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　　阿列夫数
　　在数学中，特别是在集合论中，阿列夫数是一个数字序列，用于表示可以有序排列的无限集的基数（或大小）。它们由数学家GeorgCantor引入，并以他用来表示它们的符号命名，希伯来字母aleph(ℵ）。
　　自然数的基数是ℵ₀（读作aleph-nought或aleph-zero；有时也使用术语aleph-null），可良序集的下一个更大的基数是aleph-oneℵ₁,然后ℵ₂等等。以这种方式继续，可以定义一个基数ℵα对于每个序数α,如下所述。
　　这个概念和符号归功于GeorgCantor，，他定义了基数的概念，并意识到无限集可以有不同的基数。
　　aleph数不同于无穷大(∞)常见于代数和微积分中，因为alephs测量集合的大小，而无穷大通常被定义为实数线的极端极限（应用于“发散到无穷大”或“增加而不增加bound")，或作为扩展实数线的极值点。
　　Aleph-nought
　　ℵ₀（aleph-nought，也aleph-zero或aleph-null）是所有自然数集合的基数，并且是无限基数。所有有限序数的集合，称为ω或者ω₀（在哪裡ω是小写的希腊字母omega)，具有基数ℵ₀.集合有基数ℵ₀当且仅当它是可数无限的，即它与自然数之间存在双射（一一对应）。这种集合的例子是
　　所有整数的集合，
　　整数的任何无限子集，例如所有平方数的集合或所有素数的集合，
　　所有有理数的集合，
　　所有可构造数的集合（在几何意义上），
　　所有代数数的集合，
　　所有可计算数的集合，
　　所有有限长度二进製字符串的集合，以及
　　任何给定的可数无限集的所有有限子集的集合。
　　这些无限序数：ω,ω+1,ω⋅2,ω²,ω^ω和ε₀属于可数无限集。例如，序列（具有序数ω⋅2)所有正奇数后跟所有正偶数
　　{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...}
　　是集合的一个排序（具有基数ℵ₀)的正整数。
　　如果可数选择公理（选择公理的弱版本）成立，那麽ℵ₀小于任何其他无限基数。
　　Alephone
　　ℵ₁是所有可数序数集合的基数，称为ω₁或者有时Ω.这个ω₁本身是一个大于所有可数数的序数，所以它是一个不可数集。所以，ℵ₁不同于ℵ₀.的定义ℵ₁暗示（在ZF中，没有选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论）之间没有基数ℵ₀和ℵ₁.如果使用选择公理，可以进一步证明基数类是全序的，因此ℵ₁是第二小的无限基数。使用选择公理，可以显示集合中最有用的属性之一ω₁:的任何可数子集ω₁有一个上限ω₁.（这是因为可数集合的并集本身是可数的——这是选择公理最常见的应用之一。）这个事实类似于ℵ₀：每个有限自然数集都有一个最大值，它也是一个自然数，有限集的有限并集是有限的。
　　ω₁实际上是一个有用的概念，如果听起来有点怪异。一个示例应用程序是关于可数操作的“关闭”；例如，试图明确描述由任意子集集合生成的σ-代数（参见Borel层次结构）。这比代数（向量空间、群等）中对“生成”的大多数明确描述更难，因为在这些情况下，我们只需要对有限运算（求和、乘积等）进行闭运算。该过程涉及通过超限归纳为每个可数序数定义一个集合，该集合通过“抛出”所有可能的可数并集和补集，并採用所有这些的并集ω₁.
　　连续统假设
　　实数集的基数（连续统的基数）是2^ℵ₀.它不能从ZFC（Zermelo-Fraenkel集合论增加了选择公理）确定，其中这个数字完全符合aleph数层次结构，但从ZFC可以得出连续统假设CH等价于恆等式
　　2^ℵ₀=ℵ₁.
　　CH指出不存在其基数严格介于整数和实数之间的集合。CH独立于ZFC：在该公理系统的上下文中，它既不能被证明也不能被证明（前提是ZFC是一致的）。1940年，KurtGödel证明了CH与ZFC一致，当时他表明它的否定不是ZFC的定理。PaulCohen在1963年证明了它独立于ZFC，当时他通过（当时新的）强制方法证明了CH本身不是ZFC的定理.
　　阿列夫-欧米茄
　　Aleph-omega是
　　ℵω=sup{ℵₙ：n∈ω}=sup{ℵₙ：n∈{0,1,2,…}}
　　其中最小的无限序数表示为ω。也就是基数ℵω是的最小上界
　　{ℵn：n∈{0,1,2,…}}.
　　ℵω是第一个在Zermelo-Fraenkel集合论中可以证明不等于所有实数集合的基数的不可数基数；对于任何正整数n，我们可以一致地假设2^ℵ₀=ℵₙ,而且可以假设2^ℵ₀和我们喜欢的一样大。我们只是被迫避免将其设置为具有共定性的某些特殊基数ℵ₀,意味着有一个无界函数ℵ₀到它（见伊斯顿定理）。
　　一般α的Aleph-α
　　界定ℵα对于任意序数α,我们必须定义后继基数运算，它分配给任何基数ρ下一个更大的有序红衣主教ρ+（如果选择公理成立，这是下一个更大的基数）。
　　然后，我们可以如下定义aleph数：
　　ℵ₀=ω
　　ℵα+1=ℵα+
　　对于λ，一个无限极限序数，
　　ℵλ=⋃β<λℵβ.
　　第α个无限初始序数写成ωα.它的基数写成ℵα.在ZFC中，aleph函数ℵ是从序数到无限基数的双射。
　　omega的不动点
　　对于任何序数α，我们有
　　α≤ωα.
　　在很多情况下ωα严格大于α。例如，对于任何后继序数α，这成立。然而，由于普通函数的定点引理，有一些极限序数是omega函数的不动点。第一个是序列的限制
　　ω,ω下标ω,ω下标ω下标ω,….
　　任何弱inaccessible基数也是aleph函数的不动点。这可以在ZFC中显示如下。认为κ=ℵλ是一个弱inaccessible基数。如果λ是后继序数，那麽ℵλ将是successor基数，因此并非不可达的。如果λ是一个极限序数小于κ,那麽它的共定性（因此它的共定性ℵλ)将小于κ所以κ不会是规则的，因此不是弱不可达的。因此λ≥κ因此λ=κ这使它成为一个固定点。
　　选择公理的作用
　　任何无限序数的基数都是阿列夫数。每个aleph是某个序数的基数。其中最少的是它的初始序数。任何基数为aleph的集合与序数是等数的，因此是良序的。
　　每个有限集都是可良序的，但没有aleph作为其基数。
　　每个无限集的基数是阿列夫数的假设在ZF上等价于每个集合的良序的存在，这反过来又等价于选择公理。包含选择公理的ZFC集合论意味着每个无限集合都有一个aleph数作为其基数（即与其初始序数相等），因此aleph数的初始序数可以作为所有集合的代表可能的无限基数。
　　当在没有选择公理的情况下在ZF中研究基数时，不再可能证明每个无限集都有某个aleph数作为其基数；基数为aleph数的集合正是可以良序的无限集合。Scott技巧的方法有时被用作在ZF的设置中构造基数代表的替代方法。例如，可以将card(S)定义为具有与S相同基数的最小可能秩的集合。这具有card(S)=card(T)当且仅当S和T具有相同的基数。（集合card(S)通常与S的基数不同，但它的所有元素都有。）
　　Worldly基数
　　在数学集合论中，Worldly基数是基数κ，因此秩Vκ是Zermelo-Fraenkel集合论的模型。
　　与inaccessible基数的关係
　　根据Zermelo关于inaccessible基数的定理，每个inaccessible基数都是Worldly的。根据Shepherdson定理，不可达等同于更强的陈述，即(Vκ,Vκ+1)是二阶Zermelo-Fraenkel集合论的模型。Worldly与不可达基数不是等价的；事实上，最小的Wordly基数具有可数共尾性，因此是单数大基数。
　　以下是严格递增的顺序，其中ι是最不可达的基数：
　　最不Worldly的κ。
　　Vκ和Vλ满足相同理论的最不Worldly的κ和λ（κ<λ，下同）。
　　最不Worldly的κ是Worldly基数的极限（等效地，是κWorldly基数的极限）。
　　最不Worldly的κ和λ与Vκ≺Σ2Vλ（这甚至高于上述项目的κ倍迭代）。
　　最不Worldly的κ和λ与Vκ≺Vλ。
　　共定性ω1的最不Worldly的κ（对应于将上述项目扩展到长度为ω1的链）。
　　最不Worldly的κ共定性ω2（等等）。
　　最小的κ>ω与Vκ满足替换用(Vκ,∈)满足关係增强的语言。
　　Lκ(Vκ)中最不可达的κ；等效地，最小的κ>ω与Vκ满足替换无限逻辑L∞，ω中的Vκ中的公式。
　　具有传递模型M⊂Vκ+1的最小κ扩展Vκ满足Morse-Kelley集理论。
　　（不是Worldly的大基数）最小的κ与Vκ具有与Vι相同的Σ2理论。
　　最小的κ与Vκ和Vι具有相同的理论。
　　最小的κ与Lκ(Vκ)和Lι(Vι)具有相同的理论。
　　（不是Worldly的大基数）最小的κ与Vκ和Vι具有相同的Σ2理论和实参。
　　（不是Worldly的大基数）最小的κ与Vκ≺Σ2Vι。
　　最小的κ与Vκ≺Vι。
　　Vκ和Vι满足Vκ中相同的L∞,ω陈述的最小无限κ。
　　具有传递模型M⊂Vκ+1的最小κ扩展了Vκ并满足与Vκ中的参数相同的句子与Vι+1一样。
　　最不可达的基数ι。