8

　　哥德尔的可构造宇宙L
　　在数学中，在集合论中，由L表示的可构造宇宙（或哥德尔可构造宇宙）是可以完全用更简单集合来描述的特定集合类。L是可构造层次结构Lα的并集。它是由KurtGödel在他193年的论文“选择公理和广义连续统假设的一致性”中介绍的。在这篇论文中，他证明了可构造宇宙是ZF集合论的一个内部模型（即Zermelo-Fraenkel集合论（不包括选择公理），并且选择公理和广义连续统假设在可构造宇宙中是正确的。这表明如果ZF本身是一致的，这两个命题都与集合论的基本公理一致。由于许多其他定理只在其中一个或两个命题都为真的系统中成立，所以它们的一致性是一个重要的结果。
　　L是什麽
　　L可以被认为是在类似于冯诺依曼宇宙V的构建的“阶段”中构建的。阶段由序数索引。在冯诺依曼的宇宙中，在后续阶段，将Vα+1作为前一阶段的所有子集Vα的集合。相比之下，在哥德尔的可构造宇宙L中，人们只使用前一阶段的那些子集：
　　可以用集合论的形式语言中的公式定义，
　　使用上一阶段的参数，并且，
　　量词被解释为在前一阶段的范围内。
　　通过将自己限制在仅根据已构建的内容定义的集合中，可以确保结果集合将以一种独立于集合论周围模型的特性并包含在任何此类模型中的方式构建。
　　定义
　　Def⁡(X):={{y∣y∈Xand(X,∈)⊨Φ(y,z₁,…,zₙ)}|Φisafirst-orderformulaandz₁,…,zₙ∈X}.
　　L由超限递归定义如下：
　　L₀:=∅.
　　Lα+1:=Def⁡(Lα).
　　如果λ是一个极限序数，那麽Lλ:=αω。另一方面，如果α=ωα（例如，如果α不可访问），V=L确实意味着Vα等于Lα。更一般地，对于所有无限基数α，V=L意味着Hα=Lα。
　　如果α是无限序数，则在Lα和α之间存在双射，并且该双射是可构造的。所以这些集合在任何包含它们的集合论模型中都是等量的。
　　如上所定义，Def(X)是由仅使用X及其元素作为参数的Δ0公式（关于Levy层次，即仅包含有界量词的集合论公式）定义的X子集的集合。[2]
　　另一个定义，由于哥德尔，将每个Lα+1描述为Lα的幂集与闭包的交集Lα∪{Lα}在九个显式函数的集合下，类似于哥德尔运算。这个定义没有提到可定义性。
　　ω的所有算术子集和关于ω的关係都属于Lω+1（因为算术定义在Lω+1中给出了一个）。相反，属于Lω+1的ω的任何子集都是算术的（因为Lω的元素可以用自然数编码，使得ε是可定义的，即算术）。另一方面，Lω+2已经包含ω的某些非算术子集，例如（自然数编码）真算术语句的集合（这可以定义为Lω+1所以它在Lω+2中）。
　　ω的所有超算术子集和ω上的关係属于LωCK/1（在哪裡ωCK/1代表Church-Kleene序数)，反之，任何属于ω的子集LωCK/1是超算术的。L是ZFC的标准内部模型
　　L是一个标准模型，即它是一个传递类，它使用真实的元素关係，所以它是有根据的。L是一个内部模型，即它包含V的所有序数，并且它没有超出V中的“额外”集合，但它可能是V的适当子类。L是ZFC的模型，这意味着它满足以下公理：
　　正则公理：每个非空集合x都包含一些元素y，使得x和y是不相交的集合。
　　(L,∈)是(V,∈)的子结构，是有根据的，所以L是有根据的。特别是，如果y∈x∈L，则由L的传递性，y∈L。如果我们使用与V中相同的y，那麽它仍然与x不相交，因为我们使用相同的元素关係并且没有添加新集合。
　　外延公理：如果两个集合具有相同的元素，则它们是相同的。
　　如果x和y在L中并且它们在L中具有相同的元素，则通过L的传递性，它们具有相同的元素（在V中）。所以它们是相等的（在V中，因此在L中）。
　　空集公理：{}是一个集合。
　　{}=L0={y|y∈L0和y=y}∈L1。所以{}∈L。由于元素关係相同并且没有添加新元素，因此这是L的空集。
　　配对公理：如果x,y是集合，则{x,y}是集合。
　　如果x∈L和y∈L，那麽有一些序数α使得x∈Lα和y∈Lα。然后{x,y}={s|s∈Lα和(s=x或s=y)}∈Lα+1。因此{x,y}∈L并且它对L的含义与对V的含义相同。
　　联合公理：对于任何集合x都有一个集合y，其元素恰好是x的元素的元素。
　　如果x∈Lα，那麽它的元素在Lα中并且它们的元素也在Lα中。所以y是Lα的一个子集。y={小号|s∈Lα并且存在z∈x使得s∈z}∈Lα+1.因此y∈L。
　　无穷公理：存在一个集合x使得{}在x中，并且只要y在x中，联合也是是的∪{是的}.
　　从超限归纳，我们得到每个序数α∈Lα+1。特别是，ω∈Lω+1，因此ω∈L。
　　分离公理：给定任意集合S和任意命题P(x,z1,...,zn),{x|x∈S和P(x,z1,...,zn)}是一个集合。
　　通过对P的子公式进行归纳，可以证明存在一个α，使得Lα包含S和z1，...，zn并且(P在Lα中为真当且仅当P在L中为真（这被称为“反射原理”））。所以{x|x∈S和P(x,z1,...,zn)在L}={x|x∈Lα和x∈S和P(x,z1,...,zn)在Lα}∈Lα+1中成立。因此子集在L中。
　　替换公理：给定任何集合S和任何映射（正式定义为命题P(x,y)，其中P(x,y)和P(x,z)暗示y=z),{y|存在x∈S使得P(x,y)}是一个集合。
　　令Q(x,y)为将P相对化为L的公式，即P中的所有量词都限于L。Q是一个比P複杂得多的公式，但它仍然是一个有限公式，并且由于P是L上的映射，Q必须是V上的映射；因此我们可以将V中的替换应用于Q.所以{y|y∈L并且存在x∈S使得P(x,y)在L}={y|存在x∈S使得Q(x,y)}是V中的一个集合，是L的一个子类。再次使用替换公理V，我们可以证明一定有一个α使得这个集合是Lα∈Lα+1的一个子集。然后可以使用L中的分离公理来完成证明它是L的一个元素。
　　幂集公理：对于任何集合x都存在一个集合y，使得y的元素恰好是x的子集。
　　通常，L中的集合的某些子集不会在L中。所以L中的集合的整个幂集通常不会在L中。我们这裡需要证明幂集与L的交集在L中。在V中使用替换来证明存在一个α使得交集是Lα的一个子集。那麽交点是​​{z|z∈Lα和z是x}∈Lα+1的子集。因此，所需的集合在L中。
　　选择公理：给定一个由互不相交的非空集合组成的集合x，有一个集合y（x的一个选择集合）恰好包含来自x的每个成员的一个元素。
　　可以证明L有一个可定义的良序，该定义在L本身中的工作方式相同。因此，使用L中的联合和分离公理选择x的每个成员的最小元素来形成y。
　　请注意，证明L是ZFC的模型只需要V是ZF的模型，即我们不假设选择公理在V中成立。
　　L是绝对的和最小的
　　如果W是与V共享相同序数的ZF的任何标准模型，则W中定义的L与V中定义的L相同。特别是，对于任何序数α，Lα在W和V中是相同的。并且Def(Lα)中的相同公式和参数在Lα+1中产生相同的可构造集。
　　此外，由于L是V的子类，并且类似地，L是W的子类，因此L是包含所有序数的最小类，它是ZF的标准模型。事实上，L是所有这些类的交集。
　　如果在V中有一个集合W是ZF的标准模型，并且序数κ是出现在W中的序数集，则Lκ是W的L。如果有一个集合是ZF的标准模型，那麽最小的集合就是这样的Lκ。这个集合称为ZFC的最小模型。使用向下Löwenheim-Skolem定理，可以证明最小模型（如果存在）是可数集。
　　当然，任何一致的理论都必须有一个模型，所以即使在集合论的最小模型中，也有一些集合是ZF的模型（假设ZF是一致的）。但是，这些设置模型是非标准的。特别是，它们不使用正常的元素关係，并且没有充分的根据。
　　因为L的L和L的V都是实数L并且Lκ的L和Lκ的V都是实数Lκ，所以我们得到V=L在L和任何Lκ中为真是ZF的型号。但是，V=L在ZF的任何其他标准模型中都不成立。
　　L和大基数
　　由于Ord⊂L⊆V，当从V下降到L时，依赖于缺少函数或其他结构（即Π1ZF公式）的序数的性质被保留。因此，基数的初始序数在L中保持初始。正则序数在L中保持正则。弱极限基数成为L中的强极限基数，因为广义连续统假设在L中成立。弱不可访问的红衣主教变得非常不可访问。弱Mahlo红衣主教成为强烈的Mahlo。更一般地说，任何弱于0#的大基数属性（请参阅大基数属性列表）将保留在L中。
　　然而，0#在L中为假，即使在V中为真。因此，所有存在暗示0#的大基数不再具有那些大基数性质，而是保留它们也具有的弱于0#的性质。例如，可测量的基数不再是可测量的，但仍然是L中的Mahlo。
　　如果0#在V中成立，那麽在L中存在一个封闭的无界序数类。虽然其中一些甚至不是V中的初始序数，但它们具有比L中的0#弱的所有大基数属性。此外，任何从indiscernibles类到自身的严格递增的类函数都可以以独特的方式扩展为L到L的基本嵌入。这为L提供了一个很好的重複段结构。
　　L可以是良序的
　　有多种对L进行良好排序的方法。其中一些涉及L的“精细结构”，这是RonaldBjornJensen在他1972年题为“可构造层次结构的精细结构”的论文中首次描述的。我们将不解释精细结构，而是概述如何仅使用上面给出的定义对L进行良序。
　　假设x和y是L中的两个不同集合，我们希望确定是xy。如果x首先出现在Lα+1中并且y首先出现在Lβ+1中并且β不同于α，那麽当且仅当αα使得对于任何具​​有z1的句子P(z1,...,zk)。..,zk在Lβ中并且包含少于n个符号（将Lβ的元素的常数符号计算为一个符号）我们得到P(z1,...,zk)在Lβ当且仅当它在L中成立。
　　广义连续统假设在L中成立
　　让S∈Lα，并令T是S的任何可构造子集。然后有一些β与T∈Lβ+1，所以T={x∈Lᵦ：x∈S∧Φ(xᵢ,zᵢ)}={x∈S：Φ(xᵢ,zᵢ)},对于一些公式Φ和一些zᵢ取自Lᵦ.由向下Löwenheim-Skolem定理和Mostowski坍缩，必定有一些传递集K包含Lα还有一些wᵢ，并且具有相同的一阶理论Lᵦ与wᵢ代替了zᵢ;并且这个K将具有相同的基数Lα.自从V=L是真的Lᵦ,在K中也是如此,所以K=Lγ对于一些与α具有相同基数的γ。和T={x∈Lᵦ：x∈S∧Φ(x,zᵢ)}={x∈Lγ：x∈S∧Φ(x,wᵢ)}因为Lᵦ和Lγ有相同的理论。所以T实际上在Lγ+1.
　　因此，无限集S的所有可构造子集的秩（至多）与S的秩具有相同的基数κ；因此，如果δ是κ+的初始序数，则L∩P(S)⊆Lδ作为L内S的“幂集”。因此，这个“电源组”大号∩磷(小号)∈大号δ+1.这又意味着S的“幂集”至多有基数||δ||。假设S本身俱有基数κ，则“幂集”必须恰好具有基数κ+。但这正是相对于L的广义连续统假设。
　　可构造集合可以从序数定义
　　有一个集合论公式表达了X=Lα的想法。它只有X和α的自由变量。使用它我们可以扩展每个可构造集的定义。如果s∈Lα+1，则s={y|y∈Lα和Φ(y,z1,...,zn)对于某些公式Φ和某些z1,...,zn在Lα中。这相当于说：对于所有y，y∈s当且仅当[存在X使得X=Lα并且y∈X和Ψ(X,y,z1,...,zn)]其中Ψ(X,...)是将Φ(...)中的每个量词限制为X的结果。请注意，每个zk∈Lβ+1对于某些β<α。将z的公式与s的公式结合起来，并在z的外部应用存在量词，得到一个公式，该公式仅使用出现在X=Lα等表达式中的序数α作为参数来定义可构造集合s。
　　示例：集合{5,ω}是可构造的。满足公式的唯一集s：
　　∀y(y∈s⟺(y∈Lω+1∧(∀a(a∈y⟺a∈L₅∧Ord(a))∨∀b(b∈y⟺b∈Lω∧Ord(b))))),
　　在哪裡Ord(a)简称：
　　∀C∈a(∀d∈c(d∈a∧∀e∈d(e∈c))).
　　实际上，即使是这个複杂的公式也已经从第一段中给出的说明中简化了。但重点仍然存在，集合论有一个公式，它只对所需的可构造集合s成立，并且只包含序数的参数。
　　相对可施工性
　　有时希望找到一个像L一样狭窄的集合论模型，但它包含或受不可构造的集合影响。这就产生了相对可构造性的概念，其中有两种风格，分别用L(A)和L[A]表示。
　　不可构造集合A的类L(A)是作为集合论标准模型并包含A和所有序数的所有类的交集。
　　L(A)由超限递归定义如下：
　　L0(A)=以A为元素的最小传递集，即{A}的传递闭包。
　　Lα+1(A)=Def(Lα(A))
　　如果λ是一个极限序数，那麽Lλ(A)=α<λ∪Lα(A).
　　L(A)=α∪Lα(A).
　　如果L(A)包含A的传递闭包的良序，那麽这可以扩展到L(A)的良序。否则，选择公理将在L(A)中失败。
　　一个常见的例子是L(R)，包含所有实数的最小模型，在现代描述性集合论中广泛使用。
　　类L[A]是其构造受A影响的集合类，其中A可能是（可能是不可构造的）集合或适当的类。该类的定义使用DefA(X)，它与Def(X)相同，只是在模型(X,∈)中不评估公式Φ的真值，而是使用模型(X,∈,A)其中A是一元谓词。A(y)的预期解释是y∈A。然后定义L[A]与L完全相同，只是将Def替换为DefA。
　　L[A]始终是选择公理的模型。即使A是一个集合，A本身也不一定是L[A]的成员，儘管如果A是一个序数集，它总是如此。
　　L(A)或L[A]中的集合通常实际上是不可构造的，并且这些模型的属性可能与L本身的属性有很大不同。
　　阴谋集团（集合论）
　　阴谋集团曾经是，或者也许是，南加州的一组集合论者，特别是在加州大学洛杉矶分校和加州理工学院，但也在加州大学欧文分校。组织和程序从非正式到不存在，因此很难说它是否仍然存在或确切的成员是谁，但它包括了唐纳德A.马丁、扬尼斯N.莫绍瓦基斯、约翰R.斯蒂尔、和亚历山大S.凯克里斯。其他在阴谋集团研讨会论文集上发表文章的人包括RobertM.Solovay、W.HughWoodin、马修福尔曼和史蒂夫杰克逊。
　　该小组的工作的特点是自由使用大基数公理，并研究实数集的描述性集理论行为（如果这些假设成立）。
　　阴谋集团研讨会的一些哲学观点在Maddy19a和Maddy19b中有所描述。
　　Martin公理
　　在集合论的数学领域，由DonaldA.Martin和RobertM.Solovay介绍的Martin公理[1]是独立于ZFC集合论的常用公理的陈述。由连续统假设隐含，但与ZFC和对连续统假设的否定是一致的。非正式地，它说所有基数都小于连续统的基数，c,行为大致像ℵ₀.这背后的直觉可以通过研究Rasiowa-Sikorski引理的证明来理解。这是用于控制某些强制参数的原则。
　　陈述
　　对于任何基数𝛋，我们定义一个陈述，用MA(𝛋)表示：
　　对于满足可数链条件（以下称为ccc）的任何偏序P和P中的任何稠密集族D使得|D|≤𝛋，在P上有一个过滤器F，使得F∩d对于D中的每个d都是非空的。
　　MA⁡(ℵ₀)完全正确——这被称为Rasiowa-Sikorski引理。MA⁡(2^ℵ₀)为假：[0,1]是紧緻Hausdorff空间，它是可分的，所以ccc。它没有孤立的点，所以其中的点在任何地方都不稠密，但它是的并集2^ℵ₀=c很多点。（见条件等价于MA⁡(c)下面。）因为它是ZFC的定理MA⁡(c)失败，马丁公理表述为：
　　马丁公理(MA)：对于每个𝛋<c,MA(𝛋)成立。
　　在这种情况下（对于ccc的应用），反鍊是P的子集A，因此A的任何两个不同成员都是不兼容的（如果在偏序中存在两个元素下方的公共元素，则称两个元素是兼容的）。例如，这与树上下文中的反链概念不同。
　　MA(𝛋)的等价形式
　　以下语句等价于MA(𝛋)：
　　如果X是满足ccc的紧凑Hausdorff拓扑空间，则X不是𝛋或更少的无处稠密子集的并集。
　　如果P是一个非空的向上ccc偏序集，并且Y是P与|Y|的共尾子集族≤𝛋那麽有一个向上的集合A使得A满足Y的每个元素。
　　令A为非零ccc布尔代数，F为A的子集族，|F|≤𝛋。然后有一个布尔同态φ:A→Z/2Z使得对于F中的每个X或者在X中存在一个a且φ(a)=1或者对于X存在一个上限b且φ(b)=0。
　　结果
　　马丁公理还有许多其他有趣的组合、分析和拓扑结果：
　　在波兰空间上的无原子σ-有限Borel测度中𝛋或更少的空集的并集是空的。特别是，勒贝格测度0的R的𝛋或更少子集的并集也具有勒贝格测度0。
　　带有|X|的紧緻Hausdorff空间X<2𝛋是顺序紧凑的，即每个序列都有一个收敛的子序列。
　　N上没有非主超滤器具有基数<𝛋。
　　等效地，对于βN\N中的任何x，我们有𝜒(x)≥𝛋，其中𝜒是x的特徵，所以𝜒(βN)≥𝛋。
　　MA⁡(ℵ₁)意味着ccc拓扑空间的乘积是ccc（这反过来意味着没有Suslin线）。
　　MA+¬CH意味着存在一个不自由的Whitehead群；Shelah用它来证明Whitehead问题与ZFC无关。
　　进一步的发展
　　马丁公理具有称为适当强迫公理和马丁最大公理的概括。
　　SheldonW.Davis在他的书中建议Martin的公理是由Baire范畴定理推动的。
　　本体论极简主义
　　在哲学中，本体最大化是对最大可能宇宙的偏好，即任何可能存在的东西都存在。
　　传递集
　　在集合论中，数学的一个分支，集合一个如果以下等效条件之一成立，则称为传递性：
　　每当x∈A，和y∈x，然后y∈A.
　　每当x∈A，和x不是元素，那麽x是一个子集A.
　　同样，一个类M是传递的，如果每个元素M是一个子集M.
　　例子
　　使用JohnvonNeumann建议的序数定义，序数被定义为遗传传递集：序数是传递集，其成员也是传递的（因此是序数）。所有序数的类是传递类。
　　任何阶段Vα和Lα导致冯诺依曼宇宙的构建V和哥德尔的可构造宇宙大号是传递集。宇宙_V和L它们本身是传递类。
　　这是包含最多20个括号的所有有限传递集的完整列表：
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　　特性
　　一套X传递当且仅当⋃X⊆X，在哪裡⋃X是所有元素的并集X是集合，⋃X={y∣∃x∈X：y∈x}.
　　如果X是传递的，那麽⋃X是传递的。
　　如果X和Y是传递的，那麽X∪Y和X∪Y∪{X,Y}是传递的。一般来说，如果Z是一个所有元素都是传递集的类，那麽⋃Z和Z∪⋃Z是传递的。（本段第一句是Z={X,Y}.)
　　一套X不包含ureelements是传递的当且仅当它是它自己的幂集的子集，X⊆P(X).没有ureelements的传递集的幂集是传递的。
　　传递闭包
　　集合的传递闭包X是最小的（关于包含）传递集，包括X=（IEX⊆TC⁡(X)）。假设给定一个集合X，那麽传递闭包X是
　　TC⁡(X)=⋃{X,⋃X,⋃⋃X,⋃⋃⋃X,⋃⋃⋃⋃X,…}.
　　证明。表示X₀=X和Xn+1=⋃Xₙ.然后我们声称集合
　　T=TC⁡(X)=n=0/∞∪Xₙ
　　是传递的，并且无论何时T₁是一个传递集，包括X然后T⊆T₁.
　　认为y∈x∈T.然后x∈Xₙ对于一些n所以y∈⋃Xₙ=Xn+1.自从Xn+1⊆T,y∈T.因此T是传递的。
　　现在让T₁如上。我们通过归纳证明Xₙ⊆T对所有人n，从而证明T⊆T₁:基本情况成立以来X₀=X⊆T₁.现在假设Xₙ⊆T₁.然后Xn+1=⋃Xₙ⊆⋃T₁.但T₁是传递的，所以⋃T₁⊆T₁，因此Xn+1⊆T₁.这样就完成了证明。
　　请注意，这是与相关的所有对象的集合X通过隶属关係的传递闭包，因为集合的并集可以用隶属关係与其自身的相对积来表示。
　　集合的传递闭包可以用一阶公式表示：x是一个传递闭包y当且当x是所有传递超集的交集是的（也就是说，每个传递超集y包含x作为一个子集）。
　　集合论的传递模型
　　传递类通常用于构建集合论本身的解释，通常称为内部模型。原因是有界公式定义的属性对于传递类是绝对的。
　　作为集合论形式系统模型的传递集（或类）称为系统传递模型（前提是模型的元素关係是真实元素关係对模型全域的限制）.传递性是决定公式绝对性的重要因素。
　　在非标准分析的上层结构方法中，非标准宇宙满足强传递性。
　　Ω-逻辑
　　在集合论中，Ω-逻辑是由W.HughWoodin(1999)提出的无限逻辑和演绎系统，作为试图推广点类确定性理论以复盖结构的一部分。Hℵ₂.正如射影确定性公理产生了一个规范的理论Hℵ₁，他试图找到可以为更大结构提供规范理论的公理。他提出的理论涉及一个有争议的论点，即连续统假设是错误的。
　　分析
　　Woodin的Ω猜想断言，如果存在适当的Woodin基数类（出于技术原因，该理论中的大多数结果最容易在此假设下陈述），则Ω逻辑满足完备性定理的类似物。从这个猜想可以证明，如果有任何一个公理是全面的Hℵ₂（在Ω逻辑中），它必须暗示连续统不是ℵ₁.Woodin还分离出了一个特定的公理，即Martin最大值的变体，它表明任何Ω一致的Π2（超过Hℵ₂)句子是真的；这个公理意味着连续统是ℵ₂.
　　Woodin还将他的Ω-猜想与大基数的抽象定义联繫起来：他将“大基数性质”作为Σ₂财产P(α)的序数，这意味着α是一个强不可访问的，并且在小于α的基数集的强制下是不变的。那麽Ω猜想意味着如果有任意大的模型包含一个大基数，这个事实将在Ω逻辑中得到证明。
　　该理论涉及Ω-validity的定义：一个陈述是一个集合论T的一个Ω-valid结果，如果它在具有以下形式的T的每个模型中成立Vα/B对于一些序数α和一些强迫观念B.这个概念显然在强制下保留，并且在存在适当类别的Woodin基数的情况下，它在强制下也将是不变的（换句话说，Ω-可满足性也在强制下保留）。还有一个Ω-provability的概念；这裡的“证明”由普遍的Baire集组成，并通过验证对于理论的每个可数传递模型和模型中的每个强制概念，模型的通用扩展（如在V中计算）包含“证明”，限制了自己的真实性。对于证明集A，这裡要检查的条件称为“A-close”。Wedge层次结构。Woodin表明，这种“可证明性”的概念暗示了句子的Ω-validityΠ2超过V。Ω猜想表明这个结果的反面也成立。在所有当前已知的核心模型中，已知它是正确的；此外，大基数的一致性强度对应于“证明”大基数存在所需的最小证明等级。
　　无限逻辑
　　无限逻辑是允许无限长的陈述和/或无限长的证明的逻辑。一些无限逻辑可能具有与标准一阶逻辑不同的属性。特别是，无限逻辑可能不紧凑或不完整。在有限逻辑中等价的紧凑性和完整性的概念有时在无限逻辑中并非如此。因此，对于无限逻辑，定义了强紧緻性和强完备性的概念。本文介绍希尔伯特型无限逻辑，因为它们已经被广泛研究并构成了有限逻辑最直接的扩展。然而，这些并不是唯一被制定或研究过的无限逻辑。
　　考虑一个名为Ω-logic的无限逻辑是否是完整的，可以保证阐明连续统假设。
　　关于符号和选择公理的一句话
　　由于正在呈现一种具有无限长公式的语言，因此不可能明确地写下这样的公式。为了解决这个问题，使用了许多符号上的便利，严格来说，它们不是形式语言的一部分。⋯用于指出无限长的表达式。在不清楚的地方，序列的长度在后面註明。如果此符号变得模棱两可或令人困惑，则可以使用后缀，例如γ<δ∨Aγ用于表示一组基数公式的无限析取δ.相同的符号可以应用于量词，例如∀γ<δVγ：.这意味着表示无限的量词序列：每个量词的量词Vγ在哪裡γ<δ.
　　所有使用后缀和⋯不是正式的无限语言的一部分。
　　假设选择公理（在讨论无限逻辑时经常这样做），因为这是具有合理分配律所必需的。
　　希尔伯特型无穷逻辑的定义
　　一阶无限语言Lα,β,αregular,β=0或ω≤β≤α与有限逻辑具有相同的符号集，并且可以使用形成有限逻辑公式的所有规则一些额外的：
　　给定一组公式A={Aγ|γ<δ<α}然后(A₀∨A₁∨⋯)和(A₀∧A₁∧⋯)是公式。（在每种情况下，序列都有长度δ.)
　　给定一组变量V={Vγ|γ<δ<β}和一个公式A₀然后∀V₀：∀V₁⋯(A₀)和∃V₀：∃V₁⋯(A₀)是公式。（在每种情况下，量词序列都有长度δ.)
　　自由变量和绑定变量的概念以相同的方式应用于无限公式。就像在有限逻辑中一样，所有变量都绑定的公式称为句子。
　　无限语言中的理论TLα,β是逻辑中的一组句子。来自理论T的无限逻辑证明是一个（可能是无限的）陈述序列，这些陈述服从以下条件：每个陈述要么是逻辑公理，是T的一个元素，要么是使用推理规则从先前的陈述推导出来的。和以前一样，可以使用有限逻辑中的所有推理规则，以及一个附加规则：
　　给定一组语句A={Aγ|γ<δ<α}之前在证明中发生过的，然后是陈述∧γ<δAγ可以推断。
　　下面介绍了特定于无限逻辑的逻辑公理模式。全局模式变量：δ和γ这样0<δ<α.
　　((∧ε<δ(Aδ⟹Aε))⟹(Aδ⟹∧ε<δAε))
　　对于每个γ<δ,((∧ε<δAε)⟹Aγ)
　　Chang的分配律（对于每个γ):(∨μ<γ(∧δ<γAμ,δ))，在哪裡∀μ∀δ∃ε<γ：Aμ,δ=Aε或者Aμ,δ=¬Aε，和∀G∈γγ∃ε<γ：{Aε,¬Aε}⊆{Aμ,G(μ)：μ<γ}
　　为了γ<α,((∧μ<γ(∨δ<γAμ,δ))⟹(∨ϵ<γ^γ(∧μ<γAμ,γϵ(μ))))，在哪裡{γε：ε<γ^γ}是一个很好的排序γ^γ
　　最后两个公理模式需要选择公理，因为某些集合必须是良好可排序的。最后一个公理模式严格来说是不必要的，正如Chang的分配律所暗示的那样，然而，它作为一种自然方式被包含在内，以允许对逻辑进行自然弱化。
　　完备性、紧凑性、强完备性
　　理论是任何一组句子。模型中陈述的真实性由递归定义，并且将与定义两者的有限逻辑的定义一致。给定一个理论T，如果一个句子在T的所有模型中都为真，则该句子对理论T有效。
　　语言中的逻辑Lα,β如果对于每个模型中有效的每个句子S都存在S的证明，则它是完整的。如果对于在T中有效的每个句子S的任何理论T都存在来自T的S的证明，则它是强完备的。一个无限逻辑可以是完整的而不是强完整的。
　　大基数κ≠ω是弱紧緻的，当对于每个理论T在Lκ,κ最多包含κ许多公式，如果每个S⊆T的基数小于κ有一个模型，那麽T有一个模型。大基数κ≠ω当对于每个理论T在Lκ,κ,没有大小限制，如果每个S⊆T的基数小于κ有一个模型，那麽T有一个模型。
　　可在无限逻辑中表达的概念
　　在集合论的语言中，以下陈述表达了基础：
　　∀γ<ωVγ:¬∧γ<ωVγ+∈Vγ.
　　与基础公理不同，此陈述不接受非标准解释。有根据的概念只能用允许在单个陈述中使用无限多量词的逻辑来表达。结果，许多理论，包括皮亚诺算术，在有限逻辑中不能正确公理化，可以在合适的无限逻辑中。其他例子包括非阿基米德场和无扭群的理论。这三个理论可以在不使用无限量化的情况下定义；只需要无限连接。
　　完整的无限逻辑
　　两个无限逻辑在其完整性方面脱颖而出。这些都是逻辑Lω,ω和Lω₁,ω.前者是标准的有限一阶逻辑，后者是只允许可数大小的语句的无限逻辑。
　　的逻辑Lω,ω也是强完备、紧緻和强緻密。
　　的逻辑Lω₁,ω不紧凑，但它是完整的（根据上面给出的公理）。此外，它满足克雷格插值属性的变体。
　　如果逻辑Lα,α是强完备的（根据上面给出的公理），那麽α非常紧凑（因为这些逻辑中的证明不能使用α或更多给定的公理）。
　　V=L公理
　　可构造公理是数学中集合论的一个可能公理，它断言每个集合都是可构造的。该公理通常写为V=L，其中V和L分别表示冯诺依曼宇宙和可构造宇宙。该公理首先由KurtGödel研究，与零尖存在和更强的大基数公理的命题不一致（参见大基数属性列表）。在内模型理论中探索了这个公理的推广。
　　影响
　　给定没有选择公理(ZF)的Zermelo-Fraenkel集合论，可构造性公理意味着选择公理(AC)。它还解决了许多与选择公理(ZFC)无关的Zermelo-Fraenkel集合论的自然数学问题；例如，可构造性公理意味着广义连续统假设、对Suslin假设的否定，以及分析的存在（事实上，Δ2/1)不可测实数集，所有这些都独立于ZFC。
　　可构造性公理意味着不存在那些一致性强度大于或等于0#的大基数，其中包括一些“相对较小”的大基数。例如，没有基数可以是L中的ω1-Erdős。虽然L确实包含那些大基数的初始序数（当它们存在于L的超模中时），并且它们仍然是L中的初始序数，但它不包括赋予这些基数大基数属性的辅助结构（例如measure）。
　　儘管可构造性公理确实解决了许多集合论问题，但它通常不像ZFC公理那样被接受为集合论公理。在具有实在论倾向的集合论者中，他们相信可构造性公理要么是真要么是假的，但大多数人认为它是假的。这部分是因为它似乎是不必要的“限制性”，因为它只允许给定集合的某些子集（例如，0♯⊂ω不可能存在），没有明确的理由相信这些都是它们。部分原因是该公理与足够强大的大基数公理相矛盾。这种观点与阴谋集团或撒哈伦·谢拉所认为的“加利福尼亚学派”特别相关。
　　在算术上
　　尤其是从1950年代到1970年代，已经进行了一些研究，以製定二阶算术子系统的可构造性公理的类似物。在此类类似物的研究中，有一些结果很突出：
　　艾迪生的Σ2/1公式Constr(X)这样P(ω)⊨Constr(X)当且当X∈P(ω)∩L，IEX是可构造的实数
　　有个Π3/1被称为“可构造性公理的分析形式”的公式与集合论公理V=L有一些关联。例如，在某些情况下M⊨V=L当且当M∩P(ω)⊨AnalyticalformofV=L被给予了。
　　意义
　　可构造性公理的主要意义在于库尔特·哥德尔对选择公理的相对一致性的证明以及对冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论的广义连续统假设。（该证明延续到策梅洛-弗兰克尔集合论，该理论近年来变得越来越流行。）
　　即哥德尔证明了V=L是相对一致的（即如果ZFC+(V=L)可以证明矛盾，那麽也可以ZF)，并且在ZF
　　V=L⟹AC∧GCH,
　　从而确定AC和GCH也相对一致。
　　哥德尔的证明在后来的几年中得到了保罗科恩的补充，即AC和GCH都是独立的，即这些公理的否定(¬AC和¬GCH)也与ZF集合论相对一致。
　　L中的陈述为真
　　以下是在可构造宇宙中成立的命题列表（用L表示）：
　　广义连续统假设和结果
　　选择公理
　　Diamondsuit
　　Clubsuit
　　Globalsquare
　　Morass集合论的存在
　　对苏斯林假说的否定
　　0#不存在，因此
　　不存在所有大基数，这意味着存在一个可测量的基数
　　Whitehead猜想的真实性，即每一个Ext1(A,Z)=0的阿贝尔群A都是一个自由阿贝尔群。
　　所有集合的可定义的良好顺序的存在（可以明确给出其公式）。特别地，L满足V=HOD。
　　原始递归类满射的存在F：Ord→V，即来自Ord的类函数，其范围包含所有集合。
　　接受可构造公理（断言每个集合都是可构造的）这些命题在冯诺依曼宇宙中也成立，解决了集合论中的许多命题和分析中的一些有趣问题。