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Ext
在数学中，Ext函子是Hom函子的派生函子。与Tor函子一起，Ext是同调代数的核心概念之一，其中代数拓扑的思想用于定义代数结构的不变量。群的上同调、李代数和结合代数都可以用Ext.这个名字来源于这样一个事实，即第一个Ext组Ext1将一个模块的扩展按另一个分类。
在阿贝尔群的特殊情况下，Ext由ReinholdBaer(1934)引入。它由SamuelEilenberg和SaundersMacLane(1942)命名，并应用于拓扑学（上同调的通用係数定理）。对于任何环上的模，Ext是由HenriCartan和Eilenberg在其1956年的同调代数一书中定义的。
定义编辑
令R为环，令R-Mod为R上的模块类别。（可以将其表示为左R模或右R模。）对于固定的R模A，令T(B)=HomR(A,B)forBinR-Mod。（这裡HomR(A,B)是从A到B的R线性映射的阿贝尔群；这是一个R-module如果R是可交换的。）这是从R-Mod到阿贝尔群Ab的范畴的左精确函子，因此它具有右派生函子RiT。Ext群是由下式定义的阿贝尔群
ExtR/i(A,B)=(RⁱT)(B),
对于整数i。根据定义，这意味着：採取任何单射分辨率
0→B→Ｉ⁰→Ｉ¹→⋯,
删除术语B，并形成cochaincomplex：
0→HomR(A,Ｉ⁰)→HomR(A,Ｉ¹)→⋯.
对于每个整数i,Ext
_(A,B)是这个複数在位置i的上同调。i负数为零。例如，分机(A,B)是映射HomR(A,I0)→HomR(A,I1)的核，与HomR(A,B)同构。
另一种定义使用函子G(A)=HomR(A,B)来表示固定的R模B。这是一个逆变函子，可以看作是Ab的相反类别(R-Mod)op的左精确函子。Ext组被定义为右派生函子RiG：
ExtR/i(A,B)=(RⁱG)(A).
也就是说，选择任何投影分辨率
⋯→P₁→P₀→A→0,
删除项A，并形成cochain複合体：
0→Homʀ(P₀,B)→Homʀ(P₁,B)→⋯.
下一个(A,B)是这个複数在位置i的上同调。
Cartan和Eilenberg表明，这些构造独立于射影或单射分辨率的选择，并且两种构造都产生相同的Ext组。此外，对于固定环R，Ext是每个变量中的函子（在A中是逆变的，在B中是协变的）。
对于交换环R和R-模A和B,Ext我
_(A,B)是一个R模块（在这种情况下使用HomR(A,B)是一个R模块）。对于非交换环R,Ext我
_(A,B)通常只是一个阿贝尔群。如果R是环S上的代数（这尤其意味着S是可交换的），则Ext我
_(A,B)至少是一个S模。
分机的属性
以下是Ext组的一些基本属性和计算。
分机(A,B)≅HomR(A,B)对于任何R模A和B。
分机(A,B)=0对于所有i>0如果R模A是射影的（例如，free）或B是单射的。
反过来也成立：
如果分机1/R(A,B)=0对于所有B，则A是射影的（因此是Ext(A,B)=0对于所有i>0)。
如果分机1/R(A,B)=0对于所有A，然后B是单射的（因此是Ext(A,B)=0对于所有i>0)。
ExtZ/i(A,B)=0对于所有i≥2和所有阿贝尔群A和B。
如果R是一个交换环并且R中的u不是零除数，那麽
对于任何R模块B。这裡B[u]表示B的u-torsion子群，{x∈B:ux=0}。以R为环Z整数，此计算可用于计算分机Z1(一个,乙)对于任何有限生成的阿贝尔群A。
概括前面的例子，当第一个模块是交换环与任何正则序列的商时，可以使用Koszul複数计算Ext组。[5]例如，如果R是域k上的多项式环k[x1,...,xn]，则Ext*(k,k)是Ext1中n个生成器上k上的外部代数S。此外，分机(k,k)是多项式环R；这是Koszul对偶的一个例子。
根据派生函子的一般性质，Ext有两个基本的精确序列。首先，R-modules的短精确序列0→K→L→M→0引出形式如下的长精确序列
0→Homʀ(A,K)→Homʀ(A,L)→Homʀ(A,M)→ExtR/1(A,K)→ExtR/1(A,L)→⋯,
对于任何R模块A。此外，一个短的精确序列0→K→L→M→0会导致一个长的精确序列的形式
0→Homʀ(M,B)→Homʀ(L,B)→Homʀ(K,B)→ExtR/1(M,B)→ExtR/1(L,B)→⋯,
对于任何R模块B。
Ext将第一个变量中的直接和（可能是无限的）和第二个变量中的乘积作为乘积，即：
令A是可交换诺特环R上的有限生成模。然后Ext与本地化通勤，在某种意义上，对于R中的每个乘法闭集S、每个R模B和每个整数i，
分机和扩展
扩展等价
Ext组的名称来源于它们与模块扩展的关係。给定R-modulesA和B，AbyB的扩展是R-modules的简短精确序列
0→B→E→A→0。
两个扩展
0→B→E→A→0
0→B→E'→A→0
如果存在交换图，则称其是等价的（作为B对A的扩展）：
请注意，五引理暗示中间箭头是同构的。如果A与B的扩展等价于平凡扩展，则称为拆分
0→B→A⊕乙LB→A→0。
AbyB的扩展等价类与Ext的元素之间存在一一对应关係（甲，乙）。平凡扩展对应Ext的零元素（甲，乙）。
扩展的贝尔和
Baer和是对Ext上的阿贝尔群结构的显式描述(A,B)，被视为B对A的扩展的等价类集。即，给定两个扩展
首先形成回调A,
Γ={(e,e')∈E⊕E'|G(e)=G'(e')}.
然后形成商模块
是=Γ/{(F(b),-F'(b))|b∈B}.
E和E'的贝尔和是扩展
0→B→Y→A→0,
第一张地图在哪裡b↦[(F(b),0)]=[(0,F'(b))]第二个是(e,e')↦G(e)=G'(e').
在扩展等价之前，Baer和是可交换的，并且具有作为恆等元素的平凡扩展。扩展0→B→E→A→0的否定是涉及相同模块E的扩展，但同态B→E被其否定替换。
Ext在阿贝尔范畴中的构造
定义了阿贝尔群Ext(A,B)对于任何abelian类别C中的对象A和B；如果C有足够的射影或足够的**，这与分辨率方面的定义一致，这与分辨率方面的定义一致。一、分机(A,B)=坎C(A,B)。接下来，分机(A,B)是A通过B的扩展等价类的集合，在Baer和下形成一个阿贝尔群。最后，较高的Ext组Ext(A,B)被定义为n-extensions的等价类，它们是精确序列
0→B→Xₙ→⋯→X₁→A→0,
在标识两个扩展的关係生成的等价关係下
ξ：0→B→Xₙ→⋯→X₁→A→0
ξ'：0→乙→Xₙ'→⋯→X₁'→A→0
如果有地图Xₘ→Xₘ'对于{1,2,...,n}中的所有m，使得每个结果平方都可以交换，也就是说，如果存在链映射ξ→ξ'，它是A和B上的恆等式。
上面两个n扩展的Baer和是通过让X1”成为回调_X₁和X1'在A上，并且Xn”成为推动者_Xₙ和Xn'在B下。那麽扩展的贝尔和是
0→B→Xn”→Xn-1⊕Xn-1'→⋯→X2⊕X2'→X1”→A→0
派生类别
重要的一点是，阿贝尔范畴C中的Ext群可以看作是与C相关的范畴中的态射集，即派生范畴D(C)。派生类别的对像是C中对象的複合体。具体来说，一个有
ExtC/i(A,B)=Homᴅ(C)(A,B[i]),
其中C的对像被视为集中在零度的複数，[i]表示将復数向左移动i步。根据这种解释，有一个双线性映射，有时称为积：
ExtC/i(A,B)×ExtC/j(B,C)→ExtC/i+j(A,C),
这只是派生类别中态射的组合。
也可以用更基本的术语来描述。对于i=j=0，乘积是类别C中地图的组合。一般来说，可以通过将两个扩展拼接在一起来定义。
或者，可以根据分辨率来定义。（这接近于派生范畴的定义。）例如，令R是一个环，具有R模A、B、C，并且令P、Q和T是A、B、C的射影分辨率。下一个(A,B)可以用链映射P→Q[i]的链同伦类群来识别。积由组合链图给出：
P→Q[i]→T[i+j].
通过这些解释中的任何一种，都是联想的。因此，Extʀ*(A,A)是一个渐变环，对于任何R模A。例如，这给出了群上同调的环结构H*(G,Z),因为这可以看作ExtZ[G]*(Z,Z).也通过关联性：对于任何R模块A和B，Extʀ*(A,N)是一个模块Extʀ*(A,A).
重要特例
群上同调定义为H*(G,M)=ExtZ[G]*(Z,M)，其中G是一个群，M是G在整数上的表示，并且Z[G]是G的群环。
对于域k上的代数A和A-双模M，Hochschild上同调定义为
HH*(A,M)=ExtA⊗kAᵒᵖ*(A,M).
李代数上同调定义为H*(G,M)=ExtüG*(k,M)，在哪裡G是交换环k上的代数，M是G-模块，和üG是普遍包络代数。
对于拓扑空间X，层上同调可以定义为H*(X,A)=Ext*(Zx,A).这裡Ext是在X上的阿贝尔群滑轮的阿贝尔范畴中，并且Zx是局部常数层Z值函数。
对于具有剩馀域k的可交换诺特局部环R，ExtR*(k,k)是在k上的分级代数π*(R)的全包络代数，称为R的同伦代数。（准确地说，当k具有特徵2时，π*(R)必须被视为“调整的代数”。）从André-Quillen上同调D*(k/R,k)到π*(R)，如果k的特徵为零，则这是同构。