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连续统假设
在数学中，连续统假设（缩写为CH）是关于无限集的可能大小的假设。它指出
不存在其基数严格介于整数和实数之间的集合，
或等效地，即
实数的任何子集都是有限的、可数无限的，或者俱有与实数相同的基数。
在选择公理(ZFC)的Zermelo-Fraenkel集合论中，这等价于以下aleph数方程：2^ℵ₀=ℵ₁，甚至更短的贝丝号码：ℶ₁=ℵ₁.
连续统假设是由GeorgCantor在1878年提出的，确定其真假是希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第一个。这个问题的答案与ZFC无关，因此无论是连续统假设还是它的否定可以作为公理添加到ZFC集合论中，当且仅当ZFC一致时，所得理论才是一致的。这种独立性在1963年由PaulCohen证明，补充了KurtGödel在1940年的早期工作。
假设的名称来自实数的连续统这一术语。
历史
康托尔相信连续统假设是正确的，并且多年来试图证明它是徒劳的。它成为大卫希尔伯特1900年在巴黎举行的国际数学家大会上提出的重要未决问题列表中的第一个。公理化集合论当时还没有形成。KurtGödel在1940年证明了对连续统假设的否定，即具有中间基数的集合的存在，在标准集合论中是无法证明的。连续统假设的独立性的后半部分——即不存在中等大小的集合的不可证明性——由PaulCohen于1963年证明.
无限集的基数
如果两个集合之间存在双射（一一对应），则称这两个集合具有相同的基数或基数。直观地说，两个集合S和T具有相同的基数意味着可以将S的元素与T的元素“配对”，使得S的每个元素都与T的一个元素配对，反之亦然反之亦然。因此，集合{banana,apple,pear}与{yellow,red,green}具有相同的基数。
对于无限集，例如整数集或有理数集，两个集之间的双射存在变得更加难以证明。有理数似乎形成了连续统假设的反例：整数构成了有理数的真子集，而有理数本身又形成了实数的真子集，因此直观地说，有理数比整数多，实数比有理数多。然而，这种直观的分析是有缺陷的；它没有适当考虑所有三个集合都是无限的这一事实。事实证明，有理数实际上可以与整数一一对应，因此有理数集的大小相同（基数)作为整数集：它们都是可数集。
康托尔给出了两个证明整数集的基数严格小于实数集的基数（参见康托尔的第一个不可数性证明和康托尔的对角线论证）。然而，他的证明没有表明整数的基数小于实数的基数的程度。康托尔提出了连续统假设作为这个问题的可能解决方案。
连续统假设指出实数集具有最小可能基数，该基数大于整数集的基数。也就是说，实数的每个集合S可以一对一映射到整数中，或者实数可以一对一映射到S中。由于实数与整数的幂集是等量的，|R|=2^ℵ₀连续统假设说不存在集合S为此ℵ₀<|S|<2^ℵ₀.
假设选择公理，有一个最小的基数ℵ₁比...更棒ℵ₀，而连续统假设又等价于等式2^ℵ₀=ℵ₁.
独立于ZFC
Zermelo-Fraenkel集合论(ZF)的连续统假设(CH)的独立性来自KurtGödel和PaulCohen的联合工作。
Gödel表明，即使採用选择公理(AC)（製作ZFC），也无法从ZF中反驳CH。哥德尔的证明表明，CH和AC在可构造宇宙L中成立，这是ZF集合论的内部模型，仅假设ZF的公理。ZF的内部模型的存在，其中附加公理成立，表明附加公理与ZF一致，前提是ZF本身是一致的。由于哥德尔的不完备性定理，后一种条件不能在ZF本身中得到证明，但被广泛认为是正确的，并且可以在更强的集合论中得到证明。
Cohen表明不能从ZFC公理证明CH，从而完成了整体独立性证明。为了证明他的结果，科恩开发了强制方法，该方法已成为集合论中的标准工具。本质上，这种方法从一个CH成立的ZF模型开始，并以CH在新模型中不成立的方式构造另一个包含比原始模型更多的集合的模型。1966年，科恩因其证明而获得菲尔兹奖。
刚刚描述的独立性证明表明，CH独立于ZFC。进一步的研究表明，在ZFC的背景下，CH独立于所有已知的大基数公理。此外，已经证明连续统的基数可以是任何符合König定理的基数。在Cohen关于连续统假设的独立性的结果之后不久，Solovay的结果表明，在ZFC的任何模型中，如果κ是一个不可数共尾的基数，那麽有一个强制扩展，其中2^ℵ₀=κ.然而，根据König定理，假设并不一致2^ℵ₀是ℵω或者ℵω1+ω或任何具有共定性的大基数ω.
连续统假设与分析、点集拓扑和测度论中的许多陈述密切相关。由于其独立性，这些领域中的许多实质性猜想随后也被证明是独立的。
独立于ZFC意味着在ZFC内证明或反驳CH是不可能的。然而，哥德尔和科恩的否定结果并未被普遍接受为消除了对连续统假设的所有兴趣。希尔伯特的问题仍然是一个活跃的研究课题。有关当前研究状况的概述，请参见Woodin和PeterKoellner
连续统假设并不是第一个被证明独立于ZFC的陈述。哥德尔不完备定理1931年发表的一个直接后果是，假设ZFC是一致的，有一个正式的声明（每个适当的哥德尔编号方案一个）表示独立于ZFC的ZFC的一致性。连续统假设和选择公理是最早被证明独立于ZF集合论的数学陈述之一。
支持和反对连续统假设的论据
哥德尔认为CH是错误的，他证明CH与ZFC一致的证明仅表明策梅洛-弗兰克尔公理不能充分錶徵集合的全域。哥德尔是一个柏拉图主义者，因此在独立于可证明性的情况下断言陈述的真假没有问题。Cohen，虽然是一个形式主义者，也倾向于拒绝CH。
从历史上看，支持“丰富”和“大”集合宇宙的数学家反对CH，而那些支持“整洁”和“可控”宇宙的数学家则支持CH。支持和反对可构造性公理的平行论据，这意味着CH。最近，MatthewForeman指出本体论极大主义实际上可以用来支持CH，因为在具有相同实数的模型中，具有“更多”实数集的模型更有可能满足CH。
另一种观点是集合的概念不足以确定CH是真还是假。这个观点早在1923年由Skolem提出，甚至在哥德尔的第一个不完备定理之前。斯科勒姆基于现在被称为斯科勒姆悖论的东西进行论证，后来它得到了CH与ZFC公理的独立性的支持，因为这些公理足以建立集合和基数的基本性质。为了反对这一观点，证明直觉支持的新公理并在一个或另一个方向上解决CH就足够了。儘管可构造性公理确实解决了CH，它通常不被认为是直觉上正确的，就像CH通常被认为是错误的一样。
至少已经提出了另外两个对连续统假设有影响的公理，儘管这些公理目前尚未在数学界得到广泛接受。1986年，ChrisFreiling提出了一个反对CH的论点，表明CH的否定等同于Freiling的对称公理，这是通过对概率的特定直觉进行争论而得出的陈述。Freiling相信这个公理是“直觉上正确的”，但其他人不同意。
自2000年以来，W.HughWoodin提出的反对CH的困难论点引起了相当大的关注。Foreman并没有完全拒绝Woodin的论点，而是敦促谨慎行事。Woodin提出了一个新假设，他将其标记为(*)-axiom"或“Staraxiom”。Star公理意味着2^ℵ₀是ℵ₂，从而证伪了CH。星公理得到了2021年5月独立证明的支持，证明星公理可以从马丁最大值的变体中推导出来。然而，伍丁在2010年代表示，基于他对新的“终极L”猜想的信念，他现在相信CH是真实的。
SolomonFeferman认为CH不是一个明确的数学问题。他使用ZF的半直觉子系统提出了“确定性”理论，该子系统接受有界量词的经典逻辑，但对无界量词使用直觉逻辑，并提出一个命题φ如果半直觉主义理论可以证明，则在数学上是“确定的”(φ∨¬φ).根据这个概念，他推测CH是不确定的，并建议因此应该认为CH不具有真值。PeterKoellner对Feferman的文章发表了批评性评论。
JoelDavidHamkins提出了一种多元宇宙的集合论方法，并认为“连续统假设是基于我们对多元宇宙中行为方式的广泛了解而建立在多元宇宙观点上的，因此，它不能再以这种方式解决以前希望的”。在相关的脉络中，SaharonShelah写道，他“不同意纯柏拉图式的观点，即集合论中的有趣问题可以被决定，我们只需要发现额外的公理。我的心理图景是我们有许多可能的集合论，都符合ZFC”。
广义连续统假设
广义连续统假设(GCH)指出，如果无限集的基数介于无限集S的基数和幂集的基数之间P(S)的S，则它具有与S或P(S).也就是说，对于任何无限基数λ没有大基数κ这样λ<κ<2^λ.GCH等价于：
ℵα+1=2^ℵα对于每个序数α（有时称为康托尔的阿列夫假设）。
贝斯数字为这种情况提供了另一种表示法：ℵα=ℶα对于每个序数α.连续统假设是序数的特例α=1.GCH最初是由PhilipJourdain提出的。有关GCH的早期历史，请参阅Moore。
与CH一样，GCH也独立于ZFC，但Sierpiński证明ZF+GCH蕴含选择公理（AC）（因此是确定性公理AD的否定），因此选择和GCH在ZF中不独立；没有GCH成立而AC失败的ZF模型。为了证明这一点，Sierpiński证明了GCH意味着每个基数n都小于某个aleph数，因此可以排序。这是通过证明n小于2^ℵ₀+n它小于它自己的Hartogs数——这使用了等式2^ℵ₀+n=2⋅2^ℵ₀+n;有关完整证明，请参阅Gillman。
KurtGödel表明GCH是ZF+V=L的结果（每个集合都相对于序数可构造的公理），因此与ZFC一致。由于GCH隐含CH，因此Cohen的CH失败模型是GCH失败的模型，因此GCH不能从ZFC证明。W.B.Easton使用Cohen开发的强制方法来证明Easton定理，这表明它与ZFC对于任意大的基数是一致的ℵα不能满足2^ℵα=ℵα+1.很久以后，福尔曼和伍丁证明（假设非常大的红衣主教的一致性）它是一致的2^κ>κ+对每一个无限基数都成立κ.后来伍丁通过展示2^κ=κ++对于每个κ.CarmiMerimovich表明，对于每个n≥1，与ZFC一致的是，对于每个κ，2κ是κ的第n个后继。另一方面，LászlóPatai证明如果γ是一个序数并且对于每个无限基数κ，2κ是κ的第γ个后继，那麽γ是有限的。
对于任何无限集A和B，如果存在从A到B的注入，则存在从A的子集到B的子集的注入。因此，对于任何无限基数A和B，A<B→2^A≤2^B.如果A和B是有限的，则更强的不等式A<B→2^A<2^B持有。GCH意味着这种严格的、更强的不等式适用于无限基数和有限基数。
GCH对基数取幂的影响
虽然广义连续统假设仅直接涉及以2为底的基数取幂，但可以从中推导出基数取幂的值ℵαℵβ在所有情况下。GCH暗示：
ℵα^ℵβ=ℵβ+1当α≤β+1时；
ℵα^ℵβ=ℵα当β+1<α并且ℵβ<cf(ℵα)，其中cf是共定性操作；和
ℵα^ℵβ=ℵα+1当β+1<α并且ℵβ≥cf(ℵα).
第一个等式（当α≤β+1时）来自：
ℵα^ℵβ≤ℵβ^ℵβ+1=(2^ℵβ)ℵβ=2^ℵβ⋅ℵβ=2^ℵβ=ℵβ+1，儘管：
ℵβ+1=2^ℵβ≤ℵα^ℵβ;
第三个等式（当β+1<α并且ℵβ≥参考(ℵα))来自：
ℵα^ℵβ≥ℵα^cf(ℵα)>ℵα，由König定理，而：
ℵα^ℵβ≤ℵα^ℵα≤(2^ℵα)ℵα=2^ℵα⋅ℵα=2^ℵα=ℵα+1
其中，对于每个γ，GCH用于等式2^ℵγ\和ℵγ+1\;ℵγ/2=ℵγ被使用，因为它等价于选择公理。
选择公理
在数学中，选择公理或AC是集合论的公理，相当于非空集合的笛卡尔积是非空的陈述。通俗地说，选择公理是说，给定任何bin集合，每个bin至少包含一个对象，可以通过从每个bin中任意选择一个对象来构造一个集合，即使该集合是无限的。正式地，它指出对于每个索引家庭(Sᵢ)i∈Ｉ非空集，存在一个索引集(xᵢ)i∈Ｉ这样xᵢ∈Sᵢ对于每个i∈Ｉ.选择公理是ErnstZermelo在1904年制定的，目的是形式化他对良序定理的证明。
在许多情况下，任意选择元素产生的集合可以在不调用选择公理的情况下生成。如果从中选择元素的集合的数量是有限的，或者关于如何选择元素的规范规则可用，则尤其如此-某些区别属性恰好适用于每个集合中的一个元素。一个说明性示例是从自然数中挑选的集合。从这样的集合中，人们总是可以选择最小的数字，例如给定集合{{4,5,6},{10,12},{1,400,617,8000}}，包含每个最小元素的集合是{4,10,1}。在这种情况下，“选择最小的数字”是一个选择函数.即使从自然数中收集了无限多的集合，也总是可以从每个集合中选择最小的元素来生成一个集合。也就是说，选择函数提供了一组被选择的元素。但是，对于实数的所有非空子集的集合（如果存在不可构造的实数），没有确定的选择函数。在这种情况下，必须调用选择公理。
伯特兰·罗素（BertrandRussell）创造了一个类比：对于任何（甚至无限）的鞋子集合，可以从每对中挑选出左边的鞋子来获得合适的鞋子集合（即集合）；这使得直接定义选择函数成为可能。对于一对袜子的无限集合（假设没有显着特徵），没有明显的方法可以在不调用选择公理的情况下，从每对袜子中选择一个形成一个集合的函数。
儘管最初存在争议，但选择公理现在被大多数数学家毫无保留地使用，并且它包含在公理集合论的标准形式中，即带有选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论(ZFC)。这种使用的一个动机是许多普遍接受的数学结果，例如Tychonoff定理，需要选择公理来证明。当代集合论者还研究与选择公理不相容的公理，例如确定性公理。在某些构造性数学中避免了选择公理，儘管有各种各样的建设性数学都包含了选择公理。
选择公理的图示，每个Si表示为一个罐子，其元素表示为弹珠。每个xi都表示为右侧的弹珠。应用选择公理后，颜色用于突出弹珠的关联。
(Si)是在实数R上索引的无限索引集合族；也就是说，每个实数i都有一个集合Si，上面显示了一个小样本。每个集合至少包含一个，并且可能无限多的元素。选择公理允许我们从每个集合中任意选择一个元素，形成一个相应的元素族(xi)也索引在实数上，其中xi来自Si。通常，集合可以在任何集合上进行索引I,（称为索引集，其中元素用作集合中元素的索引）而不仅仅是R。
陈述
选择函数（也称为选择器或选择）是一个函数f，定义在非空集合的集合X上，使得对于X中的每个集合A，f(A)是A的一个元素。有了这个概念，公理可以表述为：
公理——对于任何非空集合的集合X，存在一个选择函数f，它定义在X上并将X的每个集合映射到集合的一个元素。
形式上，这可以表示如下：
∀X[∅∉X⟹∃F：X→⋃X∀A∈X(F(A)∈A)].
因此，选择公理的否定表明存在一个没有选择函数的非空集合的集合。(p→q⟺¬[p∧(¬q)]，所以¬(p→q)⟺p∧(¬q)在哪裡¬是否定的。）
非空集合集合X上的每个选择函数都是X中集合的笛卡尔积的一个元素。这不是集合族的笛卡尔积的最一般情况，其中给定集合可以作为一个因子出现不止一次；然而，人们可以关注这种产品的元素，每次给定集合作为因子出现时选择相同的元素，并且这些元素对应于该族中所有不同集合的笛卡尔积的元素。选择公理断言这些元素的存在；因此它相当于：
给定任何非空集族，它们的笛卡尔积都是非空集。
命名法ZF、AC和ZFC
在本文和关于选择公理的其他讨论中，以下缩写很常见：
AC——选择公理。
ZF–Zermelo-Fraenkel集合论省略了选择公理。
ZFC–Zermelo-Fraenkel集合论，扩展到包括选择公理。
变体
选择公理还有许多其他等价的陈述。这些在某种意义上是等价的，在存在集合论的其他基本公理的情况下，它们暗示了选择公理并被它所暗示。
一种变体通过实际上用其范围替换每个选择函数来避免使用选择函数。
给定任何成对不相交非空集合的集合X，至少存在一个集合C，它包含与X中的每个集合完全相同的一个元素。
这保证了集合X的任何分区都存在X的子集C，该子集C恰好包含来自分区每个部分的一个元素。
另一个等价的公理只考虑本质上是其他集合的幂集的集合X：
对于任何集合A，A的幂集（去掉空集）都有一个选择函数。
使用此公式的作者经常谈到A上的选择函数，但这是一个略有不同的选择函数概念。它的域是A的幂集（删除了空集），因此对于任何集合A都有意义，而根据本文其他地方使用的定义，集合集合上的选择函数的域是该集合，所以只对集合有意义。有了这个选择函数的替代概念，选择公理可以紧凑地表述为
每个集合都有一个选择功能。
这相当于
对于任何集合A都有一个函数f使得对于A的任何非空子集B，f(B)位于B中。
因此，公理的否定可以表示为：
有一个集合A使得对于所有函数f（在A的非空子集的集合上），有一个B使得f(B)不位于B中。
对有限集的限制
选择公理的通常陈述没有说明非空集的集合是有限的还是无限的，因此暗示每个非空集的有限集合都有一个选择函数。然而，这种特殊情况是没有选择公理（ZF）的策梅洛-弗兰克尔集合论的一个定理；用有限归纳原理很容易证明。在一个集合的更简单的情况下，一个选择函数只对应一个元素，所以选择公理的这个实例说每个非空集合都有一个元素；这是微不足道的。选择公理可以被看作是断言这个属性的泛化，对于有限集合来说已经很明显，可以推广到任意集合。
用法
直到19世纪后期，选择公理经常被隐含地使用，儘管它还没有被正式声明。例如，在确定集合X仅包含非空集合之后，数学家可能会说“让F(s)成为X中所有s的s的成员之一”来定义函数F。一般来说，如果没有选择公理，就不可能证明F存在，但这似乎直到Zermelo才被注意到。
例子
集合中各个非空集合的性质使得即使对于某些无限集合也可以避免选择公理。例如，假设集合X的每个成员都是自然数的非空子集。每个这样的子集都有一个最小的元素，所以要指定我们的选择函数，我们可以简单地说它将每个集合映射到该集合的最小元素。这使我们可以从每个集合中明确选择一个元素，并且无需将选择公理添加到我们的集合论公理中。
当没有从每组中自然选择元素时，就会出现困难。如果我们不能做出明确的选择，我们怎麽知道我们的选择形成了一个合法的集合（由集合论的其他ZF公理定义）？例如，假设X是实数的所有非空子集的集合。首先，我们可以试着假设X是有限的。如果我们试图从每个集合中选择一个元素，那麽，因为X是无限的，我们的选择过程将永远不会结束，因此，我们将永远无法为所有X产生选择函数.接下来我们可能会尝试从每个集合中指定最少的元素。但是实数的某些子集没有最少的元素。例如，开区间(0,1)没有最小元素：如果x在(0,1)中，则x/2也是如此，并且x/2始终严格小于x。所以这个尝试也失败了。
此外，考虑例如单位圆S和由所有有理旋转组成的组G对S的作用。即，这些旋转角度是π的有理倍数。这裡G是可数的，而S是不可数的。因此S在G下分解成无数个轨道。使用选择公理，我们可以从每个轨道中选择一个点，获得S的不可数子集X，其属性是所有由G翻译的都与X不相交.这些集合将圆划分为不相交集合的可数集合，这些集合都是成对全等的。由于X对于S上的任何旋转不变可数加法有限测度都是不可测量的，因此找到一种算法来通过选择每个轨道中的一个点来形成一个集合需要将选择公理添加到我们的集合论公理中。有关详细信息，请参阅不可测量集。
我们能够从自然数的子集中选择最小元素的原因是自然数是良序的：自然数的每个非空子集在自然排序下都有一个唯一的最小元素。有人可能会说：“即使实数的通常排序不起作用，也有可能找到一种不同的实数排序，这是一个良好的排序。然后我们的选择函数可以选择每个集合中的最小元素在我们不寻常的命令下。”然后问题就变成了构造一个良序的问题，结果证明它的存在需要选择公理；当且仅当选择公理成立时，每个集合都可以是良序的。
批评与接纳
一个需要选择公理的证明可以确定一个对象的存在，而无需用集合论的语言明确定义该对象。例如，虽然选择公理意味着实数的有序性，但有些集合论模型具有选择公理，其中无法定义实数的良序性。类似地，儘管使用选择公理可以证明非Lebesgue可测实数的一个子集存在，但一致的是，没有这样的集合是可定义的。
选择公理证明了这些无形资产（被证明存在，但无法明确构造的对象）的存在，这可能与某些哲学原理相冲突。因为所有集合都没有规范的良序，所以依赖良序的构造可能不会产生规范的结果，即使需要规范的结果（在范畴论中经常出现这种情况）。这已被用作反对使用选择公理的论据。
反对选择公理的另一个论据是，它暗示了看似违反直觉的对象的存在。一个例子是Banach-Tarski悖论，它说可以将3维实体单位球分解为有限多块，并且仅使用旋转和平移，将这些块重新组装成两个具有相同体积的实体球作为原版。使用选择公理构造的分解中的部分是不可测量的集合。
儘管有这些看似自相矛盾的事实，大多数数学家还是接受选择公理作为证明数学新结果的有效原则。然而，这场辩论很有趣，当ZFC中的定理（ZF加AC）在逻辑上等价于选择公理时（仅使用ZF公理），并且数学家寻找需要选择为假，儘管这种类型的演绎不如要求选择公理为真的类型常见。
有可能既不使用选择公理也不使用它的否定来证明许多定理；这样的陈述在任何ZF模型中都是正确的，无论该特定模型中选择公理的真假。对ZF的限制使得任何依赖于选择公理或其否定的主张都无法证明。例如，Banach-Tarski悖论仅从ZF既无法证明也无法证伪：不可能在ZF中构造所需的单位球分解，也无法证明不存在这样的分解。同样，下面列出的所有陈述]需要选择或某些较弱版本的证明在ZF中是不可证明的，但由于每个在ZF中加上选择公理都是可证明的，因此存在ZF模型，其中每个陈述都是正确的。诸如Banach-Tarski悖论之类的语句可以改写为条件语句，例如，“如果AC成立，则存在Banach-Tarski悖论中的分解。”当原始陈述可从ZF和选择公理证明时，此类条件陈述在ZF中是可证明的。
在建设性数学中
如上所述，在ZFC中，选择公理能够提供“非构造性证明”，其中虽然没有构造明确的示例，但可以证明对象的存在。然而，ZFC仍然以经典逻辑形式化。在使用非经典逻辑的建设性数学的背景下，也对选择公理进行了深入研究。选择公理的地位在不同种类的建设性数学之间有所不同。
在Martin-Löf类型理论和高阶Heyting算术中，选择公理的适当陈述（取决于方法）作为公理包括在内或作为定理可证明。ErrettBishop认为选择公理在建设性上是可以接受的，他说
选择函数存在于建设性数学中，因为选择是由存在的意义所暗示的。
然而，在建设性集合论中，迪亚康内斯库定理表明，选择公理意味着排中律（与Martin-Löf类型理论不同，它没有）。因此，选择公理在建设性集合论中通常不可用。造成这种差异的一个原因是类型论中的选择公理不具有建设性集合论中的选择公理所具有的外延性质。
建设性集合论中的一些结果使用了可数选择公理或依赖选择公理，这并不意味着建设性集合论中的排中律。儘管可数选择公理在构造数学中特别常用，但它的使用也受到质疑。
独立
1938年，KurtGödel通过构建一个满足ZFC的内部模型（可构造宇宙）证明了选择公理的否定不是ZF的定理，从而表明如果ZF本身是一致的，则ZFC是一致的。1963年，PaulCohen採用了为此目的而开发的强制技术来证明，假设ZF是一致的，选择公理本身就不是ZF的定理。他通过构建一个更複杂的模型来做到这一点，该模型满足ZF-C（ZF加上AC的否定作为公理），从而表明ZF-C是一致的。
这些结果共同证明了选择公理在逻辑上独立于ZF。ZF是一致的假设是无害的，因为在已经不一致的系统中添加另一个公理不会使情况变得更糟。由于独立性，不能通过求助于集合论的其他公理来决定是否在证明中使用选择公理（或其否定公理）。该决定必须基于其他理由。
支持使用选择公理的一个论据是使用它很方便，因为它允许人们证明一些否则无法证明的简化命题。许多使用选择可证明的定理具有优雅的一般特徵：任何两个集合的基数是可比的，每个非平凡环都有一个最大理想，每个向量空间都有一个基，每个连通图都有一个生成树，并且每个紧緻空间的乘积是紧緻的，等等。如果没有选择公理，这些定理可能不适用于大基数的数学对象。
独立性结果的证明还表明，当且仅当它们在ZFC中可证明时，包括所有可以用Peano算术语言表达的语句在内的大量数学语句在ZF中是可证明的。此类中的陈述包括P=NP的陈述、黎曼假设和许多其他未解决的数学问题。当尝试解决此类问题时，如果唯一的问题是是否存在证明，则使用ZF或ZFC没有区别。然而，来自ZFC的定理证明可能比来自ZF的更短。
选择公理并不是唯一独立于ZF的重要陈述。例如，广义连续统假设（GCH）不仅独立于ZF，而且独立于ZFC。然而，ZF加GCH意味着AC，使得GCH比AC更严格，即使它们都独立于ZF。
更强的公理
可构造性公理和广义连续统假设都暗含了选择公理，因此严格地强于它。在诸如冯诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论和莫尔斯-凯利集合论的类理论中，有一个公理叫做全局选择公理，它比集合的选择公理更强，因为它也适用于适当的类。全局选择公理源于大小限制公理。Tarski公理，用于Tarski-Grothendieck集合论，并指出（用白话来说）每个集合都属于某个Grothendieck宇宙,比选择公理强。
等价物
有一些重要的陈述，假设ZF的公理既不是AC也不是¬AC，等价于选择公理。其中最重要的是Zorn引理和良序定理。事实上，Zermelo最初引入选择公理是为了形式化他对良序定理的证明。
集合论
塔斯基关于选择的定理：对于每个无限集合A，在集合A和A×A之间存在一个双射映射。
三分法：如果给定两个集合，那麽它们要么具有相同的基数，要么一个具有比另一个小的基数。
给定两个非空集，一个对另一个有一个凸射。
每个满射函数都有一个右逆。
任何非空集族的笛卡尔积都是非空的。换句话说，每个非空集合族都有一个选择函数（即将每个非空集合映射到其元素之一的函数）。
König定理：通俗地说，一个基数序列的总和严格小于一个较大基数序列的乘积。（“口语化”一词的原因是，如果没有选择公理的某些方面，就无法定义基数“序列”的总和或乘积。）
良序定理：每个集合都可以是良序的。因此，每个基数都有一个初始序数。
偏序集S的每个元素都是S中没有严格上界的良序子集的最小元素。
Zorn引理：每条链（即全序子集）都有一个上限的非空部分有序集合包含至少一个最大元素。
Hausdorff极大原理：每个偏序集都有一个极大鍊。等效地，在任何偏序集中，每条链都可以扩展为最大鍊。
Tukey引理：每个有限字符的非空集合都有一个关于包含的最大元素。
反链原理：每一个偏序集都有一个最大的反链。等效地，在任何部分有序集合中，每个反链都可以扩展为最大反链。
抽象代数
每个向量空间都有一个基（即，一个线性独立的跨越子集）。换句话说，向量空间等价于自由模块。
克鲁尔定理：每个单位环（平凡环除外）都包含一个极大理想。等效地，在任何非平凡的单位环中，每个理想都可以扩展为极大理想。
对于每一个非空集S都有一个在S上定义的二元运算，它给它一个组结构。（抵消二元运算就足够了，请参见群结构和选择公理。）
每个自由阿贝尔群都是射影的。
贝尔准则：每一个可整除的阿贝尔群都是单射的。
每个集合都是集合集合范畴中的一个射影对象。
功能分析
实数上的范数向量空间对偶的闭单位球有一个极值点。
点集拓扑
任何连通拓扑空间族的笛卡尔积都是连通的。
Tychonoff定理：任何紧緻拓扑空间族的笛卡尔积都是紧緻的。
在乘积拓扑中，子集乘积的闭包等于闭包的乘积。
数理逻辑
如果S是一阶逻辑句子的集合，B是S的一致子集，则B包含在S的一致子集中最大的集合中。S是给定签名中所有一阶句子的集合的特殊情况较弱，相当于布尔素数理想定理；请参阅下面的“较弱形式”部分。
代数拓扑
每个连通图都有一个生成树。等效地，每个非空图都有一个生成森林。
范畴论
范畴论中有几个结果调用了选择公理来证明它们。这些结果可能弱于、等于或强于选择公理，这取决于技术基础的强度。例如，如果用集合来定义范畴，即对象和态射的集合（通常称为小范畴），甚至局部小范畴，其hom对像是集合，那麽就不存在所有集合的范畴，因此范畴论公式很难应用于所有集合。另一方面，范畴论的其他基本描述要强得多，并且相同的范畴论选择陈述可能比上面提到的标准表述（即类论）更强。
需要选择的范畴论陈述的例子包括：
每个小品类都有一个骨架。
如果两个小范畴弱等价，那麽它们是等价的。
满足适当解集条件的小完备范畴上的每个连续函子都有一个左伴随（Freyd伴随函子定理）。
较弱的形式
有几个较弱的陈述不等价于选择公理，但密切相关。一个例子是依赖选择公理（DC）。一个更弱的例子是可数选择公理（ACω或CC），它指出对于任何非空集的可数集都存在选择函数。这些公理对于初等数学分析中的许多证明是足够的，并且与一些原则相一致，例如所有实数集的勒贝格可测性，这些原则不能从完整的选择公理中证明。
其他比选择公理弱的选择公理包括布尔素理想定理和均匀化公理。前者在ZF中等同于Tarski1930年的超滤引理：每个过滤器都是某些超滤器的子集。
需要AC（或更弱的形式）但比它弱的结果
选择公理最有趣的方面之一是它出现在数学中的大量位置。以下是一些需要选择公理的陈述，因为它们不能从ZF证明，但可以从ZFC（ZF加AC）证明。同样，这些陈述在ZFC的所有模型中都是正确的，但在ZF的某些模型中是错误的。
集合论
超滤引理（使用ZF）可用于证明有限集的选择公理：给定Ｉ≠∅和一个集合(Xᵢ)i∈Ｉ非空有限集，它们的乘积∏i∈ＩXᵢ不是空的。
任何可数集的可数族的并集都是可数的（这需要可数选择，而不是完整的选择公理）。
如果集合A是无限的，则存在从自然数N到A的注入（参见Dedekind无限）。
有限集的八个定义是等价的。
每一场无限游戏Gs其中S是Baire空间的Borel子集。
测量理论
关于存在不可测集的维塔利定理指出，有一个实数的子集不是勒贝格可测的。
豪斯多夫悖论。
巴拿赫-塔斯基悖论。
代数
每个域都有一个代数闭包。
每一个领域的延伸都有一个超越的基础。
每个无限维向量场都包含一个无限的线性独立子集（这需要依赖选择，但不是完整的选择公理）。
斯通对布尔代数的表示定理需要布尔素理想定理。
Nielsen-Schreier定理，自由群的每个子群都是自由的。
R和C的加成基团是同构的。
功能分析
泛函分析中的Hahn-Banach定理，允许线性泛函的扩展
每个希尔伯特空间都有一个正交基的定理。
关于泛函集紧緻性的Banach-Alaoglu定理。
关于完整度量空间的Baire范畴定理及其结果，例如开映射定理和闭图定理。
在每个无限维拓扑向量空间上都有一个不连续的线性映射。
一般拓扑
一个均匀空间是紧的当且仅当它是完全且完全有界的。
每个Tychonoff空间都有一个Stone-Čech紧化。
数理逻辑
一阶逻辑的哥德尔完备性定理：每一个一致的一阶句子集合都有一个补全。也就是说，每个一致的一阶句子集都可以扩展为最大一致集。
紧緻定理：如果Σ是一组一阶（或者，零阶）句子，使得每个有限子集Σ有一个模型，那麽Σ有一个模型。
AC的可能等效含义
AC隐含了几个历史上重要的集合论陈述，它们与AC的等价性是开放的。在AC本身之前製定的划分原则被Zermelo引用为相信AC的理由。1906年，Russell宣布PP是等价的，但划分原理是否蕴含AC仍然是集合论中最古老的开放问题，其他陈述的等价也是类似的困难的古老开放问题。在每个已知的选择失败的ZF模型中，这些陈述也失败了，但不知道它们是否可以在没有选择的情况下成立。
集合论
分区原则：如果从A到B有一个surjection，那麽从B到A有一个注入。等效地，集合S的每个分区P的大小都小于或等于S。
逆Schröder-Bernstein定理：如果两个集合彼此有凸射，则它们是等数的。
弱分区原则：集合S的一个分区不能严格大于S。如果WPP成立，这已经暗示了不可测集的存在。前三个陈述中的每一个都被前一个暗示，但不知道这些暗示中的任何一个是否可以逆转。
没有无限递减的基数序列。Schoenflies于1905年推测出等价性。
抽象代数
哈恩嵌入定理：每个有序阿贝尔群G序嵌入作为加性群的子群R^Ω具有字典顺序，其中Ω是G的阿基米德等价类的集合。哈恩在1907年推测了这种等价性。
AC否定的更强形式
如果我们用BP缩写声称每个实数集都具有Baire的性质，那麽BP比¬AC更强，它断言可能仅在单个非空集上不存在任何选择函数。强化否定可能与弱化形式的AC兼容。例如，如果ZF是一致的，则ZF+DC+BP是一致的。
每组实数都是勒贝格可测的，这也与ZF+DC一致；然而，由于RobertM.Solovay的这种一致性结果，不能在ZFC本身中得到证明，而是需要一个温和的大基数假设（存在一个不可访问的基数）。更强的确定性公理或AD意味着每个实数集都是Lebesgue可测的，具有Baire的性质，并且具有完美的集合性质（所有这三个结果都被AC本身驳斥了）。ZF+DC+AD是一致的，前提是一个足够强的大基数公理是一致的（存在无限多个伍丁基数）。
奎因的公理集合论系统“新基础”（NF）得名于1937年介绍它的文章的标题（“数学逻辑的新基础”）。在NF公理系统中，选择公理可以被证伪。
与AC的否定一致的陈述
在Zermelo-Fraenkel集合论的模型中，选择公理是错误的。我们将缩写为ZF-C的“Zermelo-Fraenkel集合论加上对选择公理的否定”。对于ZF-C的某些模型，可以证明对某些标准事实的否定。ZF-C的任何模型也是ZF的模型，因此对于以下每个陈述，都存在一个ZF模型，其中该陈述为真。
有一个集合可以严格划分为比原始集合具有更多等价类的元素，以及一个域严格小于其范围的函数。事实上，所有已知模型都是这种情况。
有一个从实数到实数的函数f使得f在a处不连续，但f在a处是顺序连续的，即对于任何收敛到a的序列{xn}，limnf(xn)=f(a)。
有一个无限的实数集，没有可数无限的子集。
实数是可数集的可数并集。这并不意味着实数是可数的：如上所述，要证明可数集合的可数并集本身是可数的，需要可数选择公理。
有一个没有代数闭包的域。
在ZF-C的所有模型中，都有一个没有基的向量空间。
有一个向量空间有两个不同基数的基。
在可数个生成器上有一个免费的完整布尔代数。
有一个集合不能线性排序。
存在一个ZF-C模型，其中Rn中的每个集合都是可测的。因此，可以排除在ZFC中可以证明的违反直觉的结果，例如Banach-Tarski悖论。此外，这在假设依赖选择公理的情况下是可能的，该公理比AC弱，但足以开发大多数实际分析。
在ZF-C的所有模型中，广义连续统假设都不成立。
有关证明，请参见Jech(2008)。
此外，通过对集合施加可定义性条件（在描述性集合论的意义上），人们通常可以从与一般选择不相容的公理中证明选择公理的受限版本。例如，这齣现在Moschovakis编码引理中。
类型论中的选择公理
在类型论中，另一种陈述被称为选择公理。这种形式以两种类型开始，σ和τ，以及σ类型的对象和τ类型的对象之间的关係R。选择公理指出，如果对于每个σ类型的x存在一个τ类型的y使得R(x,y)，那麽存在从σ类型的对像到τ类型的对象的函数f使得R(x,f(x))对所有类型为σ的x成立：
(∀x^σ)(∃y^τ)R(x,y)→(∃f^σ→τ)(∀x^σ)R(x,f(x)).
与集合论不同，类型论中的选择公理通常被表述为公理方案，其中R在所有公式或特定逻辑形式的所有公式上变化。
选择公理显然是正确的，良序原则显然是错误的，谁知道Zorn引理？
—杰里·博纳
这是个笑话：虽然这三者在数学上都是等价的，但许多数学家发现选择公理是直观的，良序原理是违反直觉的，Zorn引理太複杂而无法凭直觉。
选择公理是从无数双袜子中选择一组而不是从无数双鞋中选择的必要条件。
——伯特兰·罗素
这裡的观察是，可以定义一个函数以从无数双鞋中进行选择，例如通过从每双中选择左鞋。如果没有选择公理，就不能断言这样的函数存在于成对的袜子上，因为左右袜子（大概）是无法区分的。
Tarski试图在ComptesRendus中发表他的定理[AC和“每个无限集A具有与A×A相同的基数”，见上文]之间的等价性，但Fréchet和Lebesgue拒绝展示它。Fréchet写道，两个众所周知的[真]命题之间的蕴涵并不是一个新的结果，而Lebesgue写道，两个假命题之间的蕴涵是没有意义的。
波兰裔美国数学家JanMycielski在2006年AMS通知中的一篇文章中提到了这一轶事。
公理之所以得名，不是因为数学家更喜欢它而不是其他公理。
—AK杜德尼
这句话出自1989年4月《科学美国人》计算机娱乐专栏中着名的愚人节文章。
靴子和袜子的比喻由Russell1993于1919年提出，第125-127页。他建议百万富翁可能有ℵ₀双靴子和ℵ₀双袜子。
在靴子中，我们可以区分左右，因此我们可以从每一对中选择一个，即我们可以选择所有右侧的靴子或所有左侧的靴子；但是对于袜子来说，没有这样的选择原则，而且除非我们假设乘法公理，否则我们不能确定每一对中都有一隻袜子组成的任何类别。
罗素通常使用术语“乘法公理”来表示选择公理。谈到可数无限的成对对象的排序，他写道：
用靴子做到这一点没有困难。这些对被给出为形成一个ℵ₀，因此作为一个级数的域。在每一对中，先取左靴子，再取右靴子，保持对子的顺序不变；通过这种方式，我们获得了所有靴子的进展。但是对于袜子，我们将不得不随意选择每一双，先放哪双；无限数量的任意选择是不可能的。除非我们能找到选择规则，即作为选择器的关係，否则我们甚至不知道选择在理论上是可能的。
罗素随后建议使用每隻袜子的质心位置作为选择器。