第32章黎曼度量

　　月净威，哈佛大学科学家，道:“研究黎曼几何，先要熟悉以下主题：1.度量张量2.黎曼流形3.列维-奇维塔联络4.曲率5.曲率张量。”
　　精星灵，曰:“人物介绍。黎曼（德国，1826－1866年）：几何观点，黎曼面。1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》，其重要性恰如著名数学家阿尔福斯（芬－美，1907－1996年）所说：这篇论文不仅包含了，现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。”
　　月净威，哈佛大学科学家，道:“黎曼几何。黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了，经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义曲率（截面曲率处处为常数）（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，但是在宇宙的时空当中，确实完全的不同。当0时，就是椭圆几何，而当a0时，为双曲几何。这是这颗金色的星球，上面的人类。对于，时空的理解。”
　　精星灵，曰:“学说发展。黎曼几何中的一个基本问题，是微分形式的等价性问题。该问题，大约在1869年前后，由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了，以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了，张量分析方法，这在广义相对论中，起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了，黎曼几何学。”
　　月净威，哈佛大学科学家，道:“与李群。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学，还没有发展起来，因此黎曼几何，只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系，进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了，外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。”
　　精星灵，曰:“与爱因斯坦。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了，新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为，广义相对论研究的有效数学工具。而相对论的发展，则受到整体微分几何的强烈影响。例如，矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年，陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何，提供了不可缺少的工具，并为复流形的微分几何与拓扑研究，开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中，有重大作用。”
　　月净威，哈佛大学科学家，道:“广义相对论。广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。爱因斯坦的科学定律，对所有的观察者，不管他们如何运动，都必须是相同的。它将引力解释成四维空间的曲率。”。
　　精星灵，曰:“与欧氏几何。注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空，是一个黎曼流形。”
　　以下一段讨论，涉及物理时所说的“欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。