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子集
在数学中，如果A的所有元素也是B的元素，则集合A是集合B的子集；B是A的超集。A和B可能相等；如果它们不相等，则A是B的真子集。一个集合是另一个集合的子集的关係称为包含（或有时包含）。A是B的子集也可以表示为B包含（或包含）A或A包含（或包含）在B中。
子集关係定义了集合的偏序。实际上，给定集合的子集在子集关係下形成一个布尔代数，其中join和meet由intersection和union给出，子集关係本身就是布尔包含关係。
定义
如果A和B是集合併且A的每个元素也是B的一个元素，那麽：
A是B的子集，表示为A⊆B，或等效地，
B是A的超集，表示为B⊇A.
如果A是B的子集，但A不等于B（即至少存在一个B的元素不是A的元素），则：
A是B的适当（或严格）子集，表示为A⊊B，或等效地，
B是A的适当（或严格）超集，表示为B⊋A.
空集，写{}或者∅,是任何集合X的一个子集，并且是除它自身之外的任何集合的一个真子集，包含关係⊆是集合上的偏序P(S)（S的幂集——S的所有子集的集合）定义为A≤B⟺A⊆B.我们也可以部分订购P(S)通过反向集合包含通过定义A≤B当且仅当B⊆A.
量化时，A⊆B表示为∀X(X∈A⟹X∈B).
我们可以证明这个陈述A⊆乙通过应用称为元素参数的证明技术：
给定集合A和B。为了证明A⊆乙,
假设a是A的一个特定但任意选择的元素
证明a是B的一个元素。
该技术的有效性可以看作是通用泛化的结果：该技术表明C∈A⟹C∈B对于任意选择的元素c。然后，普遍概括意味着∀X(X∈A⟹X∈B),这相当于A⊆B,如上所述。
特性
集合A是B的子集当且仅当它们的交集等于A。
正式地：
A⊆B当且仅当A∩B=A.
集合A是B的子集当且仅当它们的并集等于B。
正式地：
A⊆B当且仅当A∪B=B.
有限集A是B的子集，当且仅当它们的交集的基数等于A的基数。
正式地：
A⊆B当且仅当|A∩B|=|A|.
⊂和⊃符号
一些作者使用这些符号⊂和⊃分别表示子集和超集；也就是说，与符号具有相同的含义，而不是符号⊆和⊇.例如，对于这些作者来说，每个集合A都是A⊂A.
其他作者更喜欢使用符号⊂和⊃分别表示适当的（也称为严格的）子集和适当的超集；也就是说，与符号具有相同的含义，而不是符号⊊和⊋.这种用法使⊆和⊂类似于不等式符号≤和<.例如，如果x≤y,那麽x可能等于也可能不等于y，但是如果x<y,那麽x绝对不等于y，并且小于y。同样，使用约定⊂是适当的子集，如果A⊆B,那麽A可能等于也可能不等于B，但是如果A⊂B,那麽A绝对不等于B。
子集示例
集合A={1,2}是B={1,2,3}的真子集，因此两个表达式A⊆B和A⊊B是真的。
集合D={1,2,3}是E={1,2,3}的子集（但不是真子集），因此D⊆E是真的，并且D⊊E不是真（假）。
任何集合都是其自身的子集，但不是真子集。(X⊆X是真的，并且X⊊X对于任何集合X都是假的。）
集合{x:x是大于10的素数}是{x:x是大于10的奇数}的真子集
自然数集是有理数集的真子集；同样，线段中的点集是线段中点集的真子集。这是两个例子，其中子集和整个集合都是无限的，并且子集具有与整体相同的基数（与大小相对应的概念，即有限集合的元素数）；这种情况可能会违背一个人最初的直觉。
有理数集是实数集的真子集。在这个例子中，两个集合都是无限的，但后者的基数（或幂）比前者更大。
欧拉图中的另一个例子：
包含的其他性质
包含是规范的偏序，在这个意义上，每个偏序集(X,⪯)与按包含排序的某些集合同构。序数是一个简单的例子：如果每个序数n都用集合标识[n]小于或等于n的所有序数，然后a≤b当且仅当[a]⊆[b].
对于电源组P(S)集合S的包含偏序是-直到一个阶同构-的笛卡尔积ķ=|S|（S的基数）偏序的副本{0,1}为此0<1.这可以通过枚举来说明S={s1,s2,…,sķ},，并与每个子集相关联T⊆S（即，每个元素2^S小号)k元组来自{0,1}^ķ,其中第i个坐标为1当且仅当sᵢ是T的成员。
模型理论
在数理逻辑中，模型理论是对形式理论（用形式语言表达关于数学结构的陈述的句子的集合）与其模型（理论陈述所在的结构）之间关係的研究。研究的方麵包括理论模型的数量和大小、不同模型之间的关係以及它们与形式语言本身的相互作用。特别是，模型理论家还研究了可以定义的集合在理论模型中，以及这些可定义集合之间的关係。作为一门独立的学科，模型理论可以追溯到AlfredTarski，他在1954年的出版物中首次使用了“模型理论”这一术语。自1970年代以来，该主题一直受到SaharonShelah的稳定性理论的决定性影响。
与证明论等数理逻辑的其他领域相比，模型论通常不太关心形式的严谨性，而在精神上更接近经典数学。这引发了“如果证明论是关于神圣的，那麽模型论是关于世俗的”的评论。模型理论在代数和丢番图几何中的应用反映了这种与经典数学的接近性，因为它们通常涉及代数和模型理论结果和技术的整合。
模型理论领域最着名的学术组织是符号逻辑协会。
概述
本页重点介绍无限结构的有限一阶模型理论。
相对强调理论模型的类别，而不是模型中可定义集合的类别，在该学科的历史上有所波动，这两个方向分别由1973年和1997年的简明特徵进行了总结：
模型理论=通用代数+逻辑
其中，通用代数代表数学结构，逻辑代表逻辑理论；和
模型理论=代数几何-场。
其中逻辑公式对于可定义的集合就像方程对于一个领域的变化一样。
儘管如此，模型类别和可在其中定义的集合之间的相互作用对于模型理论在其整个历史中的发展至关重要。例如，虽然最初引入稳定性是为了根据给定基数中的模型数量对理论进行分类，但稳定性理论被证明对于理解可定义集合的几何形状至关重要。
一阶模型理论的基本概念
一阶逻辑
一阶公式由原子公式如R(f(x,y),z)或y=x+1通过布尔连接词构建而成¬,∧,∨,→和量词的前缀∀v或者∃v.句子是一个公式，其中变量的每次出现都在相应量词的范围内。公式的示例是φ（或φ(x)，以表示最多x是φ中的未绑定变量）和ψ定义如下：
φ=∀u∀v(∃w(x×w=u×v)→(∃w(x×w=u)∨∃w(x×w=v)))∧x≠0∧x≠1,:
ψ=∀u∀v((u×v=x)→(u=x)∨(v=x))∧x≠0∧x≠1.
（请注意，这裡的等号符号有双重含义。）如何将这些公式转换为数学含义，直观上是很清楚的。在σsmr结构中ñ例如，对于自然数，元素n满足公式φ当且仅当n是素数。公式ψ类似地定义了不可约性。塔斯基对满足关係给出了严格的定义，有时称为“塔斯基对真理的定义”⊨，因此很容易证明：
ñ⊨φ(n)⟺n是一个素数。
ñ⊨ψ(n)⟺n是不可约的。
一套T句子的数量称为（一阶）理论，它将集合中的句子作为其公理。一个理论是可满足的，如果它有一个模型M⊨T，即满足集合中所有句子的结构（具有适当的签名）T.一个完整的理论是包含每个句子或其否定的理论。一个结构所满足的所有句子的完整理论也称为该结构的理论。
这是哥德尔完备性定理（不要与他的不完备性定理混淆）的一个结果，即当且仅当一个理论是一致的，即该理论没有证明矛盾时，它才有模型。因此，模型理论家经常将“一致”作为“可满足”的同义词。
基本模型理论概念
签名或语言是一组非逻辑符号，这样每个符号要么是函数符号，要么是关係符号，并且具有指定的arity。结构是一个集合M连同签名的每个符号作为关係和功能的解释M（不要与一种结构在另一种结构中的解释相混淆）。有序环的常见签名是σ○r={0,1,+,×,-,<}，在哪裡0和1是0元函数符号（也称为常量符号），+和×是二进制函数符号，-是一元函数符号，并且<是二元关係符号。然后，当这些符号被解释为与它们通常的含义相对应时Q（所以例如+是一个函数Q^2至Q和<是的一个子集Q^2)，得到一个结构(Q,σ○r).一种结构ñ据说是对一组一阶句子建模T如果每个句子在给定的语言中T是真的ñ关于先前指定的的解释ñ.
一个子结构Aσ结构的B是其域的子集，在其签名σ中的所有函数下闭合，通过将σ中的所有函数和关係限制为子集，将其视为σ结构。这概括了代数中的类似概念；例如，子群是签名中具有乘法和逆运算的子结构。
如果对于任何一阶公式φ和任何元素a1,...,an，则称子结构是基本的A,
A⊨φ(a₁,...,aₙ)当且仅当B⊨φ(a₁,...,aₙ).
特别是，如果φ是一个句子并且A的基本子结构B，然后A⊨φ当且仅当B⊨φ.因此，当上层建筑是一个模型时，一个基本的子结构就是一个理论的模型。因此，虽然代数数域Q是複数域的基本子结构C,有理场Q不是，因为我们可以将“Thereisasquarerootof2”表示为满足的一阶句子C但不是通过Q.
一个σ结构的嵌入A进入另一个σ结构B是域之间的映射f:A→B，可以写成一个有一个子结构乙.如果它可以写成具有基本子结构的同构，则称为基本嵌入。每个嵌入都是单射同态，但只有在签名不包含关係符号时才成立，例如在组或字段中。
通过简单地忽略其某些结构，可以将场或向量空间视为（交换）群。模型理论中的相应概念是将结构简化为原始签名的子集。相反的关係称为展开-例如，有理数的（加法）群，被视为签名{+,0}中的结构，可以展开为签名为{×,+,1,0}的字段或到具有签名{+,0,<}的有序组。
类似地，如果σ'是扩展另一个签名σ的签名，那麽一个完整的σ'-理论可以通过将其句子集与σ-公式集相交来限制为σ。相反，一个完整的σ-理论可以被视为一个σ'-理论，并且可以将其（以不止一种方式）扩展为一个完整的σ'-理论。术语缩减和扩展有时也适用于这种关係。
紧緻性和Löwenheim-Skolem定理
紧緻性定理指出，如果S的每个有限子集都是可满足的，则一组句子S是可满足的。具有一致而不是可满足的类似陈述是微不足道的，因为每个证明只能有有限数量的前因用于证明。完备性定理允许我们将其转化为可满足性。然而，紧緻性定理也有几个直接（语义）证明。作为推论（即它的反证法），紧緻定理说每个不可满足的一阶理论都有一个有限的不可满足子集。这个定理在模型理论中具有核心重要性，在模型理论中“通过紧緻性”这个词是司空见惯的。
一阶模型理论的另一个基石是Löwenheim-Skolem定理。根据Löwenheim-Skolem定理，可数签名中的每个无限结构都有一个可数基本子结构。相反，对于任何无限基数κ，基数小于κ的可数签名中的每个无限结构都可以基本嵌入到基数κ的另一个结构中（对不可数签名有一个直接的推广）。特别是，Löwenheim-Skolem定理意味着任何具有无限模型的可数签名中的理论都具有可数模型以及任意大的模型。
在Lindström定理精确的某种意义上，一阶逻辑是Löwenheim-Skolem定理和紧緻性定理都成立的最具表现力的逻辑。
可定义性
可定义集
在模型论中，可定义集是重要的研究对象。例如，在ñ公式
∀u∀v(∃w(x×w=u×v)→(∃w(x×w=u)∨∃w(x×w=v)))∧X≠0∧X≠1
定义素数的子集，而公式
∃y(2×y=x)
定义偶数的子集。以类似的方式，具有n个自由变量的公式定义了M^n.例如，在一个字段中，公式
y=X×X
定义所有曲线(x,y)这样y=x^2.
这裡提到的两个定义都是无参数的，即定义公式没有提到任何固定域元素。但是，也可以考虑使用模型中的参数进行定义。例如，在R，公式
y=x×x+π
使用参数π从R定义曲线。
消除量词
一般来说，没有量词的可定义集合很容易描述，而包含可能嵌套量词的可定义集合可能要復杂得多。
这使得量词消除成为分析可定义集合的关键工具：如果每个一阶公式φ(x1,...,xn)在其签名上都等效于模T到一阶公式ψ，则理论T具有量词消除(x1,...,xn)没有量词，即∀x₁…∀xₙ(ϕ(x₁,…,xₙ)↔ψ(x₁,…,xₙ))适用于T的所有模型。如果结构理论具有量词消除，则结构中可定义的每个集合都可以通过无量词公式在与原始定义相同的参数上进行定义。例如，签名σring=(×,+,−,0,1)中的代数闭域理论具有量词消除。这意味着在代数闭域中，每个公式都等价于多项式之间方程的布尔组合。
如果一个理论没有量词消除，可以在它的签名中添加额外的符号，这样它就可以了。特定理论的公理化和量词消除结果，尤其是代数，是模型理论的早期标誌性结果。但通常不是量词消除，一个较弱的属性就足够了：
如果T的模型本身是T的模型的每个子结构都是基本子结构，则理论T称为模型完备的。有一个有用的标准来测试一个子结构是否是一个基本的子结构，称为Tarski-Vaught测试。从这个标准可以得出，一个理论T是模型完备的，当且仅当每个一阶公式φ(x1,...,xn)在其签名上都等效于模T到一个存在的一阶公式，即以下形式的公式：
∃v₁…∃vₘψ(x₁,…,xₙ,v₁,…,vₘ),
其中ψ是无量词的。一个不完全模型的理论可能有一个模型完成，它是一个相关的模型完全理论，通常不是原始理论的扩展。更一般的概念是模型伴侣的概念。
极简主义
在每个结构中，每个有限子集{a₁,…,aₙ}可通过参数定义：只需使用公式
x=a₁∨⋯∨x=aₙ.
因为我们可以否定这个公式，所以每个馀有限子集（包括域中除了有限多个元素之外的所有元素）也总是可定义的。
这就引出了最小结构的概念。一种结构M如果每个子集都称为最小A⊆M可使用参数定义M是有限的或有限的。理论层面的相应概念称为强最小：如果T的每个模型都是最小的，则将理论T称为强最小。结构被称为强最小如果该结构的理论极小。等效地，如果每个基本扩展都是最小的，则结构是强最小的。由于代数封闭域的理论具有量词消除，因此代数封闭域的每个可定义子集都可以通过一个变量中的无量词公式来定义。一个变量中的无量词公式表示一个变量中多项式方程的布尔组合，并且由于一个变量中的非平凡多项式方程只有有限数量的解，因此代数闭域的理论是极小的。
另一方面，场R实数不是最小的：例如，考虑可定义的集合
φ(x)=∃y(y×y=x).
这定义了非负实数的子集，它既不是有限的也不是有限的。实际上可以使用φ在实数线上定义任意间隔。事实证明，这些足以代表每个可定义的子集R.这种最小化的概括在有序结构的模型理论中非常有用。一个密集的完全有序的结构M在包含顺序关係符号的签名中，如果每个子集都称为o-minimalA⊆M可使用参数定义M是点和区间的有限联合。
可定义和可解释的结构
特别重要的是那些也是子结构的可定义集合，即包含所有常量并且在函数应用下是封闭的。例如，可以研究某个组的可定义子组。然而，没有必要将自己限制在同一签名中的子结构中。由于具有n个自由变量的公式定义了M^n,n元关係也可以定义。如果函数图是可定义的关係，则函数是可定义的，并且常数a∈M如果有公式是可定义的φ(x)使得a是唯一的元素M这样φ(a)是真的。通过这种方式，人们可以研究一般结构中的可定义群和场，例如，这在几何稳定性理论中很重要。
甚至可以更进一步，超越直接的子结构。给定一个数学结构，经常有关联的结构可以通过等价关係构造为原始结构的一部分的商。一个重要的例子是群的商群。有人可能会说，要了解完整的结构，就必须了解这些商。当等价关係可定义时，我们可以给前面的句子一个精确的含义。我们说这些结构是可解释的。一个关键的事实是，人们可以将句子从解释结构的语言翻译成原始结构的语言。因此可以证明，如果一个结构米解释另一个理论无法确定的人，然后M本身是不可判定的。
类型
基本概念
对于一系列元素a₁,…,aₙ结构的M和一个子集AM，可以考虑所有一阶公式的集合φ(x₁,…,xₙ)A中的参数满足a₁,…,aₙ.这被称为完全（n-）类型实现a₁,…,aₙ超过A。如果有一个自同构M在A上是恆定的并发送a₁,…,aₙ至b₁,…,bₙ分别，那麽a₁,…,aₙ和b₁,…,bₙ在A上实现相同的完整类型。
实数线R，被视为仅具有顺序关係{<}的结构，将作为本节中的一个运行示例。每一个元素a∈R在空集上满足相同的1型。这一点很清楚，因为任何两个实数a和b都通过将所有数字移动ba的顺序自同构连接。由一对数实现的空集上的完全二型a₁,a₂取决于他们的顺序：要么a₁<a₂,a₁=a₂或者a₂<a₁.在子集上Z⊆R在整数中，非整数实数a的1类型取决于其向下舍入到最接近整数的值。
更一般地说，每当M是一个结构和A的一个子集M，A上的（部分）n型是一组公式p，最多具有n个自由变量，这些自由变量在基本扩展中实现ñ的M.如果p包含所有这样的公式或其否定，则p是完整的。A上的完整n类型的集合通常写为Sn/M(A).如果A是空集，那麽类型空间只取决于理论T的M.符号Sₙ(T)常用于与空集一致的类型集T.如果只有一个公式φ这样的理论M暗示φ→ψ对于每个公式ψ在p中，则p称为孤立的。
由于实数R是阿基米德，没有比每个整数都大的实数。然而，紧緻性论证表明实数线存在一个基本扩展，其中有一个元素大于任何整数。因此，公式集{n<x|n∈Z}是1-typeoverZ⊆R这在实数线上没有实现R.
的一个子集M^n可以准确地表示为米n在A上实现某种类型称为A上的类型可定义。对于代数示例，假设M是代数闭域。该理论有量词消除。这使我们能够证明一个类型完全由它包含的多项式方程决定。这样就完成了集合n-子字段上的类型A对应于多项式环的素理想集A[x₁,…,xₙ]，而类型可定义的集合正是彷射变体。
结构和类型
虽然不是每个结构都实现了每个类型，但每个结构都实现了它的隔离类型。如果在结构中实现的空集上的唯一类型是孤立类型，则该结构称为atomic。
另一方面，没有一种结构可以在每个参数集上实现每种类型。如果一个人把所有M作为参数集，则每1-typeoverM实现于M由a=x形式的公式隔离a∈M.然而，任何适当的基本扩展M包含不在其中的元素M.因此，引入了一个较弱的概念，该概念捕获了结构实现它可以预期实现的所有类型的想法。如果一个结构在参数集上实现所有类型，则称为饱和结构A⊂M其基数小于M本身。
虽然在A上恆定的自同构将始终保留A上的类型，但任何两个序列通常都不是真的a₁,…,aₙ和b₁,…,bₙ在A上满足相同类型的可以通过这种自同构相互映射。一种结构M其中这个相反的情况确实适用于所有小于基数的AM称为齐次。
实数行在仅包含顺序的语言中是原子的<,因为空集上的所有n类型由a₁,…,aₙ在R被之间的顺序关係隔离a₁,…,aₙ.然而，它不是饱和的，因为它在可数集上没有实现任何1-typeZ这意味着x大于任何整数。有理数线Q相反，是饱和的，因为Q本身是可数的，因此只需要实现有限子集上的类型就可以饱和。
拓扑空间
可定义子集的集合M^n在一些参数上A是一个布尔代数。根据斯通对布尔代数的表示定理，存在一个自然的对偶拓扑空间，它恰好由完整的n-类型超过A.由表单集生成的拓扑{p|φ∈p}对于单个公式φ.这称为A上的n型斯通空间。这个拓扑解释了模型理论中使用的一些术语：紧緻性定理说Stone空间是一个紧拓扑空间，并且当且仅当p是Stone拓扑中的一个孤立点时，类型p是孤立的。
虽然代数闭域中的类型对应于多项式环的谱，但类型空间上的拓扑是可构造的拓扑：一组类型是基本开放的，当且仅当其形式为{p：f(x)=0∈p}或形式{p：f(x)≠0∈p}.这比Zariski拓扑更好。
构建模型
实现和省略类型
构建实现某些类型而不实现其他类型的模型是模型理论中的一项重要任务。未实现类型被称为省略它，并且通常可以通过（可数）省略类型定理：
让T是一个可数签名中的理论并让Φ是空集上的非孤立类型的可数集。
然后有一个模型M的T它省略了每种类型Φ.
这意味着如果可数签名中的理论在空集上仅具有可数多个类型，则该理论具有原子模型。
另一方面，总是有一个基本扩展，其中实现了固定参数集上的任何类型集：
让M是一个结构，让Φ是给定参数集上的一组完整类型A⊂M.
然后有一个基本的扩展ñ的M它实现了每种类型Φ.
然而，由于参数集是固定的，这裡没有提到基数ñ，这并不意味着每个理论都有一个饱和模型。事实上，是否每个理论都有一个饱和模型独立于集合论的策梅洛-弗兰克尔公理，如果广义连续统假设成立，则它是正确的。
超滤器
Ultraproducts用作构建实现某些类型的模型的通用技术。通过识别几乎所有条目一致的那些元组，从索引集I上的一组结构的直接乘积中获得超积，其中几乎所有条目都由I上的超滤器U变得精确。相同结构的副本的超乘积称为超幂。在模型理论中使用超积的关键是Łoś定理：
让Mᵢ成为一组σ-由索引集I和U索引的结构I上的超滤器。那麽任何σ-公式φ([(aᵢ)iε:Ｉ])在超积中是真的Mᵢ经过ü如果所有的集合i∈Ｉ为此Mᵢ⊨φ(aᵢ)位于U。特别是，一个理论模型的任何超乘积本身就是该理论的一个模型，因此如果两个模型具有同构的超幂，它们基本上是等价的。Keisler-Shelah定理提供了一个相反的公式：
如果M和ñ是基本等价的，那麽有一个集合I和一个超滤器U在I上，使得U的超幂M和：ñ是同构的。
因此，超乘积提供了一种讨论基本等价的方法，根本避免提及一阶理论。模型理论的基本定理，例如紧緻性定理，有使用超积的替代证明，，如果它们存在，它们可以用来构造饱和的基本扩展。
分类
如果一个理论确定了一个同构的结构，则它最初被称为分类理论。事实证明，这个定义没有用，因为一阶逻辑的表达能力受到严重限制。Löwenheim-Skolem定理意味着，如果一个理论T对某个无限基数有一个无限模型，那麽对于任何足够大的基数κ，它都有一个大小为κ的模型。由于两个不同大小的模型不可能是同构的，所以只能用分类理论来描述有限的结构。
然而，基数κ的较弱的κ分类概念已成为模型理论中的一个关键概念。如果任何两个具有基数κ的T模型是同构的，则理论T称为κ分类。事实证明，κ-范畴的问题关键取决于κ是否大于语言的基数（即ℵ₀+|σ|，其中|σ|是签名的基数）。对于有限或可数签名，这意味着两者之间存在根本区别ω不可数κ的-cardinality和κ-cardinality。
ω-分类
ω-范畴理论可以通过其类型空间的属性来表徵：
对于有限或可数签名中的完整一阶理论T，以下条件是等价的：
T是ω-分类的。
Sn(T)中的每个类型都是孤立的。
对于每个自然数n，Sn(T)都是有限的。
对于每个自然数n，n个自由变量中的公式φ(x1,...,xn)的数量，直到等价模T，都是有限的。
的理论(Q,<),这也是理论(R,<)，是ω-分类的，作为每个n类型p(x₁,…,xₙ)在空集上被xᵢ.这意味着每个可数稠密线性阶都与有理数线同构。另一方面，理论Q,R和C因为字段不是ω-分类的。这是因为在所有这些领域中，任何无限多的自然数都可以通过以下形式的公式来定义x=1+⋯+1.
ℵ₀-分类理论及其可数模型也与寡态群有密切联繫：
有限或可数签名中的完整一阶理论T是ω-分类当且仅当其自同构群是寡态的。
本小节的等价特徵，独立于Engeler、Ryll-Nardzewski和Svenonius，有时被称为Ryll-Nardzewski定理。
在组合签名中，常见的来源ω-分类理论是Fraïssé极限，它是作为合併一类有限关係结构的所有可能配置的极限而获得的。
不可数的范畴
MichaelMorley在1963年表明，可数语言中的理论只有一个不可数范畴性的概念。
莫利范畴定理
如果有限或可数签名中的一阶理论T对于某些不可数基数κ是κ-分类的，则T对于所有不可数基数κ是κ-分类的。
Morley的证明揭示了不可数分类性与模型内部结构之间的深层联繫，这成为分类理论和稳定性理论的起点。从许多角度来看，不可数的分类理论是表现最好的理论。特别是，完全强最小理论是不可数分类的。这说明给定特徵的代数闭域理论是不可数范畴的，域的超越度决定了它的同构类型。
两者兼而有之的理论ω-categorical和不可数categorical称为完全分类。
稳定性理论
一阶理论模型类结构的一个关键因素是它在稳定性层次结构中的位置。
一个完整的理论T称为λ-稳定的大基数λ如果对于任何型号MT和任何参数集A⊂M的：基数不超过λ,最多有λ在A上完成T类型。
如果一个理论是稳定的λ-对于一些无限基数来说是稳定的λ.传统上，理论是ℵ₀-stable被称为ω-稳定。
稳定性层次结构
稳定性理论的一个基本结果是稳定性谱定理，这意味着可数签名中的每个完整理论T都属于以下类别之一：
没有大基数λ使得T是λ-稳定的。
T是λ-稳定当且仅当λ^ℵ₀=λ{（请参阅基数取幂以了解λ^ℵ₀）。
T是λ-稳定的任何λ≥2^ℵ₀（在哪裡2^ℵ₀{是连续统的基数）。
第一类理论称为不稳定，第二类理论称为严格稳定，第三类理论称为超稳定。此外，如果一个理论是ω-stable，它在每个无限基数中都是稳定的，所以ω-稳定性强于超稳定性。
当限于稳定理论时，模型理论中的许多构造更容易；例如，无论广义连续统假设是否正确，一个稳定理论的每个模型都有一个饱和的基本扩展。Shelah研究稳定理论的最初动机是决定一个可数理论有多少模型具有任何不可数的基数。如果一个理论是不可数范畴的，那麽它是ω-稳定的。更一般地，主间隙定理意味着如果有一个不可数的基数λ使得理论T小于2^λ基数模型λ，则T是超稳定的。
几何稳定性理论
稳定性层次结构对于分析理论模型中可定义集合的几何形状也至关重要。在ω-稳定的理论，Morley秩是模型中可定义集合S的重要维度概念。它由超限归纳定义：
如果S非空，则Morley秩至少为0。
对于后继序数α，如果在M的某个基本扩展N中，集合S具有无限多个不相交的可定义子集，则Morley秩至少为α，每个子集的秩至少为α-1。
对于非零极限序数α，如果对于所有小于α的β至少为β，则莫利秩至少为α。
每个可定义的集合都具有明确定义的Morley秩的理论T称为完全超越的；如果T是可数的，那麽T是完全超越的当且仅当T是ω-稳定的。通过将类型的MorleyRank设置为该类型中公式的Morley秩的最小值，可以将Morley秩扩展到类型。因此，也可以说元素a在参数集A上的Morley秩，定义为a在A上的类型的Morley秩。当且仅当理论是超稳定的（U-rank）或仅仅是稳定的（Shelah's∞-秩）。这些维度概念可用于定义独立性和通用扩展的概念。
最近，稳定性被分解为简单性和“非独立性”（NIP）。简单理论是那些可以定义良好的独立性概念的理论，而NIP理论则概括了o-极小结构。它们与稳定性有关，因为当且仅当理论是NIP且简单时，它才是稳定的，并且稳定性理论的各个方面已被推广到其中一类的理论。
非初等模型理论
模型理论的结果已经推广到基本类之外，即可以通过一阶理论公理化的类。
高阶逻辑或无穷逻辑中的模型理论受到以下事实的阻碍：完整性和紧凑性通常不适用于这些逻辑。Lindstrom定理使这一点变得具体，粗略地指出一阶逻辑本质上是Löwenheim-Skolem定理和紧緻性都成立的最强逻辑。然而，模型理论技术也已针对这些逻辑进行了广泛的开发。然而，事实证明，更具表现力的逻辑语言的大部分模型理论独立于Zermelo-Fraenkel集合论。
最近，除了将焦点转移到完整的稳定和分类理论之外，还有一些工作是在语义上定义而不是由逻辑理论公理化的模型类别。一个例子是同质模型理论，它研究任意大的同质模型的子结构类。稳定性理论和几何稳定性理论的基本结果推广到此设置。作为强极小理论的概括，准极小优秀类是指其中每个可定义集合都是可数或共可数的。它们是複指数函数模型理论的关键。研究稳定性的最一般的语义框架是抽象的基本类，它们由强子结构关係定义，该关係概括了基本子结构的关係。儘管它的定义是纯语义的，但每个抽象的基本类都可以表示为省略某些类型的一阶理论的模型。将稳定性理论概念推广到抽象的基本类是一项正在进行的研究计划。
选定的应用程序
模型理论的早期成功之一是Tarski对各种有趣的代数类的量词消除的证明，例如实封闭域、布尔代数和给定特徵的代数封闭域。量词消除使Tarski证明了实闭域和代数闭域的一阶理论以及布尔代数的一阶理论是可判定的，将布尔代数分类为初等等价，并表明实数闭域的理论给定特徵的闭域和代数闭域是唯一的。此外，量词消除提供了代数闭域上可定义关係的精确描述代数簇和实封闭域上的可定义关係作为半代数集
在1960年代，超积构造的引入导致了代数的新应用。这包括Ax在伪有限域上的工作，证明了有限域的理论是可判定的，以及Ax和Kochen证明了Artin对丢番图方程的猜想的特例，即Ax-Kochen定理。超积构造也导致了亚伯拉罕罗宾逊的非标准分析的发展，其目的是提供一个严格的无穷小微积分。
最近，稳定性和可定义集合的几何之间的联繫导致了代数和丢番图几何的一些应用，包括EhudHrushovski1996年对所有特徵的几何Mordell-Lang猜想的证明2001年，使用了类似的方法证明马宁-芒福德猜想的推广。2011年，乔纳森·皮拉(JonathanPila)应用围绕o极小性的技术来证明模曲线乘积的安德烈-奥尔特猜想。
Laskowski在1992年也围绕稳定理论展开的另一项独立研究表明，NIP理论准确地描述了机器学习理论中PAC可学习的那些可定义类。这导致了这些独立领域之间的多次互动。2018年，随着Hunter和Chase表明稳定的理论对应于在线可学习课程，对应关係得到了扩展。
历史
模型理论作为一门学科大约在20世纪中叶就已经存在，这个名称是由Lwów–Warsaw学派的成员AlfredTarski在1954年创造的。然而，一些早期的研究，特别是在数理逻辑方面，回想起来，通常被认为具有模型理论性质。现在模型理论的第一个重要结果是向下Löwenheim-Skolem定理的一个特例，由LeopoldLöwenheim于1915年发表。紧緻性定理隐含在ThoralfSkolem的工作中，但它是第一个发表于1930年，作为引理KurtGödel对他的完备性定理的证明。Löwenheim-Skolem定理和紧緻性定理在1936年和1941年从AnatolyMaltsev那裡得到了它们各自的一般形式。模型理论作为一门独立学科的发展是由AlfredTarski在内战期间提出的。Tarski的工作包括逻辑结果、演绎系统、逻辑代数、可定义性理论和真理的语义定义等主题。他的语义方法在他和他的一些伯克利学生在1950年代和60年代开发的模型理论中达到顶峰。
在学科的进一步发展中，不同的分支开始出现，学科的焦点发生了转移。在1960年代，围绕超乘积的技术成为模型理论中的流行工具。与此同时，JamesAx等研究人员正在研究各种代数类的一阶模型理论，而H.JeromeKeisler等研究人员则将一阶模型理论的概念和结果扩展到其他逻辑系统.然后，受莫利问题的启发，谢拉发展了稳定性理论。他围绕稳定性所做的工作改变了模型理论的面貌，产生了一个全新的概念类别。这被称为范式转变在接下来的几十年裡，很明显，由此产生的稳定性层次结构与这些模型中可定义的集合的几何形状密切相关。这催生了现在被称为几何稳定性理论的分支学科。几何模型理论中一个有影响的证明的例子是赫鲁索夫斯基对函数场的莫德尔-朗猜想的证明。
与数理逻辑相关分支的连接
有限模型理论
专注于有限结构的有限模型理论在所研究的问题和所使用的技术上都与无限结构的研究有很大的不同。特别是，经典模型理论的许多核心结果在受限于有限结构时会失败。这包括紧緻性定理、哥德尔完备性定理和一阶逻辑的超积方法。在有限和无限模型理论的接口是算法或可计算模型理论和0-1定律的研究，其中一类结构的通用理论的无限模型提供了有关有限模型分佈的信息。FMT的突出应用领域是描述複杂性理论、数据库理论和形式语言理论。
集合论
任何集合论（以可数语言表示），如果它是一致的，则具有可数模型；这被称为斯科勒姆悖论，因为在集合论中有假设存在不可数集合的句子，但这些句子在我们的可数模型中是正确的。特别是连续统假设的独立性的证明需要考虑模型中的集合，这些集合从模型内部看似乎是不可数的，但对模型外的人来说是可数的。
模型论的观点在集合论中很有用；例如，在KurtGödel关于可构造宇宙的工作中，连同PaulCohen开发的强制方法，可以证明选择公理和连续统假设与其他公理的独立性（同样在哲学上很有趣）的集合论。
在另一个方向上，模型理论本身是在Zermelo-Fraenkel集合论中形式化的。例如，模型理论基础（如紧緻性定理）的发展依赖于选择公理，实际上相当于没有选择的Zermelo-Fraenkel集合论与布尔素理想定理。[62]模型理论中的其他结果依赖于标准ZFC框架之外的集合论公理。例如，如果连续统假设成立，那麽每个可数模型都具有饱和的超幂（以其自身的基数）。类似地，如果广义连续统假设成立，那麽每个模型都有一个饱和的基本扩展。这些结果都不能仅在ZFC中得到证明。最后，模型理论产生的一些问题（例如无限逻辑的紧緻性）已被证明等价于大基数公理。
宇宙（数学）
在数学中，特别是在集合论、范畴论、类型论和数学基础中，宇宙是一个集合，包含了在给定情况下希望考虑的所有实体。
在集合论中，宇宙通常是包含（作为元素）所有希望证明特定定理的集合的类。这些类可以作为各种公理系统的内部模型，例如ZFC或Morse-Kelley集合论。宇宙对于在集合论基础中形式化范畴论中的概念至关重要。例如，一个范畴的典型激励例子是Set，它是所有集合的范畴，如果没有一些宇宙的概念，它就不能在集合论中被形式化。
在类型论中，Universe是一种类型，其元素是类型。
在特定的上下文中
也许最简单的版本是任何集合都可以是一个宇宙，只要研究对象局限于该特定集合。如果研究的对像是由实数构成的，那麽实数线R，也就是实数集，可以是所考虑的宇宙。隐含地，这就是GeorgCantor在1870年代和1880年代首次开发现代朴素集合论和基数应用于实分析时所使用的宇宙。Cantor最初感兴趣的唯一集合是R的子集。
这个宇宙的概念反映在维恩图的使用上。在维恩图中，动作通常发生在代表宇宙U的大矩形内。人们通常说集合是用圆圈表示的；但这些集合只能是U的子集。集合A的补集则由A的圆之外的矩形部分给出。严格来说，这是A相对于U的相对补集U\A；但在U是宇宙的情况下，它可以被视为A的绝对补码AC。类似地，还有一个零交集的概念，即零集的交集（意思是没有集，不是零集）。
没有宇宙，零交集将是绝对一切的集合，这通常被认为是不可能的；但是考虑到宇宙，可以将零交集视为考虑中的所有事物的集合，即简单的U。这些约定在基于布尔格的基本集合论的代数方法中非常有用。除了在一些非标准形式的公理集合论中（如NewFoundations），所有集合的类都不是布尔格（它只是一个相对补格）。
相反，U的所有子集的类，称为U的幂集，是一个布尔格。上述的绝对补码就是布尔格中的补码运算；和U，作为零交点，用作布尔格中的顶部元素（或零交会）。然后德摩根定律，它处理相遇和连接的补码（在集合论中是并集），甚至适用于零相遇和零连接（它是空集）。
在普通数学中
然而，一旦考虑了给定集合X的子集（在康托尔的情况下，X=R），宇宙可能需要是X的一个子集。（例如，X上的拓扑是X的一组子集。）X的各种子集本身不是X的子集，而是X的幂集PX的子集。这可以继续；研究对象接下来可能由X的此类子集组成，依此类推，在这种情况下，宇宙将是P(PX)。在另一个方向上，可以考虑X上的二元关係（笛卡尔积X×X的子集），或者从X到自身的函数，需要像P(X×X)或XX这样的全域。
因此，即使主要兴趣是X，宇宙也可能需要比X大得多。按照上述想法，人们可能想要X上的上层建筑作为宇宙。这可以通过结构递归定义如下：
令S0X为X本身。
令S1X是X和PX的并集。
令S2X为S1X和P(S1X)的并集。
一般来说，让Sn+1X是SnX和P(SnX)的并集。
那麽X上的上层结构，写作SX，是S0X、S1X、S2X等的并集；或者
SX:=∞⋃i=0/SᵢX.
不管起点是什麽集合X，空集{}都属于S1X。空集是冯诺依曼序数[0]。那麽{[0]}，即唯一元素为空集的集合，将属于S2X；这是冯诺依曼序数[1]。类似地，{[1]}将属于S3X，因此{[0],[1]}也将属于{[0]}和{[1]}的并集；这是冯诺依曼序数[2]。继续这个过程，每个自然数在上层建筑中都由它的冯诺依曼序数表示。接下来，如果x和y属于上层结构，那麽{{x},{x,y}}也属于上层结构，它表示有序对(x,y)。因此，上层建筑将包含各种所需的笛卡尔积。然后上层结构也包含函数和关係，因为它们可以表示为笛卡尔积的子集。该过程还给出了有序的n元组，表示为域是冯诺依曼序数[n]的函数，依此类推。
因此，如果起点只是X={}，那麽数学所需的大量集合会作为{}上层结构的元素出现。但是S{}的每个元素都是一个有限集。每个自然数都属于它，但所有自然数的集合N不属于它（儘管它是S{}的子集）。事实上，{}上的上层结构由所有遗传有限集组成。因此，它可以被认为是有限数学的宇宙。说得不合时宜，有人可能会认为19世纪的有限论者LeopoldKronecker在这个宇宙中工作；他相信每个自然数都存在，但集合N（“完全无穷大”）不存在。
然而，对于普通数学家（不是有限论者）来说，S{}并不令人满意，因为即使N可以作为S{}的子集，N的幂集仍然不是。特别是，任意实数集是不可用的。因此可能需要重新开始该过程并形成S(S{})。然而，为了简单起见，我们可以将自然数的集合N作为给定并形成SN，即N上的上层建筑。这通常被认为是普通数学的宇宙.这个想法是，所有通常研究的数学都是指这个宇宙的元素。例如，实数的任何常用结构（比如Dedekind割）都属于SN。在自然数的非标准模型上，甚至可以在上层建筑中进行非标准分析。
与上一节相比，哲学略有转变，在前一节中，宇宙是任何感兴趣的U组。在那裡，正在研究的集合是宇宙的子集；现在，他们是宇宙的成员。因此，儘管P(SX)是布尔格，但相关的是SX本身不是。因此，很少将布尔格和维恩图的概念直接应用于上层建筑宇宙，就像它们应用于上一节的幂集宇宙一样。相反，可以使用单个布尔格PA，其中A是属于的任何相关集SX;那麽PA是SX的一个子集（实际上属于SX）。特别是在康托尔的情况X=R中，任意实数集都不可用，因此可能确实需要重新开始该过程。
在集合论中
SN是普通数学的宇宙的说法有可能给出精确的含义；它是Zermelo集合论的模型，公理化集合论最初由ErnstZermelo在1908年开发。Zermelo集合论之所以成功，正是因为它能够公理化“普通”数学，实现了康托尔在30多年前开始的计划。但是Zermelo集合论被证明不足以进一步发展公理化集合论和其他数学基础工作，特别是模型论。
举一个戏剧性的例子，上面对上层结构过程的描述本身不能在Zermelo集合论中进行。最后一步，将S形成为无限并集，需要替换公理，该公理于1922年被添加到Zermelo集合论中，形成了Zermelo-Fraenkel集合论，这是当今最广泛接受的公理集合。因此，虽然普通数学可以在SN中完成，但对SN的讨论超越了“普通”，进入了元数学。
但是如果引入高能集合论，上面的上层建筑过程就表明它只是一个超限递归的开始。回到X={}，空集，并为Si{}、V0={}、V1=P{}等引入（标准）符号Vi。但过去被称为“上层建筑”的东西现在只是列表中的下一项：Vω，其中ω是第一个无限序数。这可以扩展到任意序数：
Vᵢ:=j<i∪PVⱼ
为任何序数i定义Vi。所有Vi的并集是冯诺依曼宇宙V：
V:=i⋃Vᵢ.
每个个体Vi都是一个集合，但他们的并集V是一个真类。与替换公理大约同时被添加到ZF集合论的基础公理说每个集合都属于V。
库尔特·哥德尔的可构造宇宙L和可构造性公理
不可访问的基数产生ZF的模型，有时还产生额外的公理，并且等价于格洛腾迪克宇宙集的存在
在谓词演算中
在对一阶逻辑的解释中，宇宙（或话语领域）是量词范围内的个体（个体常数）的集合。如果没有确定话语域，则诸如∀x(x2≠2)之类的命题是模棱两可的。在一种解释中，话语领域可以是实数集；在另一种解释中，它可能是自然数集。如果话语域是实数集，则命题为假，x=√2作为反例；如果域是自然数集，则命题为真，因为2不是任何自然数的平方。
在范畴论中
宇宙还有另一种方法，它在历史上与范畴论有关。这就是格洛腾迪克宇宙的理念。粗略地说，格洛腾迪克宇宙是一个集合，在其中可以执行集合论的所有常用操作。这个版本的宇宙被定义为任何符合以下公理的集合：
x∈u∈U暗示x∈U
u∈U和v∈U暗示{u,v},(u,v)和u×v∈U.
x∈U暗示Px∈U和∪x∈U
ω∈U（这裡ω={0,1,2,...}是所有有限序数的集合。）
如果f：a→b是一个满射函数a∈U和b⊂U，然后b∈U.
GrothendieckUniverse的优势在于它实际上是一个集合，而不是一个适当的类。缺点是如果一个人足够努力，就会离开格洛腾迪克的宇宙。
格洛腾迪克全域U最常见的用途是将U作为所有集合的范畴的替代。有人说如果S∈U，集合S是U-小，否则U-大。所有U-小集合的范畴U-Set具有作为对象的所有U-小集合和作为态射这些集合之间的所有函数。对象集和态射集都是集，因此可以讨论“所有”集的类别而无需调用适当的类。然后可以根据这个新类别定义其他类别。例如，所有U小类别的类别是其对象集和态射集在U中的所有类别的类别。那麽集合论的常用论证适用于所有范畴的范畴，不必担心不小心谈到了真类。因为格洛腾迪克宇宙非常大，这几乎可以满足所有应用。
通常在使用格洛腾迪克宇宙时，数学家假设宇宙公理：“对于任何集合x，都存在一个宇宙U，使得x∈U。”这个公理的要点是，对于某个U而言，遇到的任何集合都是U-small，因此可以应用在一般格洛腾迪克宇宙中进行的任何论证。这个公理与强不可接近的基数的存在密切相关。
在类型论中
在某些类型理论中，特别是在具有依赖类型的系统中，类型本身可以被视为项。有一种类型叫做宇宙（通常表示ü)以类型为元素。为了避免诸如Girard悖论（类型论的罗素悖论的类似物）之类的悖论，类型理论通常配备了此类宇宙的可数无限层次结构，每个宇宙都是下一个宇宙的一个术语。
在类型论中至少可以考虑两种宇宙：罗素式宇宙（以伯特兰·罗素命名）和塔斯基式宇宙（以阿尔弗雷德·塔斯基命名）。罗素式宇宙是一种类型，其项就是类型。Tarski风格的宇宙是一个类型以及一个解释操作，允许我们将其术语视为类型。
例如：
Martin-Löf型理论的开放性在引入所谓的宇宙时表现得尤为明显。类型域封装了反射的非正式概念，其作用可以解释如下。在发展类型理论的特定形式化的过程中，类型理论家可能会回顾迄今为止引入的类型规则，例如C，并根据Martin-Löf的非正式形式执行识别它们有效的步骤意义解释的语义。这种“内省”的行为是试图了解过去支配我们构建的概念。它产生了“反射原理”粗略地说，我们习惯用类型做的任何事情都可以在一个宇宙中完成”（Martin-Löf1975,83）。在形式层面上，这导致类型理论的现有形式化的扩展，因为C的类型形成能力被奉为一个类型宇宙UC镜像C。