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贝里悖论
贝里悖论是一个自我参照悖论，源于“60个字母以下无法定义的最小正整数”（一个有57个字母的短语）这样的表达。BertrandRussell是第一个在印刷中讨论这个悖论的人，他将其归因于GGBerry(1867-1928)，牛津大学博德利图书馆的初级图书管理员。罗素称贝里为“牛津唯一懂数理逻辑的人”。这个悖论被Jean-YvesGerard称为“理查德悖论”。
概述
考虑表达式：
“在60个字母以下无法定义的最小正整数。”
由于英文字母表中只有26个字母，因此有有限多个低于60个字母的短语，因此有有限多个由低于60个字母的短语定义的正整数。由于有无限多的正整数，这意味着有一些正整数不能用60个字母以下的短语来定义。如果存在满足给定属性的正整数，则存在满足该属性的最小正整数；因此，有一个最小的正整数满足“不能在60个字母以下定义”的性质。这是上述表达式所指的整数。但是上面的表达式只有五十七个字母长，因此它可以定义为不到六十个字母，并且是不是不能用60个字母定义的最小正整数，也不是由这个表达式定义的。这是一个悖论：必须有一个由这个表达式定义的整数，但是由于这个表达式是自相矛盾的（它定义的任何整数都可以在60个以下字母中定义），所以它不能定义任何整数。
也许对贝里悖论的另一个有用的类比是“难以形容的感觉”这个短语。如果这种感觉确实是难以形容的，那麽任何关于这种感觉的描述都是不真实的。但是如果“难以形容”这个词传达了某种关于感觉的东西，那麽它可能被认为是一种描述：这是自相矛盾的。
数学家和计算机科学家GregoryJ.Chaitin在TheUnknowable(1999)中添加了这样的评论：“好吧，墨西哥数学历史学家AlejandroGarcidiego不厌其烦地找到了[Russell写下贝瑞的信]一个不同的悖论。Berry的信实际上谈到了第一个不能用有限数量的词命名的序数。根据康托尔的理论，这样的序数必须存在，但我们只是用有限数量的词命名它，这是矛盾的。”
解析度
上述贝里悖论的出现是由于“可定义”一词的系统性模棱两可。在贝里悖论的其他表述中，例如一个改为：“...notnameableinless...”的术语“可命名”也是具有这种系统性歧义的术语。这类术语会导致恶性循环谬误。具有此类歧义的其他术语有：可满足、真、假、功能、属性、类、关係、基数和序数。解决其中一个悖论意味着准确地指出我们对语言的使用出错的地方，并对语言的使用提供限制，从而避免它们。
这一系列悖论可以通过在语言中加入意义分层来解决。具有系统性歧义的术语可以用下标来表示，在其解释中，一个级别的含义被认为比另一个级别具有更高的优先级。在该方案下，“少于十一个单词中不可命名的数字0”可能在少于十一个单词中可命名为1。
然而，人们可以阅读AlfredTarski对LiarParadox的贡献找出语言中的这种分辨率是如何不足的。阿尔弗雷德·塔斯基（AlfredTarski）诊断出这个悖论只出现在“语义封闭”的语言中，他的意思是一种语言，在这种语言中，一个句子可以谓词同一语言中的另一个句子（甚至它本身）的真（或假））。为了避免自相矛盾，在讨论真值时有必要设想语言的层次，每个层次只能谓词较低层次的语言的真（或假）。因此，当一个句子指代另一个句子的真值时，它在语义上更高。引用的句子是“目标语言”的一部分，而引用的句子被认为是相对于目标语言的“元语言”的一部分。“语言”中的句子是合法的语义层次较高的句子是指“语言”层次中较低的句子，但不是相反。这可以防止系统变得自引用。
然而，这个系统是不完整的。人们希望能够做出诸如“对于层次结构的级别α中的每个语句，级别α+1的语句断言第一个语句是错误的”这样的语句。这是关于Tarski定义的层次结构的真实、有意义的陈述，但它指的是层次结构中每一层的陈述，因此它必须高于层次结构的每一层，因此在层次结构中是不可能的（儘管有界版本的句子是可能的）。SaulKripke在他被高度引用的论文“真理理论大纲”中发现了塔斯基层次结构中的这种不完整性，[8]它被认为是分层语言中的普遍问题。
形式类似物
使用有界长度的程序或证明，可以在正式的数学语言中构造Berry表达式的类似物，正如GregoryChaitin所做的那样。虽然形式上的类比不会导致逻辑矛盾，但它确实证明了某些不可能的结果。
GeorgeBoolos(1989)基于Berry悖论的形式化版本，以一种新的更简单的方式证明了哥德尔的不完备性定理。他证明的基本思想是，当且仅当x=n对某个自然数n时成立x的命题可以称为n的定义，并且集合{(n,k):n有一个定义：是k个符号long}可以被证明是可表示的（使用哥德尔数）。那麽命题“m是在少于k个符号中无法定义的第一个数字”可以形式化并显示为刚刚陈述的意义上的定义。
与Kolmogorov複杂性的关係
通常不可能明确定义描述给定字符串所需的最少符号数量（给定特定的描述机制）。在这种情况下，术语字符串和数字可以互换使用，因为数字实际上是一串符号，例如一个英语单词（如悖论中使用的单词“十一”），而另一方面，它是可能的用数字来引用任何单词，例如通过它在给定字典中的位置数或通过适当的编码。可以使用比完整表示所需的符号更少的符号来精确描述一些长字符串，这通常使用数据压缩来实现.然后将给定字符串的複杂性定义为描述所需的最小长度，以便（明确地）引用该字符串的完整表示。
Kolmogorov複杂性是使用形式语言或图灵机定义的，它避免了给定描述产生的字符串的歧义。可以证明，Kolmogorov複杂度是不可计算的。矛盾证明表明，如果可以计算Kolmogorov複杂度，那麽也可以系统地生成与此类似的悖论，即描述比所描述字符串的複杂度所暗示的要短。也就是说，Berry数的定义是悖论的，因为实际上不可能计算出定义一个数字需要多少个词，而我们知道，由于悖论，这样的计算是不可能的。
鳄鱼困境
鳄鱼悖论，也称为鳄鱼诡辩，是与说谎者悖论同属一个悖论的逻辑悖论。前提是鳄鱼偷走了孩子，他向父母承诺，当且仅当他们正确预测鳄鱼接下来会做什麽时，他们的孩子才会被归还。
如果父母猜测孩子会被退回，交易在逻辑上是顺利的，但无法预测，但如果父母猜测孩子不会被退回，鳄鱼就会进退两难。在鳄鱼决定留下孩子的情况下，他违反了他的条款：父母的预测已经得到验证，孩子应该被归还。但是，在鳄鱼决定归还孩子的情况下，他仍然违反了他的条款，即使这个决定是基于之前的结果：父母的预测已经被证伪，孩子不应该被归还。因此，鳄鱼应该做什麽的问题是自相矛盾的，并且没有合理的解决方案。
鳄鱼困境揭示了元知识提出的一些逻辑问题。在这方面，它在构造上类似于意外悬挂悖论，RichardMontague(1960)用来证明以下关于知识的假设在组合测试时是不一致的：
(i)如果已知ρ为真，则ρ。
(ii)众所周知，(i)。
(iii)如果ρ蕴含σ，并且已知ρ为真，那麽σ也已知为真。
古希腊文献首先讨论了鳄鱼困境。
法院悖论
欧阿特鲁斯悖论或普罗泰戈拉斯悖论，是起源于古希腊的悖论。
案子
据说，着名的诡辩家普罗泰戈拉斯接受了一位前途无量的学生Euathlus，条件是学生在赢得第一个官司后支付普罗泰戈拉斯的指导费用。受训后，尤阿特鲁斯决定不从事法律行业，而是从政，因此普罗泰戈拉斯决定起诉尤阿特鲁斯欠他的钱。
论据
普罗泰戈拉斯争辩说，如果他赢了官司，他将得到他的钱。如果Euathlus打赢了官司，Protagoras仍然会按照原来的合同得到报酬，因为Euathlus会赢得他的第一个官司。然而，Euathlus声称，如果他赢了，那麽根据法院的裁决，他将不必支付Protagoras。另一方面，如果Protagoras赢了，那麽Euathlus仍然不会赢，因此没有义务支付。那麽问题来了，这两个人中谁是对的？
起源
这个故事是由拉丁作家AulusGellius在AtticNights中讲述的。
出于幽默目的，经常引用这个悖论来表明法医和政治类别之间永远存在的“物种种族”。