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　　集合论：
　　集合论是研究集合的数理逻辑分支，可以非正式的描述为对象的集合。儘管任何类型的对象都可以收集到一个集合之中，但集合论作为数学的一个分支主要关注于整个数学相关的对象。
　　格奥尔格.康托尔通常被认为是集合论的创始人。在这个早期研究阶段的非形式化系统被称之为朴素集合论。在发现朴素集合论中的悖论（列如罗素悖论，康托尔悖论和布拉利.福尔蒂悖论）后，在20世纪初提出各种公理系统，其中策梅洛-弗兰克尔集合论（有或没有选择公理）仍然是最着名和研究最多的。
　　集合论通常被用作整个数学的基础系统，特别是带有选择公理的策梅洛.弗兰克尔集合论的形式。除了它的基础作用之外，集合论还提供了发展无穷数学理论的框架，并且在计算机科学（例如关係代数理论）、哲学和形式语义学中有各种应用。它的基本吸引力，连同它的悖论，对无限概念的影响及其多重应用，死集合论成为逻辑学家和数学哲学家主要研究领域。当代对集合论的研究涵盖了广泛的主题，从实数线的结构到大基数一致性的研究。
　　历史：
　　数学主题通常偷过许多研究人员之间的互动而出现和发展。然而，集合论是由格奥尔格.康托尔在1874年的一篇论文中创立的。
　　至公元前五世纪以来，从西方的希腊数学家芝诺和东方早期的印度数学家开始，数学家一直在于无穷大的概念做斗争。现代对无穷的理解始于1870年至1874年，其起源是康托尔在实数分析方面的工作。康托尔和理查德.戴德金在1872年的一次会面影响了康托尔的思想，并在康托尔1874年的论文中得以实现。
　　康托尔的工作最初使他那个时代的数学家两极分化。虽然卡尔.魏尔斯特拉斯和理查德.戴德金支持康托尔，但现在被视为数学建构主义创始人的利奥波德.克罗内克并不支持。由于集合论概念的实用性，列如集合之间的一一对应，它证明实数多于整数，以及“真正的无穷大”（康托尔的天堂）。康托尔集合论最终得到广泛传播并由幂集操作产生。
　　集合论的第二波浪潮出现在1900年左右，当时人们发现对康托尔集合论的一些解释引起了几个悖论。伯特兰.罗素和恩斯特.策梅洛独立发现了最简单和最着名的悖论，现在被称之为罗素悖论：“考虑所有不属于自身集合的集合”，而这会导致悖论。因为它必须是自身的集合，而不是本身的集合。1899年，康托尔自己提出了“什麽是基数的集合的集合？”，并获得了一个相关悖论。伯特兰.罗素在他1903年的《数学原理》中对数学的评论使用了他的悖论作为主题。当中并没有使用「集」而是使用「类」。而随后也在理论上被更多的使用。
　　1906年，「集合」一词出现在剑桥大学出版社的夫妻威廉亨利扬和格雷丝.奇泽姆.杨所着的《点集理论》中。
　　集合论的趋势导致关于悖论的辩论并没有导致它被数学抛弃。策梅洛在1908年的工作以及亚伯拉罕.弗兰克尔和索拉夫.斯科勒姆在1922年的工作产生了公理集ZFC。ZFC成为了集合论中最常用的公理集。实数分析方面，如亨利.勒贝格的工作，展示了集合论在数学上的巨大效用。而此后集合论也已融入现代数学的结构中。集合论在数学中通常被用作基础系统方面，并且在某些领域——例如代数几何和代数拓扑，范畴论被认为是首选的基础。
　　基本概念和符号：
　　集合论始于两个集合ｏ和Ａ之间的基本二元关係。如果ｏ是Ａ的元素，则ｏ∈Ａ。集合通过在大括号｛｝中列出用逗号分隔的元素或透过其元素的特徵属性来描述。由于集合是指某个对象，所以元素之间的关係也可以关联集合。
　　两个集合之间衍生的二元关係是子集关係，也称为集合包含。如果集合Ａ所具有的所有元素都在集合Ｂ之中，则Ａ是Ｂ的子集。写为Ａ⊆Ｂ。例如，｛1,2｝是｛1,2,3｝的子集，｛2｝也是如此。但｛1,4｝不是。正如这个定义所示，一个集合的一部分是另一个集合的子集，对于这种情况，数学家定义了术语「真子集」。Ａ被称为Ｂ的真子集且仅当Ａ是Ｂ的子集，但Ａ不等于Ｂ。此外，1,2,3是集合｛1,2,3｝的元素，而不是它的子集。反过来，子集｛1｝不是集合｛1,2,3｝的元素。
　　正如算术以数学的二元运算为特徵，集合论以对集合的二元运算为特徵。以下是其中的部分列表。
　　集合Ａ和Ｂ的併集，表示为Ａ∪Ｂ，属于Ａ或Ｂ或两者的所有元素的结合。例如｛1,2,3｝和｛2,3,4｝的併集是集合｛1,2,3,4｝。
　　集合Ａ和Ｂ的交集，表示为Ａ∩Ｂ，属于Ａ和Ｂ的所有对象的集合。例如｛1,2,3｝和｛2,3,4｝的交集就是集合｛2,3｝。
　　U和A的集差，记为U\A，是U集合的所有非A集合元素的集合。{1,2,3}\{2,3,4}的集差是{1}，反之，{2,3,4}\{1,2,3}的集差是{4}。当A是U的子集时，集差U\A也称为A在U的补集中。在这种情况下，有时使用符号Aᶜ代替U\A，特别是如果U是一个通用集，如在维恩图的研究中。
　　集合A和B的对称差，表示为A△B或A⊖B，是恰好属于A和B之一的所有对象的集合（元素在其中一个集合中，但不在两个集合中）。例如，对于集合{1,2,3}和{2,3,4}，对称差集是{1,4}。它是并集和交集的差集，(A∪B)\(A∩B)或(A\B）∪（B\A）。
　　A和B的笛卡尔积，表示为A×B，是其成员都是可能的有序对(a,b)的集合，其中a是A的成员，b是B的成员。例如，{1,2}和​​{red,white}的笛卡尔积是{(1,red),(1,white),(2,red),(2,white)}。
　　集合Ａ的幂集，记为Ｐ（Ａ），其元素是Ａ的所有可能子集的集合。例如｛1,2｝的幂集是｛｛｝,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝｝。
　　一些具有核心意义的基本集是自然数集，实数集和空集——不包含任何元素的唯一集。儘管这个名称并不明确，并且可能导致多种解释。
　　本体论：
　　在一个遗传集之中，如果集合的所有元素都是集合，元素的所有元素也是如此，等等。例如，只包含空集的集合是非遗传集。在现代集合论中，通常将研究范围限制在纯集合的冯诺依曼宇宙上，并且许多公理化集合论系统旨在仅公理化遗传集合。这种限制有很多技术优势，并且几乎没有失去一致性，因为基本上所有的数学概念都可以用遗传集合建模。冯诺依曼宇宙中的集合被组织成一个累积的层次结构，基于它们的元素、元素的元素等嵌套的深度。此层次结构中的每个集合都被分配（通过超限递归）一个序数α，称为「等级」。纯集的秩Ｘ被定义为严格大于其任何元素等级的最小序数。例如，空集的等级为0，而仅包含空集的集合{{}}的等级为1。对于每个序数α集合Ｖα被定义为由秩小于的所有遗传集合组成α。整个冯诺依曼宇宙被表示为Ｖ。
　　下图为冯洛伊曼层次结构的初始部分：
　　
　　形式化集合论：
　　初等集合论可以通过非正式和直观的方式进行研究，因此可以在小学使用维恩图进行教学。直观的方法默认假设一个集合可以由满足任何特定定义条件的所有对象的类形成。但这个假设引起了悖论，其中最简单和最着名的是罗素悖论和布拉利-福尔蒂悖论。公理集合论最初是为了摆脱集合论的这种悖论而设计的。
　　最广泛研究的公理集合论系统暗示所有集合形成一个累积层次。这样的系统有两种形式，它们的本体包括：
　　单一集合。这包括最常见的公理集合论，策梅洛.弗兰克尔集合论和选择公理(ZFC)。ZFC的部分理论包括：
　　策梅洛集合论，它用分离公理模式代替了替换公理模式；
　　一般集合论，策梅洛集合论的一小部分，足以用于皮亚诺公理和有限集合；
　　Kripke-Platek集合论，它省略了无穷大公理、幂集公理和选择公理，弱化了分离和替换公理图式。
　　集合和类。其中包括冯诺依曼.伯奈斯.哥德尔集合论，它在单独关于集合的定理方面与ZFC具有相同的强度，以及莫尔斯.凯利集合论和Tarski-Grothendieck集合论，两者都比ZFC更强。
　　可以修改上述系统以允许ureelements（非集合对象），对象可以是集合的元素，但它们本身不是集合​​併且没有任何元素。
　　NFU（允许元素）和NF（缺少元素）的新基础系统不是基于累积层次结构。NF和NFU包括一个“一切的集合”，相对于它，每个集合都有一个补充。在这些系统中，元素很重要，因为NF不是NFU，产生了选择公理不成立的集合。儘管NF的本体没有反映传统的累积层次结构并且违反有根据的原则，但托马斯.福斯特认为它确实反映了集合的迭代概念。
　　构造性集合论系统，例如CST、CZF和IZF，将它们的集合公理嵌入直觉逻辑而不是经典逻辑。还有一些系统接受经典逻辑，但具有非标准的隶属关係。这些包括粗糙集理论和模煳集理论，其中体现隶属关係的原子公式的值不是简单的真或假。ZFC的布尔值模型是一个相关主题。1977年，爱德华.纳尔逊提出了对ZFC的一种扩充，称为内部集合论。
　　应用
　　许多数学概念可以仅使用集合论概念来精确定义。例如，图、流形、环、向量空间和关係代数等多种多样的数学结构都可以定义为满足各种（公理化）性质的集合。等价和序关係在数学中无处不在，数学关係的理论可以用集合论来描述。
　　集合论也是许多数学的有前途的基础系统。自从《数学原理》第一卷出版以来，就声称大多数（甚至所有）数学定理都可以使用一组经过适当设计的集合论公理推导出来，并使用一阶或二阶逻辑增加许多定义.例如，自然数和实数的性质可以在集合论中推导出来，因为每个数係都可以在一个合适的等价关係下用一组等价类来识别，这些等价类的域是某个无限集。
　　集合论作为数学分析、拓扑、抽象代数和离散数学的基础同样没有争议；数学家（原则上）接受这些领域的定理可以从相关定义和集合论公理推导出来。然而，仍然很少有来自集合论的複杂数学定理的完整推导得到正式验证，因为这种形式推导通常比数学家通常提供的自然语言证明要长得多。一个验证元数学的项目包括从ZFC集合论开始的12,000多个定理的人工编写、计算机验证推导，一阶逻辑和命题逻辑。
　　研究领域
　　集合论是数学研究的一个主要领域，有许多相互关联的子领域。
　　组合集合论
　　组合集理论涉及将有限组合学扩展到无限集。这包括研究基数算术和研究拉姆齐定理的扩展，例如Erdős-Rado定理。
　　描述集合论
　　描述性集合论是对实线子集的研究，更一般地说，是对波兰空间子集的研究。它从研究点类层次结构中的点类开始，并扩展到研究更複杂的层次结构，例如投影层次结构和Wadge层次结构。Borel集的许多性质可以在ZFC中建立，但要证明这些性质适用于更複杂的集合，需要与确定性和大基数相关的额外公理。
　　有效描述性集合论领域介于集合论和递归论之间。它包括光面点类的研究，与超算术理论密切相关。在许多情况下，经典描述集理论的结果都有有效的版本；在某些情况下，通过首先证明有效版本然后扩展（“相对化”）它以使其更广泛地适用来获得新结果。
　　最近的一个研究领域涉及Borel等价关係和更複杂的可定义等价关係。这在许多数学领域的不变量研究中都有重要的应用。
　　模煳集合论
　　在康托尔定义和策梅洛-弗兰克尔公理化的集合论中，一个对象要麽是集合的元素，要么不是集合的元素。在模煳集理论中，洛菲.扎德放宽了这个条件，因此一个对像在集合中具有一定的隶属度，一个介于0和1之间的数字。例如，一个人在“高一层次的”集合中的隶属度比简单的是或否答案更灵活，可以是实数，例如0.75。
　　内模理论
　　策梅洛-弗兰克尔集合论(ZF)的内部模型是一个传递类，包括所有序数并满足ZF的所有公理。典型的例子是哥德尔开发的可构造宇宙L。对内部模型的研究很有趣的一个原因是它可以用来证明一致性结果。例如，可以证明，无论ZF的模型V是否满足连续统假设或选择公理，内部模型L在原始模型内部构建的函数将满足广义连续统假设和选择公理。因此，ZF是一致的（至少有一个模型）的假设意味着ZF与这两个原则是一致的。
　　内部模型的研究在确定性和大基数的研究中很常见，特别是在考虑与选择公理相矛盾的确定性公理等公理时。即使集合论的固定模型满足选择公理，内部模型也有可能无法满足选择公理。例如，足够大的基数的存在意味着存在满足确定性公理的内部模型（因此不满足选择公理）。
　　大基数
　　大基数是具有额外属性的基数。研究了许多这样的属性，包括不可达基数、Measurable基数等等。这些属性通常意味着基数必须非常大，在策梅洛.弗兰克尔集合论中，具有特定属性的基数的存在是不可证明的。
　　确定性
　　确定性是指这样一个事实，即在适当的假设下，某些完善的信息从两个人的游戏一开始就确定了，即一个玩家必须有一个获胜的策略。这些策略的存在在描述性集合论中具有重要意义，因为确定更广泛类别的博弈的假设通常意味着更广泛类别的集合将具有拓扑属性。确定性公理（AD）是一个重要的研究对象；儘管与选择公理不相容，但AD暗示实线的所有子集都十分实用（特别是可测量且具有完美集属性）。AD可用于证明Wadge度数具有优雅的结构。
　　力迫
　　PaulCohen在寻找连续统假设失败的ZFC模型或选择公理失败的ZF模型时发明了力迫方法。强制与某些给定的集合论模型相邻的附加集合，以便创建一个更大的模型，该模型具有由构造和原始模型确定（即“强制”）的属性。例如，Cohen的构造与自然数的其他子集相邻，而不会更改原始模型的任何基数。力迫也是通过有限方法证明相对一致性的两种方法之一，另一种方法是布尔值模型。
　　基本不变量
　　基数不变量是由基数测量的实线的属性。例如，经过充分研究的不变量是一组实数集的最小基数，这些实数集的并集是整条实数线。这些是不变量，因为集合论的任何两个同构模型必须为每个不变量给出相同的基数。数学家们已经研究了许多基数不变量，它们之间的关係通常很複杂，并且与集合论的公理有关。
　　集合论拓扑
　　集合论拓扑研究本质上是集合论或需要高级集合论方法来解决的一般拓扑问题。其中许多定理独立于ZFC，需要更强大的公理来证明。一个着名的问题是常见的摩尔空间问题，这是一个一般拓扑学中的问题。经过深入研究之后，最终证明常见摩尔空间问题的答案与ZFC无关。
　　反对集合论
　　从集合论一开始，一些数学家就反对它作为数学的基础。对集合论最常见的反对意见是利奥波德.克罗内克在集合论的早期提出的，它始于数学与计算松散相关的建构主义观点。如果这种观点被认可，那麽无论是在朴素集合论还是在公理化集合论中，对无限集合的处理都会将即使在原则上也是不可计算的方法和对象引入数学中。埃雷特.毕晓普颇具影响力的着作《FoundationsofConstructiveAnalysis》大大增加了建构主义作为数学替代基础的可行性。
　　亨利.庞加莱提出的另一个反对意见是，使用规范和替换公理模式以及幂集公理定义集合，将不可谓性（一种循环性）引入数学对象的定义。谓语建立的数学的范围，虽然比普遍接受的策梅洛-弗兰克尔理论的范围小，但比建构数学的范围要大得多，以至于所罗门·费弗曼说：“所有科学上适用的分析都可以使用谓语方法”。
　　路德维希·维特根斯坦在哲学上谴责集合论的数学柏拉图主义内涵。他写道，“集合论是错误的”，因为它建立在虚构象徵的“无稽之谈”之上，具有“有害的成分”，而且谈论“所有数字”是荒谬的。维特根斯坦用算法人类演绎来识别数学；在他看来，需要为数学奠定坚实的基础是荒谬的。此外，由于人类的努力必然是有限的，维特根斯坦的哲学主要倾向激进的建构主义和有限主义，元数学的陈述。对维特根斯坦来说，任何量化无限域的陈述都不是数学。因此几乎所有现代集合论——都不是数学。在《数学基础评论：维特根斯坦仅阅读摘要后试图驳斥哥德尔的不完备性定理》中出现重大错误后，很少有现代哲学家採纳维特根斯坦的观点。正如审稿人格奥尔格.克雷塞尔、保罗.伯内斯、迈克尔.达米尔和鲁本.古德斯坦指出的那样，他的许多批评并没有完全适用于这篇论文。直到最近才有像克里斯平赖特这样的哲学家开始恢復维特根斯坦的论点。
　　范畴论者提出拓扑理论作为传统公理集合论的替代方案。Topos理论可以解释该理论的各种替代方案，例如建构主义、有限集理论和可计算集理论。Topoi还为力迫和讨论ZF的选择独立性提供了一个自然环境，并为无意义的拓扑和Stone空间提供了框架。
　　一个活跃的研究领域是单价基础并与之相关的同伦型理论。在同伦类型理论中，集合可以被认为是同伦0型，集合的普遍性质源于更高归纳类型的归纳和递归性质。选择公理和排中原理原则可以与集合论中的经典公式相对应的方式来表述，或者可能以类型论独有的一系列不同方式来表述。其中一些原则可能被证明是其他原则的结果。这些公理原理的各种公式允许对所需公式进行详细分析，以得出各种数学结果。
　　数学教育中的集合论
　　随着集合论作为现代数学基础的普及，在数学教育早期引入朴素集合论基础的想法得到了支持。
　　在1960年代的美国，新数学实验旨在向小学生教授基本集合论以及其他抽象概念，但遭到了很多批评。欧洲学校的数学教学大纲顺应了这一趋势，目前包括各个年级不同层次的科目。维恩图被广泛用于向小学生解释基本的集合论关係（儘管约翰维恩最初将它们设计为评估术语逻辑推理有效性的程序的一部分）。
　　集合论用于向学生介绍逻辑运算符（NOT、AND、OR）和集合的语义或规则描述（技术内涵定义）（例如“以字母A开头的月份”），这在以下情况下可能有利于学习计算机编程，因为布尔逻辑适用于各种编程语言。同样，集合和其他类似集合的对象，例如多重集合和列表是计算机科学和编程中常见的数据类型。
　　除此之外，在讨论不同类型的数字（自然数、整数、实数、...）时，以及将数学函数定义为从一个集合（域）到另一个集合的关係时，数学教学中通常会提到集合设置（范围）。
　　超限數
　　超限數是“無限”的數字，因為它們比所有有限數都大，但不一定是絕對無限的。其中包括超限基數（用於量化無限集大小的基數）和超限序數（用於提供無限集排序的序數）。超限一詞是康托爾在1895年創造的，希望避免與這些數的概念和「無限」一詞混淆，儘管如此，這些數的概念不是有限的。現在數學家們可以接受將超限基數和序數稱為無限數的用法。儘管如此，“超限”一詞也仍在使用中。
　　定義
　　任何有限自然數都可以至少以兩種方式表達：作為序數和作為基數。基數指某個集合的​​大小（例如，一袋五個彈珠），而序數指所有元素在有序集合中的順序例如，“左起第三個人”或“第二十七個人”一月的第一天”）。當擴展到超限數時，這兩個概念變得截然不同。超限基數用於描述無限大集合的大小，而超限序數用於描述無限大有序集合中的位置。最值得注意的序數和基數分別是：
　　ω（歐米茄）：最小的超限序數。它也是自然數在線性排序下的最後一位。
　　ℵ0(阿列夫數)：第一個超限基數。它也是自然數的基數。如果選擇公理成立，下一個更高的基數是ℵ1，如果不是，可能還有大基數能與ℵ1比擬，並且比阿列夫數更大。無論哪種方式，在阿列夫數和ℵ1之間都沒有基數。
　　連續統假設是指之間沒有中間基數的命題ℵ0和連續統的基數（實數集的基數）：或等效地ℵ1是實數集的基數。在策梅洛.弗蘭克爾集合論中，無論是連續統假設還是它的否定都不能被證明。
　　一些作者，包括P.Suppes和J.Rubin，使用術語超限基數來指代Dedekind-infinite集的基數，在這種情況下這可能不等同於“無限基數”；也就是說，在可數選擇公理未被假設或不知道是否成立的情況下。給定這個定義，以下都是等價的：
　　ｍ是一個超限基數。即有一個Dedekind無限集Ａ這樣的基數。Ａ是ｍ。
　　ｍ+1=ｍ
　　ℵ0≤ｍ
　　有一位基數ｎ，所以ℵ0+ｎ=ｍ。
　　雖然超限序數和基數都只泛化自然數，但其他數字系統，包括超實數和超限實數，提供實數的泛化。
　　例子
　　在康托爾的序數理論中，每個整數都必須有一個後繼。在所有常規整數之後的下一個整數，即第一個無限整數，被命名為ω。在這種情況下，ω+1大於ω，而ω×2，ω²和ω^ω仍然更大。算術表達式包含ω指定一個序數，並且可以被認為是直到該數字的所有整數的集合。一個給定的數字通常有多個表示它的表達式，但是，有一個唯一的序數算術來表示它，本質上是一個有限的數字序列，它給出了的降冪係數ω。
　　然而，並非所有無限整數都可以用序數算術表示，序數算術第一個能極限表示的是：ω次方的ω次方的ω次方……的ω次方（一直無限循環，即無限的ω的ω次方。直到不動點為止。）被稱為ε0。ε0是第一個不動點，ω^ε=ε，然後可以繼續進行序數算術，ε1，……，εω，……，εε0，……一直給出更大的序數，並且可以一直循環直到達到極限εεεε……（無限循環，即無限個ε。），然後又到達第二個不動點，εα=α。這意味著，為了能夠指定所有超限整數，必須想出一個無限的名稱序列：因為如果要指定一個最大的整數，那麼總是能夠提及其更大的後繼。但正如康托爾所指出的，即使這樣也只能讓一個人達到最低級別的超限數：那些集合的大小對應於基數的那些ℵ0。