稠密子集进行Dedekind割都会产生相同的结果。特别是，他使用小数,对此的证明更为直接。他还指出，通常定义允许{x:x<1}是切，但不允许{x:x≤1}（反之亦然）“为什麽要这样做？准确地排除不同数字0.9*和1.[...]所以我们看到，在实数的传统定义中，等式0.9*=1是在开始时内置的。”该程序的进一步修改导致两者不相等的不同结构。儘管它是一致的，但十进制算术的许多常见规则不再成立，例如分数1⁄3没有表示；请参阅下面的“替代数字系统”。
　　柯西序列
　　另一种方法是将实数定义为有理数柯西序列的极限。这种实数的构造不太直接地使用有理数的排序。首先，将x和y之间的距离定义为绝对值|x−y|，其中绝对值|z|被定义为z和-z的最大值，因此永远不会是负数。然后将实数定义为具有使用该距离的柯西序列属性的有理数序列。也就是说，在序列(x0,x1,x2,...)，从自然数到有理数的映射，对于任何正有理数δ，都有一个N使得|xm-xn|≤δ对于所有m，n>N。（项之间的距离变得小于任何正有理数。）
　　如果(xn)和(yn)是两个柯西序列，则如果序列(xn-yn)的极限为0，则它们被定义为等于实数。十进制数b0的截断。b1b2b3...生成一系列有理数，即柯西；这被用来定义数字的实际值。因此，在这种形式主义中，任务是证明有理数序列
　　(1-0,1-910,1-99100,…)=(1,110,1100,…)
　　有极限0。考虑到序列的第n项，对于n∈ñ，因此必须证明
　　limn→∞110n=0。
　　如果人们理解limit的定义，这个限制是显而易见的。所以又是0.999...=1。
　　EduardHeine和GeorgCantor于1872年首次分别发表了将实数定义为Cauchy序列的定义。上述十进制展开的方法，包括0.999...=1的证明，紧随Griffiths&Hilton1970经典数学综合教科书：当代诠释。这本书是专门为从当代角度重新审视熟悉的概念而编写的。
　　无限十进製表示
　　通常在中学的数学教育中，实数是通过定义一个数字来构造的，该数字使用一个整数后跟一个小数点和一个无限序列，写成一个字符串来表示任何给定实数的小数部分。在这种结构中，整数和小数点后的数字（或非基数10系统中的小数点）的任意组合的集合是实数集合。在定义1=eq的集合上定义等价关係后，可以严格证明该构造满足所有实数公理0.999...以及任何其他在十进製字符串中只有有限多个非零项的非零小数，其尾随9s版本。通过实数的这种构造，当对实数执行任何操作时，陈述“1=0.999...”的所有证明都可以被视为隐含地假设相等。
　　密集秩序
　　可以解决这个问题的概念之一是要求实数是密集排序的。学生们理所当然地认为0.99999...是之前1而这种直观的排序更好地定义为纯粹的字典顺序。
　　“...实数的顺序被认为是密集顺序。但是，根据上下文，学生可以将此属性与给定数字（0.999...因此经常看到）之前或之后的数字的存在相协调作为1)的前身。”
　　密集的顺序要求有第三个实值严格介于0.99999...和1，但没有：我们不能改变两者中的任何一个数字来获得这样的数字。如果0.99999...和1要表示实数，它们必须相等。密集排序意味着如果集合的两个元素之间没有严格的新元素，则必须认为这两个元素相等。
　　概括
　　0.999...=1的结果很容易以两种方式概括。首先，每个具有有限十进製表示法的非零数（等效地，无限的尾随0）都有一个尾随9的对应物。例如，0.24999...等于0.25，与所考虑的特殊情况完全相同。这些数字正好是小数，而且它们是稠密的。
　　其次，一个可比较的定理适用于每个radix或base。例如，在以2为底（二进制数字系统）中，0.111...等于1，而在以3为底（三进制数字系统）中，0.222...等于1。通常，任何终止以b为底的表达式都有一个带有重複尾随的对应项数字等于b-1。实分析教科书可能会跳过0.999的例子......并从一开始就提供这些概括中的一个或两个。
　　1的替代表示也出现在非整数基数中。例如，在黄金比例base中，两个标准表示是1.000...和0.101010...，并且还有无限多个包含相邻1的表示。一般来说，对于几乎所有介于1和2之间的q，有无数个1的base-q扩展。另一方面，仍然有无数个q（包括所有大于1的自然数）只有一个base-q1的扩展，而不是微不足道的1.000....这个结果首先由PaulErdős、MiklosHorváth和IstvánJoó在1990年左右获得。1998年，VilmosKomornik和PaolaLoreti确定了最小的基数，Komornik-Loreti常数q=1.7872310....在这个基数中，1=0.11010011001011010010110011010011...；数字由Thue-Morse序列给出，不重複。
　　更深远的概括涉及最一般的位置数字系统。它们也有多重表示，从某种意义上说，困难甚至更糟。例如：
　　在平衡的三元系统中，1⁄2=0.111...=1.111....
　　在逆阶乘数字系统中（使用底数2!,3!,4!,...表示小数点后的位置），1=1.000...=0.1234...。
　　唯一代表的不可能
　　所有这些不同的数字系统都受到某些实数的多种表示的影响，这可以归因于作为有序集合的实数与按字典顺序排列的无限符号串的集合之间的根本差异。实际上，以下两个属性说明了困难：
　　如果实数区间被划分为两个非空部分L，R，使得L的每个元素（严格）小于R的每个元素，则L包含最大元素或R包含最小元素，但不是两者兼而有之。
　　从任何有限的“字母表”中提取的无限符号串的集合，按字典顺序，可以划分为两个非空部分L，R，使得L的每个元素都小于R的每个元素，而L包含最大的元素和R包含最小元素。实际上，从集合中获取元素的两个有限前缀（初始子串）p1，p2就足够了，这样它们仅在最终符号上有所不同，对于哪个符号，它们具有连续的值，并取L集合中对应前缀最多为p1的所有字符串的集合，对于馀数，集合中对应前缀至少为p2的字符串。那麽L有一个最大的元素，从p1开始并在所有后续位置中选择最大的可用符号，而R有一个最小元素，它是通过p2之后所有位置中的最小符号获得的。
　　第一点来自实数的基本性质：L有上确界，R有下确界，很容易看出它们相等；作为一个实数，它要么位于R要么位于L中，但不是两者都存在，因为L和R应该是不相交的。第二点概括了p1="0",p2="1"获得的0.999.../1.000...对。事实上，不需要对所有位置使用相同的字母表（例如，混合基数系统可以包括在内）或考虑可能的字符串的完整集合；唯一重要的一点是，在每个位置，可以从中选择一组有限的符号（甚至可能取决于先前的符号）（这是确保最大和最小选择所必需的），并且对任何位置做出有效选择都应该产生一个有效的无限字符串（因此不应在每个位置允许“9”，同时禁止无限连续的“9”）。在这些假设下，上述论证表明，从字符串集合到实数区间的保序映射不能是双射：一些数字不对应任何字符串，或者其中一些数字对应多个字符串.
　　MarkoPetkovšek已经证明，对于任何命名所有实数的位置系统，具有多个表示的实数集总是密集的。他称这个证明是“在基本点集拓扑中的一个指导性练习”；它涉及将位置值集视为Stone空间，并註意到它们的真实表示是由连续函数给出的。
　　应用
　　0.999...作为1的表示的一种应用出现在初等数论中。1802年，H.Goodwin发表了关于分母是某些素数的分数的重複十进製表示中出现9的观察结果。示例包括：
　　1⁄7=0。142857和142+857=999。
　　1⁄73=0。01369863和0136+9863=9999。
　　E.Midy在1836年证明了关于此类分数的一般结果，现在称为Midy定理。该出版物晦涩难懂，不清楚他的证明是否直接涉及0.999...，但至少WGLeavitt的一个现代证明确实如此。如果能证明0.b1b2b3...形式的小数是正整数，那麽一定是0.999...，这就是定理中9的来源。在这个方向上的研究可以激发诸如最大公约数、模算术、费马素数、群元素的顺序和二次互惠。
　　回到实际分析，base-3模拟0.222...=1在最简单的分形之一的表徵中起着关键作用，即中三分之康托集：
　　单位区间中的一个点位于康托集中当且仅当它可以仅使用数字0和2以三进製表示。
　　表示的第n位数字反映了该点在第n阶段构造中的位置。例如，点2⁄3的通常表示形式为0.2或0.2000...，因为它位于第一次删除的右侧和之后的每次删除的左侧。点1⁄3不是表示为0.1，而是表示为0.0222...，因为它位于第一次删除的左侧，之后的每个删除的右侧。
　　GeorgCantor的另一部作品中也出现了重複的9。必须将它们考虑在内，以构建一个有效的证明，将他1891年的对角线参数应用于十进制扩展，证明单位区间的不可数性。这样的证明需要能够根据它们的十进制扩展声明某些实数对是不同的，因此需要避免像0.2和0.1999这样的对......一种简单的方法表示所有具有非终止扩展的数字；相反的方法排除了重複的九。一个可能更接近康托尔原始论点的变体实际上使用了基数2，并且通过将基数3扩展转换为基数2扩展，也可以证明康托集的不可数性。
　　对教育的怀疑
　　数学专业的学生经常拒绝0.999...和1的相等性，原因从它们的不同外观到对极限概念的深切疑虑以及对无穷小的性质的分歧。造成混淆的常见因素有很多：
　　学生们通常“在精神上坚信一个数字可以用一种且只有一种方式用小数表示”。看到两个明显不同的小数代表同一个数字似乎是一个悖论，这一点被看似容易理解的数字1的出现放大了。
　　一些学生将“0.999...”（或类似符号）解释为一个大而有限的9字符串，可能具有可变的、未指定的长度。如果他们接受无限的9串，他们可能仍然期望最后一个9“无限”。
　　直觉和模棱两可的教学导致学生将序列的极限视为一种无限过程，而不是一个固定值，因为序列不必达到其极限。如果学生接受数字序列与其极限之间的差异，他们可能会将“0.999...”理解为表示序列而不是极限。
　　这些想法在标准实数的上下文中是错误的，儘管有些可能在其他数係中有效，要么是为了它们的一般数学实用性而发明的，要么是为了更好地理解0.999...
　　其中许多解释是由大卫·塔尔发现的，他研究了导致他在大学生中遇到的一些误解的教学和认知特徵。在採访他的学生以确定为什麽绝大多数人最初拒绝平等时，他发现“学生继续将0.999想像成一个越来越接近1的数字序列，而不是一个固定值，因为‘你没有指定有多少位'或'它是1以下最接近的小数'”。
　　将0.333...=1⁄3乘以3的基本论证可以让不情愿的学生相信0.999...=1。不过，当面对他们对第一个等式的信念与对第二个等式的不信任之间的冲突时，一些学生要么开始不相信第一个等式，要么变得沮丧。更複杂的方法也不是万无一失的：完全有能力应用严格定义的学生，当他们对高等数学的结果感到惊讶时，可能仍然会求助于直观的图像，包括0.999....例如，一位真正的分析学生能够证明0.333...=1⁄3使用上确界定义，但随后坚持认为0.999...<1基于她早先对长除法的理解。其他人仍然能够证明1⁄3=0.333...，但是，在遇到分数证明时，坚持认为“逻辑”取代了数学计算。
　　约瑟夫·马祖尔（JosephMazur）讲述了他的一位才华横溢的微积分学生的故事，他“几乎挑战了我在课堂上说的所有内容，但从未质疑过他的计算器”，并且他开始相信九位数就是做数学所需要的，包括计算平方23的根。学生仍然对9.99...=10的限制性论证感到不舒服，称其为“疯狂想像的无限增长过程”。
　　作为EdDubinsky的APOS数学学习理论的一部分，他和他的合作者(2005)提出，将0.999...设想为与1的距离无限小的有限、不确定字符串的学生“尚未构建完整的过程概念”无限小数”。其他同学有一个完整的过程概念0.999……可能还不能把那个过程“封装”成一个“对象概念”，就像他们有1的对象概念一样，所以他们认为过程0.999……和对象1不兼容。杜宾斯基等人。
　　文化现象
　　随着互联网的兴起，关于0.999...的争论在新闻组和留言板上已经司空见惯，其中包括许多名义上与数学无关的话题。在新闻组sci.math中，争论超过0.999...被描述为一项“流行运动”，这是其FAQ中回答的问题之一。常见问题解答简要介绍了1⁄3、乘以10和极限，并且还提到了柯西序列。
　　2003年版的一般利益报纸专栏TheStraightDope讨论了0.999...通过1⁄3和限制，说误解，
　　我们体内的低等灵长类动物仍然抗拒，说：.999~并不是真正代表一个数字，而是一个过程。为了找到一个数字，我们必须停止这个过程，此时.999~=1的东西就崩溃了。废话。
　　一篇Slate文章报导说，0.999的概念……“在从魔兽世界留言板到AynRand论坛等网站上引起了激烈的争论”。同样，0.999的问题……在暴雪娱乐的战网论坛的前七年证明是一个如此受欢迎的话题，以至于该公司在2004年愚人节发布了一份“新闻稿”，它是1：
　　我们很高兴一劳永逸地结束这本关于这个主题的书。我们目睹了.999~是否等于1的心痛和担忧，我们很自豪以下证明最终为我们的客户解决了这个问题。
　　然后提供两个证明，基于限制和乘以10。
　　0.999...数学笑话中的特徵，例如：
　　问：拧一个灯泡需要多少数学家？
　　答：0.999999....
　　在替代数制中
　　儘管实数形成了一个非常有用的数字系统，但将符号“0.999...”解释为命名实数的决定最终是一种惯例，蒂莫西·高尔斯在《数学：一个非常简短的介绍》中指出，得到的恆等式是0.999。..=1也是一个约定：
　　然而，它绝不是一种武断的约定，因为不採用它会迫使人们要么发明奇怪的新对象，要么放弃一些熟悉的算术规则。
　　无穷小
　　一些证明0.999...=1依赖于实数的阿基米德性质：没有非零无穷小。具体来说，差1−0.999...必须小于任何正有理数，因此它必须是无穷小；但由于实数不包含非零无穷小，因此差为零，因此两个值相同。
　　但是，存在数学上一致的有序代数结构，包括非阿基米德实数的各种替代方案。非标准分析为数字系统提供了一个完整的无穷小数组（及其倒数）。AHLightstone为(0,1)*中的超实数开发了十进制扩展。Lightstone展示瞭如何将一个数字序列与每个数字相关联，
　　0。d1d2d3…;…d∞−1d∞d∞+1…,
　　由超自然数索引。虽然他没有直接讨论0.999...，但他表明实数1⁄3由0.333...;...333...表示，这是转移原理的结果。因此，数字0.999...;...999...=1。使用这种类型的十进製表示，并非每个扩展都代表一个数字。特别是“0.333...;...000...”和“0.999...;...000...”不对应任何数字。
　　数字0.999...的标准定义是序列0.9、0.99、0.999......)]在超强构造中的这个序列，它是一个小于1的无穷小数。更一般地，超实数uH=0.999...;...999000...，最后一位数字9在无限超自然等级H处，满足严格的不等式uH<1。因此，“零跟随”的另一种解释由无限多个9"可以是
　　0。999…⏟H=1-110H.{
　　“0.999...”的所有此类解释都无限接近于1。IanStewart将这种解释描述为一种“完全合理”的方式，以严格证明0.999中的1“有点缺失”的直觉......与Katz&Katz一起，RobertEly还质疑学生对0.999...<1的想法是对实数的错误直觉的假设，将它们解释为可能在微积分学习中有价值的非标准直觉。
　　哈肯布什
　　组合博弈论也提供了替代实数，无限蓝红哈肯布什就是一个特别相关的例子。1974年，ElwynBerlekamp描述了哈肯布什字符串和实数二进制展开之间的对应关係，其灵感来自数据压缩的思想。例如，Hackenbush字符串LRRLRLRL...的值是0.0101012...=1⁄3。但是LRLLL...的值（对应于0.111...2）无限小于1。两者之间的差异是超现实数1⁄ω，其中ω是第一个无限序数；相关游戏是LRRRR...或0.000...2。
　　这实际上适用于许多有理数的二进制展开，其中数字的值相等但对应的二叉树路径不同。例如，0.10111...2=0.11000...2，它们都等于3/4，但第一个表示对应于二叉树路径LRLRLLL...而第二个表示对应于不同的路径LRLLRRR....
　　重温减法
　　另一种可能破坏证明的方式是，如果1-0.999...根本不存在，因为减法并不总是可能的。具有加法运算但不具有减法运算的数学结构包括可交换半群、可交换么半群和半环。Richman考虑了两个这样的系统，它们的设计使得0.999...<1。
　　首先，Richman将非负十进制数定义为文字十进制扩展。他定义了字典顺序和加法运算，注意到0.999...<1只是因为0<1在个位上，但对于任何非终止x，一个有0.999...+x=1+x。所以十进制数的一个特点是不能总是取消加法。另一个是没有十进制数对应于1⁄3。在定义乘法之后，十进制数形成一个正的、完全有序的、可交换的半环。
　　在定义乘法的过程中，Richman还定义了另一个他称之为“cutD”的系统，即十进制分数的Dedekind割集。通常这个定义会导致实数，但对于小数d，他允许切割(-∞,d)和“主切割”(-∞,d]。结果是实数“生活不安”连同”小数部分。再次0.999...<1。在切割D中没有正无穷小，但有“一种负无穷小”，0-，它没有小数扩展。他得出结论0.999...=1+0-，而方程“0.999...=1"没有解决方案。
　　p进数
　　当被问及0.999...时，新手通常认为应该有一个“最后的9”，认为1-0.999...是一个正数，他们将其写为“0.000...1”。不管这是否有意义，直观的目标是明确的：在0.999的最后一个9中添加1...会将所有9带入0并在个位上留下1。除其他原因外，这个想法失败了，因为0.999中没有“最后的9”......但是，有一个系统包含无限的9字符串，包括最后一个9。
　　p进数是数论中感兴趣的另一种数係统。像实数一样，p进数可以通过柯西序列从有理数构建；该构造使用不同的度量，其中0更接近p，并且更接近pn，而不是1。p进数形成素数p的域和其他p的环，包括10。所以算术可以在p-adics中执行，并且没有无穷小。
　　在10进数中，十进制扩展的类似物运行在左侧。10进扩展...999确实有后9，没有前9。可以在个位上加1，执行后只留下0：1+...999=...000=0，因此...999=-1。另一种推导使用几何级数。"...999"所暗示的无穷级数不会收敛于实数，但会收敛于10-adics，因此可以重用熟悉的公式：
　　…999=9+9(10)+9(10)2+9(10)3+⋯=91-10=-1.
　　（与上面的系列比较。）第三个推导是由一位七年级学生发明的，她对老师的限制性论点表示怀疑，即0.999...=1，但受到启发，将上述乘以10的证明推向了相反的方向：如果x=...999那麽10x=...990，所以10x=x-9，因此x=-1再次。
　　作为最后的扩展，由于0.999...=1（在实数中）和...999=-1（在10进数中），然后通过“盲目的信仰和毫不掩饰的符号杂耍”可以添加这两个方程并到达...999.999...=0。这个方程作为10进位展开式或普通十进制展开式都没有意义，但事实证明它在双重无限十进制展开式中是有意义且正确的的10进数螺线管，最终重複左端以表示实数并最终重複右端以表示10进数。
　　超限主义
　　超有限主义哲学拒绝将处理无限集的概念视为无意义的概念，例如符号0.999…可能代表具有无限序列的十进制数，以及无限多个数字的总和9/10+9/100+⋯对应于该无限字符串中十进制数字的位置值。在这种数学方法中，只有某些特定（固定）数量的有限十进制数字是有意义的。取而代之的是“相等”，而是“近似相等”，即等于允许计算的十进制位数。儘管Katz和Katz认为超有限主义可能会抓住学生的直觉，即0.999...应该小于1，但超有限主义的思想在数学界并未得到广泛接受，而且该哲学缺乏普遍认可的正式的数学基础。