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　　自由阿贝尔群
　　在数学中，自由阿贝尔群是有基的阿贝尔群。作为一个阿贝尔群意味着它是一个具有关联、交换和可逆的加法运算的集合。基，也称为积分基，是一个子集，使得群中的每个元素都可以唯一地表示为有限多个基元素的整数组合。例如二维整数格形成一个自由阿贝尔群，以坐标加法为运算，以(1,0)和(0,1)两点为基。自由阿贝尔群具有使它们类似于向量空间的性质，并且可以等效地称为自由的。Z-modules，整数上的自由模块。格理论研究实向量空间的自由阿贝尔子群。在代数拓扑中，自由阿贝尔群用于定义链群，而在代数几何中，它们用于定义除数。
　　有基的自由阿贝尔群的元素B可以用几种等效的方式来描述。这些包括正式的总和B，它们是形式的表达式∑aᵢbᵢ其中每个aᵢ是一个非零整数，每个bᵢ是一个独特的基本元素，并且和具有有限多个项。或者，自由阿贝尔群的元素可以被认为是包含有限多个元素的有符号多重集B，多重集中元素的多重性等于它在形式总和中的係数。另一种表示自由阿贝尔群元素的方法是作为函数B具有有限多个非零值的整数；对于这种函数表示，组运算是函数的逐点相加。
　　每一套B有一个自由阿贝尔群B作为其依据。这个群是唯一的，因为每两个具有相同基的自由阿贝尔群都是同构的。不是通过描述它的各个元素来构建它，而是一个有基的自由阿贝尔群B可以构造为整数的加法组的副本的直接和，每个成员一个副本B.或者，具有基的自由阿贝尔群B可以通过具有以下元素的演示文稿来描述B作为它的生成器，并以成对的成员的交换器作为它的关係器。自由阿贝尔群的秩是基的基数；同一群的每两个硷基给出相同的秩，并且每两个具有相同秩的自由阿贝尔群是同构的。自由阿贝尔群的每个子群本身都是自由阿贝尔群；这一事实允许将一般阿贝尔群理解为自由阿贝尔群通过“关係”得到的商，或者理解为自由阿贝尔群之间的单射同态的核心。唯一属于自由群的自由阿贝尔群是平凡群和无限循环群。
　　定义和例子
　　欧几里得平面上的格子。添加任意两个蓝色格点会产生另一个格点；这个加法运算形成的群是一个自由阿贝尔群。
　　
　　自由阿贝尔群是有基的阿贝尔群。这裡，作为一个阿贝尔群意味着它是由一个集合描述的小号其元素和二元运算S，通常由_+遵循以下属性的符号（儘管它不必是通常的数字相加）：
　　操作+是可交换的和关联的，对所有元素都有意义x,y,和z的S,x+y=y+x=和(x+y)+z=x+(y+z).因此，当组合两个或多个元素时S使用此操作，元素的排序和分组不会影响结果。
　　S包含一个标识元素（通常表示0)的属性是，对于每个元素x,x+0=0+x=x.
　　每一个元素x在S有一个逆元素-x,这样x+(-x)=0.
　　基是一个子集B的元素S具有每个元素的属性S可以通过选择有限多个基元素以独特的方式形成bᵢ的B,选择一个非零整数kᵢ对于每个选定的基本元素，并加在一起kᵢ基本元素的副本bᵢ为此kᵢ为正，并且-kᵢ的副本-bᵢ对于每个基元素kᵢ是负数。作为一种特殊情况，单位元素总是可以以这种方式形成为零基元素的组合，根据空和的通常约定，并且一定不可能找到任何其他组合来表示身份。
　　整数_Z，在通常的加法运算下，与基组成一个自由阿贝尔群{1}.整数是可交换的和结合的，0是加法恆等式，每个整数都有一个加法逆元，即它的否定。每个非负X是总和X的副本1,和每个负整数X是总和-X的副本-1，所以基性质也满足。
　　正有理数给出了组运算不同于通常的数字加法的示例Q+，它们形成一个自由阿贝尔群，具有通常的数字乘法运算，并以素数为基础。乘法是可交换的和结合的，与数1作为它的身份并与1/X作为每个正有理数的逆元素X.素数构成这些数相乘的基础这一事实来自算术基本定理，根据该定理，每个正整数都可以唯一地分解为有限多个素数或其倒数的乘积。如果q=a/b是用最简单的术语表示的正有理数，则q可以表示为出现在因式分解中的素数的有限组合a和b.在这个组合中使用的每个素数的副本数是它在因式分解中的指数一个，或在因式分解中对其指数的否定b.
　　单个变量的多项式X，用整数係数，在多项式加法下形成一个自由阿贝尔群，其幂为X作为基础。作为一个抽象群，这与正有理数的乘法群（同构群）相同。将这两个组相互映射以表明它们是同构的一种方法是重新解释i有理数的乘法群中的第一个素数，而不是给出的係数x^i-1在相应的多项式中，反之亦然。例如有理数5/27有指数0,-3,1对于前三个素数2,3,5并以这种方式对应于多项式-3x+x^2具有相同的係数0,-3,1因为它的常数、线性和二次项。因为这些映射只是重新解释相同的数字，它们定义了两组元素之间的双射。并且由于正有理数相乘的群运算加法地作用于素数的指数，就像多项式的群运算作用于多项式的係数一样，这些映射保留了群结构；它们是同态。双射同态称为同构，它的存在表明这两个群具有相同的性质。
　　儘管每个群元素在给定基方面的表示是唯一的，但自由阿贝尔群通常具有多个基，并且不同的基通常会导致其元素的不同表示。例如，如果一个人用它的逆替换一个基的任何元素，一个人就会得到另一个基。作为一个更详细的例子，二维整数格Z^2,由平面上具有整数笛卡尔坐标的点组成,在与基的向量加法下形成一个自由阿贝尔群{(1,0),(0,1)}.对于这个基础，元素(4,3)可以写(4,3)=4⋅(1,0)+3⋅(0,1)，其中定义了“乘法”，例如，4⋅(1,0):=(1,0)+(1,0)+(1,0)+(1,0).没有其他写法(4,3)在同样的基础上。但是，具有不同的基础，例如{(1,0),(1,1)},可以写成(4,3)=(1,0)+3⋅(1,1).概括这个例子，每个格形成一个有限生成的自由阿贝尔群。d维整数格Z^d有一个由正整数单位向量组成的自然基，但它也有许多其他基：如果M是一个d×d具有行列式的整数矩阵±1，然后的行米形成一个基，反之，整数格的每个基都具有这种形式。
　　建筑
　　每个集合都可以是自由阿贝尔群的基础，该群对于群同构是唯一的。给定基组的自由阿贝尔群可以用几种不同但等效的方式构造：作为整数副本的直接和，作为整数值函数族，作为有符号多重集，或通过群的表示.
　　总和
　　组的直接乘积由乘积中每个组的元素的元组组成，并按分量相加。两个自由阿贝尔群的直接乘积本身就是自由阿贝尔群，其基是两个群的基的不相交并集。更一般地，任何有限数量的自由阿贝尔群的直接乘积是自由阿贝尔群。这d维整数格，例如，同构于的直接乘积d整数组的副本Z.琐碎组{0}也被认为是自由阿贝尔，以空集为基础。可以解释为空乘积，零拷贝的直接乘积Z.
　　对于自由阿贝尔群的无限族，直积不一定是自由阿贝尔群。例如Baer-Specker组Z^N，一个不可数的群，由可数的多个副本的直接乘积形成Z,由ReinholdBaer在1937年证明不是自由阿贝尔，儘管ErnstSpecker在1950年证明了它的所有可数子群都是自由阿贝尔。相反，为了从无限的群族中获得一个自由阿贝尔群，直接和而不是直接使用产品。直和和直积在应用于有限多个群时是相同的，但在无限个群族上是不同的。在直接求和中，元素再次是来自每个组的元素的元组，但限制是这些元素中的所有元素都是它们组的标识。无限多个自由阿贝尔群的直接和仍然是自由阿贝尔群。它有一个由元组组成的基，其中除了一个元素之外的所有元素都是恆等元，其馀元素是其组的基的一部分。
　　每个自由阿贝尔群都可以描述为Z,其基础的每个成员一份。这种结构允许任何集合B成为自由阿贝尔群的基础。
　　整数函数和形式和
　　给定一个集合B,可以定义一个组Z(B)其元素是来自的函数B到整数，其中上标中的括号表示仅包括具有有限多个非零值的函数。如果F(X)和G(X)是两个这样的函数，那麽F+G是函数，其值是其中的值的总和F和G:也就是说，(F+G)(X)=F(X)+G(X).这种逐点加法运算给出Z^(B)阿贝尔群的结构。
　　每个元素X从给定的集合B对应的成员Z^(B),函数eX为此eX(X)=1并且为此eₓ(y)=0为所有人y≠X.每个功能F在Z^(B)是有限个基本元素的唯一线性组合：
　　
　　因此，这些元素eₓ形成一个基础Z(B),和Z(B)是一个自由阿贝尔群。这样，每组乙可以化为自由阿贝尔群的基础。
　　元素Z^(B)也可以写成正式的sums，形式为有限多个项的和形式的表达式，其中每个项都写为一个非零整数与一个不同成员的乘积B.当这些表达式具有相同的项时，无论项的顺序如何，它们都被认为是等价的，并且可以通过形成项的并集来添加它们，添加整数係数以组合具有相同基元素的项，并删除满足以下条件的项这种组合产生零係数。它们也可以被解释为有限多个元素的有符号多重集B.
　　介绍
　　组的表示是生成该组的一组元素（意味着所有组元素都可以表示为有限多个生成器的乘积），以及“相关器”，即给出恆等元素的生成器的乘积。以这种方式定义的组的元素是生成器及其逆序列的等价类，在等价关係下，允许插入或删除任何相关者或生成器-逆对作为连续子序列。有基的自由阿贝尔群B有一个表示，其中生成器是B,相关者是元素对的交换子B.这裡，两个元素的换向器X和Y是（x^-1）（y^-1）（xy）;将此产品设置为身份原因xy等于_yx,这样x和y通勤。更一般地，如果所有发电机对通勤，那麽发电机的所有产品对也通勤。因此，这个表示生成的群是阿贝尔的，并且表示的相关者形成了确保它是阿贝尔所需的最小关係集。
　　当生成元集合是有限的时，自由阿贝尔群的表示也是有限的，因为在表示中只包含有限多个不同的交换子。这个事实，连同自由阿贝尔群的每个子群都是自由阿贝尔群的事实（见下文），可以用来证明每个有限生成的阿贝尔群都是有限呈现的。因为，如果G一组有限生成N，它是自由阿贝尔群的商B由一个自由阿贝尔子群，由表示的相关者生成的子群G.但是由于这个子群本身是自由阿贝尔的，它也是有限生成的，而且它的基（连同B)形成一个有限的关係集，用于表示G.
　　作为一个模块
　　整数上的模块的定义类似于实数或有理数上的向量空间：它们由可以相互相加的元素系统组成，并具有与此加法运算兼容的整数标量乘法运算。每个阿贝尔群都可以被认为是整数上的一个模块，标量乘法运算定义如下：
　　0x=0
　　1x=x
　　nx=x+(n-1)x,如果n>1
　　nx=-((-n)x),如果n<0
　　然而，与向量空间不同，并不是所有的阿贝尔群都有一个基，因此有一个特殊的名称“自由”。自由模是可以表示为其基环上的直接和的模，因此自由阿贝尔群和自由Z-模块是等价的概念：每个自由阿贝尔群（通过上面的乘法运算）是一个自由的Z-module，而且每个都是免费的Z-module以这种方式来自一个自由阿贝尔群。除了直接求和，组合自由阿贝尔群的另一种方法是使用的张量积Z-模块。两个自由阿贝尔群的张量积总是自由阿贝尔群，其基是乘积中两个群的基的笛卡尔积。
　　自由阿贝尔群的许多重要性质可以推广到主理想域上的自由模。例如，主要理想域上的自由模块的子模块是自由的，Hatcher(2002)写道，这一事实允许将同调机制“自动泛化”到这些模块。此外，每个射影的定理Z-module以同样的方式自由泛化。
　　特性
　　通用
　　一个自由阿贝尔群F有依据B具有以下通用属性：对于每个函数F从B到一个阿贝尔群A,存在一个唯一的群同态F至A延伸F.这裡，群同态是从一个群到另一个群的映射，它符合群积法则：在映射之前或之后执行乘积会产生相同的结果。通过普遍性质的一般性质，这表明基的“阿贝尔群”B在同构之前是唯一的。因此，通用性质可以作为基的自由阿贝尔群的定义B.该属性定义的组的唯一性表明所有其他定义都是等价的。
　　正是由于这种普遍性质，自由阿贝尔群被称为“自由”：它们是阿贝尔群范畴中的自由对象，该范畴以阿贝尔群为对象，同态为其箭头。从基到其自由阿贝尔群的映射是函子，是从集合到阿贝尔群的类别的结构保持映射，并且与从阿贝尔群到集合的遗忘函子相伴。然而，一个自由阿贝尔群不是一个自由群，除非有两种情况：一个自由阿贝尔群有一个空基（秩为零，给出平凡群)或基中只有一个元素(排名第一，给出无限循环群)。其他阿贝尔群不是自由群，因为在自由群中ab必须不同于ba如果a和b是基的不同元素，而在自由阿贝尔群中，对于所有元素对，两个乘积必须相同。在一般的团体类别中，要求ab=ba，而这是阿贝尔群范畴中的必要性质。
　　秩
　　同一个自由阿贝尔群的每两个基都具有相同的基数，因此基的基数形成了称为其秩的群的不变量。两个自由阿贝尔群是同构的当且仅当它们具有相同的秩。一个自由阿贝尔群是有限生成的当且仅当它的秩是有限数n，在这种情况下，群同构于Z^n.
　　这种秩的概念可以被推广，从自由阿贝尔群到不一定自由的阿贝尔群。阿贝尔群的秩G定义为自由阿贝尔子群的秩F的G商群G/F是一个扭转群。等价地，它是最大子集的基数G生成一个自由子组。秩是组不变的：它不依赖于子组的选择。
　　子组
　　自由阿贝尔群的每个子群本身就是一个自由阿贝尔群。RichardDedekind的这一结果是类似Nielsen-Schreier定理的先驱，即自由群的每个子群都是自由的，并且是对无限循环群的每个非平凡子群都是无限循环这一事实的概括。证明需要选择公理。使用Zorn引理（选择公理的许多等效假设之一）的证明可以在SergeLang的代数中找到。所罗门·莱夫谢茨和欧文·卡普兰斯基认为使用良序原则代替Zorn引理会导致更直观的证明。
　　在有限生成的自由阿贝尔群的情况下，证明更容易，不需要选择公理，并导致更精确的结果。如果G是一个有限生成的自由阿贝尔群的子群F，然后G是免费的并且有依据(e₁,…,eₙ)的F和正整数d₁|d₂|…|dₖ（即，每个除下一个）使得(d₁e₁,…,dₖeₖ)是一个基础G.此外，序列d₁,d₂,…,dₖ只取决于F和G而不是根据。任何计算整数矩阵的史密斯范式的算法都提供了定理存在部分的建设性证明。唯一性源于以下事实：对于任何r≤k,阶次的最大公约数r在Smith范式计算过程中矩阵的不改变并且是乘积d₁⋯dᵣ在计算结束时。
　　扭转和可分性
　　所有自由阿贝尔群都是无扭转群，即不存在非恆等群元素X和非零整数n这样nx=0.相反，所有有限生成的无扭阿贝尔群都是自由阿贝尔群。
　　有理数的加法群问Q提供了一个非自由阿贝尔群的无扭（但不是有限生成）阿贝尔群的示例。一个原因Q不是自由阿贝尔是它是可分的，这意味着，对于每个元素X∈Q和每个非零整数n,可以表示X作为标量倍数ny另一个元素的y=x/n.相反，非平凡的自由阿贝尔群永远不可整除，因为在自由阿贝尔群中，基本元素不能表示为其他元素的倍数。
　　对称
　　任何群的对称性都可以描述为群自同构，即从群到自身的可逆同态。在非阿贝尔群中，这些被进一步细分为内自同构和外自同构，但在阿贝尔群中，所有非恆等自同构都是外自同构。它们在组合操作下形成另一个群，即给定群的自同构群。有限秩自由阿贝尔群的自同构群n是一般线性群GL⁡(n,Z)，可以具体描述为（对于自由自同构群的特定基）为n×n矩阵乘法运算下的可逆整数矩阵。它们在自由阿贝尔群上的作用是对称的Z^n只是矩阵向量乘法。
　　两个无限秩自由阿贝尔群的自同构群具有彼此相同的一阶理论，当且仅当从二阶逻辑的角度来看它们的秩是等价的基数。这个结果取决于对合的结构自由阿贝尔群的自同构是它们自己的逆。给定一个自由阿贝尔群的基，可以找到将任何一组不相交的基元素相互映射到彼此的对合，或者否定任何选定的基元素子集，而使其他基元素保持不变。相反，对于自由阿贝尔群的每一次对合，我们都可以找到该群的一个基，该群的所有基元素都成对交换、取反或通过对合保持不变。
　　与其他群体的关係
　　如果一个自由阿贝尔群是两个群的商A/B，然后一个是直接和B⊕A/B.
　　给定任意阿贝尔群A,总是存在一个自由阿贝尔群F和一个满射群同态F至A.一种在给定组上构建超射的方法一个是让F=Z^(A)成为自由阿贝尔群一个，表示为正式总和。然后可以通过将形式和映射到F到相应的成员总和A.也就是说，投影图
　　
　　在哪裡aₓ是基元的整数係数eₓ在给定的正式总和中，第一个总和是F，第二个总和在A.这个满射是扩展函数的唯一群同态eₓ↦x，因此它的构造可以看作是通用属性的一个实例。
　　什麽时候F和A如上，内核G的从F至A也是自由阿贝尔的，因为它是F（映射到身份的元素子组）。因此，这些组形成一个短的精确序列
　　0→G→F→A→0
　　其中F和G都是自由阿贝尔和一个与因子组同构F/G.这是一个免费的解决方案一个.此外，假设选择公理，自由阿贝尔群正是阿贝尔群范畴中的射影对象。
　　应用
　　代数拓扑
　　在代数拓扑中，一个形式的和k维单纯形称为k-chain，自由阿贝尔群有一个集合k-单纯形作为其基础称为链组。单纯形通常取自一些拓扑空间，例如作为k-单纯复形中的单纯形，或单数的集合k-流形中的单纯形。任何k维单纯形的边界可以表示为(k-1)维单纯形和自由阿贝尔群的普遍性质允许这个边界算子扩展到一个群同态k-链到(k-1)-链条。以这种方式由边界算子连接起来的链群系统形成链複合体，链複合体的研究形成了同调理论的基础。
　　代数几何与復分析
　　複数上的每个有理函数都可以与復数的有符号多重集相关联cᵢ，函数的零点和极点（其值为零或无穷大的点）。多样性mᵢ这个多重集中的一个点是它作为函数零的顺序，或者它作为一个极点的顺序的否定。然后函数本身可以从这些数据中恢復，直到一个标量因子，如
　　F(q)=∏(q-cᵢ)mᵢ.
　　如果这些多重集被解释为複数上的自由阿贝尔群的成员，那麽两个有理函数的乘积或商对应于两个群成员的和或差。因此，有理函数的乘法群可以分解为複数的乘法群（每个函数的相关标量因子）和復数上的自由阿贝尔群。在无穷远处具有非零极限值的有理函数（黎曼球面上的亚纯函数）形成该群的一个子群，其中多重性之和为零。
　　在代数几何中，这种构造已被推广到除数的概念。除数有不同的定义，但一般来说，它们构成了代数变体的余维子变体的抽象，即多项式方程组的解点集。在方程组有一个自由度的情况下（它的解形成代数曲线或黎曼曲面），当一个子变量由孤立的点组成时，它有一个余维数，在这种情况下，一个除数又是一个有符号的多点集从品种。[48]紧黎曼曲面上的亚纯函数有有限多个零点和极点，它们的除数在曲面上的点上形成一个自由阿贝尔群的子群，函数的乘法或除法对应于群元素的加法或减法。要成为除数，自由阿贝尔群的元素必须具有多重性总和为零，并且满足取决于表面的某些附加约束。
　　群环
　　整群环Z[G],对于任何组G,是一个环，其加性群是自由阿贝尔群G.当G是有限和阿贝尔的，单位的乘法群Z[G]具有有限群和有限生成自由阿贝尔群的直积的结构。
　　有理函数z⁴/(z⁴-1)在0处有一个四阶零（图中心的黑点），在四个複数处有一个简单的极点±1和±i（四个花瓣末端的白点）。它可以由除数表示（最多为标量）4e₀-e₁-e₋₁-eᵢ-e₋ᵢ在哪裡ez是複数的基元素z在復数上的自由阿贝尔群中。