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　　缺少方形拼图
　　失踪的正方形拼图是数学课上用来帮助学生推理几何图形的一种视错觉；或者更确切地说，教他们不要使用图形进行推理，而应仅使用文本描述和几何公理。它描绘了两种由相似形状组成但配置略有不同的排列。每个显然形成一个13×5的直角三角形，但其中一个有一个1×1的孔。
　　解决方案
　　谜题的关键在于，13×5“三角形”都不是真正的三角形，如果是，也不会是真正的13x5，因为看起来是斜边是弯曲的。换句话说，“斜边”并不保持一致的斜率，即使它在人眼看来可能是这样的。
　　不能从给定的组成部分创建真正的13×5三角形。四个图形（黄色、红色、蓝色和绿色形状）共32个单位面积。从图中形成的明显三角形是13个单位宽和5个单位高，所以看起来面积应该是S=13×5/2=32.5个单位。然而，蓝色三角形的比率为5:2(=2.5)，而红色三角形的比率为8:3(≈2.667)，因此每个图中明显的组合斜边实际上是弯曲的。使用弯曲的斜边，第一个图形实际上佔据了32个单元，而第二个图形佔据了33个单元，包括“缺失”的正方形。
　　弯曲量约为1/28单位（1.245364267°），这在拼图的图表上很难看到，并以图形方式说明。注意下图中红色和蓝色三角形相交的网格点（组合图右侧5个方格，左下角向上2个单位），并将其与另一张图上的相同点进行比较；边缘略低于上图中的标记，但在下图中穿过它。将两个图形的斜边重迭会得到一个非常薄的平行四边形（用四个红点表示），其面积正好是一个方格，因此是“缺失”区域。
　　原则
　　根据MartinGardner的说法，这个特殊的谜题是由纽约市的业馀魔术师PaulCurry在1953年发明的。然而，自16世纪初以来，解剖悖论的原理就为人所知。
　　拼图各部分的整数维度(2,3,5,8,13)是连续的斐波那契数，这导致细平行四边形中的精确单位面积。许多其他几何解剖谜题都是基于斐波那契数列的一些简单属性。
　　类似的谜题
　　SamLoyd的棋盘悖论展示了8×8正方形的两次重新排列。在“更大”的重新排列中（右图中的5×13矩形），图形之间的间隙比它们的正方形间隙对应的面积要多一个单位平方，从而产生一种错觉，即那裡的图形佔用的空间比那些在原来的方形图中。在“较小”的重新排列中（5×13矩形下方的形状），每个四边形需要将三角形重迭半个单位的面积才能使其顶部/底部边缘与网格线对齐，从而导致整体损失在一个单位平方的面积内。
　　松山光信的“悖论”使用四个全等的四边形和一个小正方形，形成一个更大的正方形。当四边形围绕它们的中心旋转时，它们填充了小正方形的空间，儘管图形的总面积似乎没有变化。明显的悖论可以用新的大正方形的边比原来的小一点来解释。如果θ是每个四边形中两个相对边之间的角度，则两个面积的比率由sec2θ给出。对于θ=5°，这大约是1.00765，对应于大约0.8%的差异。
　　施瓦茨灯笼
　　在数学中，施瓦茨灯笼是圆柱体的多面体近似，用作难以将光滑（弯曲）表面的面积定义为多面体面积的限制的病态示例。它由等腰三角形的堆迭环形成，在每个环内以与反棱镜相同的图案排列。由此产生的形状可以从纸上折迭起来，并以数学家赫尔曼·施瓦茨的名字命名，并因其与圆柱形纸灯笼的相似性而得名。又称施瓦茨靴，施瓦茨的多面体，或中国灯笼。
　　正如施瓦茨所展示的，为了使多面体的表面积收敛到曲面的表面积，仅仅增加环的数量和每个环的等腰三角形的数量是不够的。根据环的数量与每个环的三角形数量的关係，灯笼的面积可以收敛到圆柱体的面积，收敛到任意大于圆柱体面积的极限，或者无穷大——换句话说,区域可以发散。Schwarz灯表明，与通过内接多边形链精确近似弧长相比，通过靠近在一起的点对曲面进行採样并通过小三角形将它们连接起来不足以确保精确近似面积。
　　紧密採样的点会导致面积近似不准确的现像被称为施瓦茨悖论。Schwarz灯笼是微积分中的一个有启发性的例子，它强调了在为计算机图形学和有限元方法的应用选择三角测量时需要小心谨慎。
　　历史和动机
　　阿基米德用内接或外接正多边形的长度来近似圆的周长。更一般地，任何平滑或可校正曲线的长度都可以定义为内接于其中的多边形鍊长度的上限值。但是，要使其正常工作，多边形链的顶点必须位于给定曲线上，而不仅仅是靠近它。否则，在有时称为楼梯悖论的反例中，总长度的垂直和水平线段的多边形链2可以任意靠近长度为对角线段2,在距离上收敛到对角线段但不收敛到相同的长度。Schwarz灯笼为表面积而不是长度提供了一个反例，并表明对于面积，要求顶点位于近似曲面上不足以确保精确近似。
　　德国数学家赫尔曼·施瓦茨(HermannSchwarz,1843–1921)在19世纪后期设计了他的构造，作为JASerret18年着作Coursdecalculdifferentieletintegral中错误定义的反例，该书错误地指出：
　　SoitunepartdesurfacecourbeterminéeparuncontourC;nousnommeronsairedecettesurfacelalimiteSverslaquelle倾向于l'aired'une表面polyédraleinscriteforméedefacestriangulairesettermineeparun轮廓多边形Γayantpourlimitele轮廓C.
　　IlfautdémontrerquelalimiteSExisteetqu'elleestindépendantedelaloisuivantlaquelledécroissentlesfacesdelasurfacepolyedraleinscrite。
　　让曲面的一部分以等高线为界C;我们将把这个表面的面积定义为极限S趋向于由三角形面形成并以多边形轮廓为界的内接多面体表面的区域Γ其极限是轮廓C.
　　必须证明极限S存在并且它独立于内接多面体表面的面收缩的规律。
　　独立于施瓦茨，朱塞佩·皮亚诺发现了同样的反例。当时，Peano是AngeloGenocchi的学生，通过与Schwarz的交流，他已经知道定义表面积的困难。Genocchi通知了CharlesHermite，他在课程中一直使用Serret的错误定义。Hermite向Schwarz询问细节，修改了他的课程，并在他的第二版讲义（1883年）中发表了这个例子。施瓦茨致埃尔米特的原始笔记直到1890年施瓦茨文集第二版才出版。
　　微积分中仔细定义的价值的一个有启发性的例子，Schwarz灯笼也强调了在选择计算机图形应用程序的三角测量以及科学和工程模拟的有限元方法时需要小心。在计算机图形学中，场景通常由三角形表面来描述，这些表面照明的准确渲染取决于表面法线的方向.三角剖分选择不当，如Schwarz灯笼，会产生一个手风琴状表面，其法线与近似表面的法线相距甚远，并且该表面的紧密间隔的尖锐褶皱也会导致锯齿问题。
　　施瓦茨灯无法收敛到圆柱体的区域，只有当它们包括高度钝角三角形时才会发生，角度接近180°。在使用180°以外的角度限制的Schwarz灯笼类别中，随着三角形的数量增长到无穷大，该区域会收敛到与圆柱体相同的区域。有限元法，在其最基本的形式中，通过三角剖分上的分段线性函数来近似平滑函数（通常是科学或工程中物理模拟问题的解决方案）。施瓦茨灯的例子表明，即使对于简单的函数，例如圆柱体在通过其轴的平面上方的高度，即使在三角剖分顶点处精确计算函数值，角度接近180°的三角剖分也可以产生高模拟结果不准确。这激发了所有角度都远离180°的网格生成方法，例如非钝角网格。
　　建造
　　Schwarz所考虑的离散多面体近似可以用两个参数来描述：m，施瓦茨灯中的三角形环数；和n，每个环的三角形数量的一半。对于单环(m=1)，得到的表面由有序反棱镜的三角形面组成n.对于较大的值m，施瓦茨灯是通过堆迭形成的m这些反棱镜。为了构造一个近似给定直圆柱的Schwarz灯笼，圆柱被平行平面切成m全等圆柱环。这些戒指有m+1圆形边界——两个在给定圆柱体的末端，以及m-1更多它被切片的地方。在每个圈子裡，n施瓦茨灯的顶点间距相等，形成一个正多边形。这些多边形旋转了一个角度π/n从一个圆到下一个圆，因此正多边形的每条边和下一个圆上最近的顶点形成等腰三角形的底边和顶点。这些三角形边对边相交形成施瓦茨灯笼，这是一个在拓扑上与圆柱体等效的多面体表面。
　　忽略顶部和底部顶点，每个顶点都接触全等等腰三角形的两个顶角和四个底角，就像它在平面由相同形状的三角形镶嵌时一样。因此，施瓦茨灯可以从一张扁平的纸上折迭起来，并以这种镶嵌作为其摺痕图案。这种摺痕图案被称为Yoshimura图案，在Y.Yoshimura在轴向压缩下圆柱表面的Yoshimura屈曲图案上的工作之后，它的形状可能类似于Schwarz灯笼。
　　区域
　　Schwarz灯笼的面积，适用于任何圆柱体和任何特定的参数选择m和n,可以通过直接应用三角函数来计算。半径圆柱r和长度ℓ有面积2πrℓ.对于带参数的Schwarz灯笼m和n，每个带是一个长度较短的圆柱体ℓ/m,近似为2n等腰三角形。每个三角形底边的长度可以从规则的边长公式中找到n-gon，即
　　2rsin⁡πn.
　　高度_H通过将勾股定理应用于由三角形的顶点、底的中点和以底的端点为界的圆弧的中点形成的直角三角形，可以找到每个三角形的中点。这个直角三角形的两条边是长度ℓ/m圆柱带和弧的矢状面，给出公式
　　H2=(ℓm)2+(r(1-cos⁡πn))2.
　　结合每个三角形的面积公式，从它的底边到高度，以及总数2mn三角形中，施瓦茨灯笼的总面积为
　　A(m,n)=2mn(rsin⁡πn)(ℓm)2+r2(1-G⁡πn)2.
　　限制
　　对于两个参数的大值，Schwarz灯笼均匀地收敛到它们近似的圆柱体上。但是，因为有两个自由参数m和n，施瓦茨灯的限制区域，因为两者m和n变得任意大，可以按不同的顺序进行评估，得出不同的结果。如果m是固定的，而n增长，然后针对任意大的选择评估得到的限制m,得到
　　limM→∞limn→∞A(m,n)=2πrℓ,
　　气缸的正确区域。在这种情况下，内极限已经收敛到相同的值，外极限是多馀的。在几何上，用非常尖锐的等腰三角形带代替每个圆柱带可以准确地近似其面积。
　　另一方面，颠倒限制的顺序给出
　　limn→∞limM→∞A(m,n)=∞.
　　在这种情况下，对于一个固定的选择n，如M增长和长度ℓ/M每个圆柱带变得任意小，等腰三角形的每个对应带变得几乎是平面的。每个三角形都接近由规则的两条连续边形成的三角形2n-gon，整个三角形带的面积接近2n乘以这些平面三角形之一的面积，一个有限的数字。然而，数M这些波段的增长任意大；因为灯笼的面积大约按比例增长M，它也变得任意大。
　　也可以确定函数之间的关係M和n，并在两个参数同时变大时检查极限，保持这种关係。这种关係的不同选择可能导致上述两种行为中的任何一种，收敛到正确的区域或发散到无穷大。例如，设置M=Cn（对于任意常数C)并取大的限制n导致收敛到正确的区域，同时设置M=Cn3导致分歧。第三种限制行为是通过设置获得的M=Cn2.对于这个选择，
　　limn→∞A(Cn2,n)=2πrℓ2+r2π4C24.
　　在这种情况下，以这种方式参数化的施瓦茨灯的面积会收敛，但会收敛到比圆柱体面积更大的值。可以通过适当选择常数来获得任何所需的更大面积C.
　　楼梯悖论
　　在数学分析中，楼梯悖论是一个病态的例子，表明曲线的极限不一定保持它们的长度。它由单位正方形中的一系列“楼梯”多边形链组成，由长度递减的水平和垂直线段组成，因此这些楼梯均匀地收敛到正方形的对角线。但是，每个楼梯的长度为2，而对角线的长度是2的平方根,所以楼梯长度的序列不会收敛到对角线的长度。MartinGardner称之为“一个古老的几何悖论”。它表明，对于均匀收敛的曲线，曲线的长度不是曲线的连续函数。
　　对于任何平滑曲线，段长度减小到零的多边形链连接沿曲线的连续顶点，总是收敛到弧长。楼梯曲线未能收敛到正确长度的原因可以解释为它们的某些顶点不在对角线上。在更高的维度上，Schwarz灯提供了一个类似的例子，表明多面体表面逐点收敛到曲面不一定会收敛到其区域，即使顶点都位于曲面上。
　　除了强调在数学教育中需要仔细定义弧长之外，这个悖论在数字几何中也有应用，它激发了估计像素化形状周长的方法，而不仅仅是对像素之间的边界长度求和。
　　弦环地球
　　弦环地球是一个具有违反直觉的解决方案的数学难题。在这个谜题的一个版本中，绳子紧紧地缠绕在一个完美球形地球的赤道上。如果绳子应该从地面升起1米（3英尺3英寸），一直沿着赤道，绳子会长多少？
　　或者，将1米（3英尺3英寸）的绳子拼接到原始绳子中，然后重新排列延长的绳子，使其在赤道上方的高度一致。然后提出的问题是绳子和地球之间的间隙是否允许汽车、猫或薄刀片通过。
　　解决方案
　　由于必须在整个40,000公里（25,000英里）的圆周上拉起绳子，因此人们可能会期望额外增加几公里的绳子。令人惊讶的是，答案是2π或大约6.3米（21英尺）。
　　在第二个措辞中，考虑到1米（3英尺3英寸）与40,000公里（25,000英里）的圆周相比几乎可以忽略不计，第一个反应可能是弦的新位置与原来的表面没有什么不同——拥抱的姿势。答案是猫很容易穿过缝隙，缝隙的大小是1/2π_米或约16厘米（6.3英寸）。
　　更令人惊讶的是，弦所环绕的球体或圆的大小无关紧要，可能是从原子到银河系的任何大小——结果只取决于它被提升的数量。此外，与掷硬币问题一样，弦带的形状不必是圆形：当它是任何不相交的简单多边形或闭合曲线时，会添加2π倍的偏移量。如果形状很複杂，2π乘以偏移量，乘以它的转数的绝对值必须加上。
　　该图给出了使用正方形的视觉类比：无论正方形的大小如何，添加的周长都是四个蓝色弧线的总和，即一个半径与偏移量相同的圆。
　　更正式地说，设c是地球的周长，r是地球的半径，Δc是附加的弦长，Δr是附加的半径。由于半径为R的圆的周长为2πR，
　　C+ΔC=2π(r+Δr)2πr+Δc=2πr+2πΔrΔc=2πΔr∴Δr=Δc2π
　　无论c的值如何。
　　这一观察还意味着田径跑道在每条车道上的起跑线之间具有相同的偏移量，等于车道宽度的2π倍，无论体育场的周长是标准的400米（1,300英尺）还是星系。