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　　如何构造一个大数：
　　3+3+3=9
　　3×3×3=27
　　3的3次方的3次方，用3^3^3来表示。
　　3的3次方是27。所以3^3^3=3的27次方。
　　这个数大概有7.6万亿那么多。
　　这个数在凡人的眼界裡算是一个很大的数字了，但是比这个数大的数有很多。
　　比如说《严华经》之中的计量单位。
　　比如说有一个叫洛叉的计量单位，洛叉代表了1万。
　　1个洛叉叫一俱胝。
　　俱胝乘以俱胝是阿庾罗，是1的14次方，也就是1^14。
　　或者说无量，无量是1的2.8次方乘以1的32次方这么大。
　　这个数的意思不是说1后面有32个零，而是首先说2.8后面有32个零。然后这再把这个数作为位数，这个位数有2.8×1的32次方这么多位。
　　也就是说2.8×1^32（^符号代表次方）在次方的位置。
　　然后无量的无量叫无量转，无量转无量转就叫无边。
　　无边的大小就是1的11次方乘以1的33次方。
　　在华严经裡面计量单位最大的是不可说不可説转。
　　但是这样的增长速度实在太慢了，需要一个更快的运算方法。
　　高德纳箭头：
　　高德纳箭头的规则是这样的。
　　首先是：m↑n
　　如果祇有一个↑，它表示的含义很简单。
　　就是m的n次方，也就是m^n（^符号代表次方），就是m×m×……×m。一共有n个m相乘。
　　如果是：m↑↑m
　　如果是两个↑↑表示的是m↑m↑……↑m，一共有n个m。表示把之前的运算重迭n次。这就是两个箭头的意思。
　　三个箭头也一样，三个箭头的话就表示两个箭头，然后一共重複n次。
　　大概为m↑↑m↑↑……↑↑m，一共有n个m。
　　举一个例子。
　　比如说3↑3的含义就是3的3次方，3^3。3的3次方等于27。
　　第二个，3↑↑3等于3↑3↑3。就是3的3次方的3次方。从右往左算，就是3的27次方。
　　三个箭头就是3↑↑↑3。
　　按照之前的方式就是3↑↑3↑↑3。
　　首先3↑↑3表示3的3次方的3次方。
　　所以这等于3↑↑（3^3^3，3的3次方的3次方）这么多。
　　然后等于3↑3↑……↑3，一共有3^3^3这么多个3。
　　每一个箭头都表示一个幂次。如果这个数完整的写下来就是：
　　3^3……^3，然后一共有3^3^3层这么多，也就是大概7万多亿层。
　　它是一个塔，有7万多亿层，而每一层都是3的一个幂次。
　　至于3^3^……3中间的省略号省略了多少个3。
　　比如说两厘米写一个3，要把这个数字完整的写下来，需要从地球写到太阳上去。
　　而3↑↑↑↑3就已经是一个无法估量的数字了。
　　
　　然后可以用高德纳箭头来到达第一个最小的大数——葛立恆数。
　　
　　layer的意思是层，葛立恆数一共有64层。
　　葛立恆数有多大？
　　我们可以大概的说一个比方。
　　宇宙直径为92亿光年=8×1^26米。
　　普朗克长度=1.6×1^-34米。
　　我们把宇宙当成一个正方形立方体，然后横切、竖切它，把它切成一堆普朗克长度的正方形立方体，每一个普朗克长度写一个数字，一共能写1^183个数字。但相比葛立恆数，仍然是微不足道，相等于，甚至比不过最底层的3↑↑↑↑3。
　　把葛立恆数装到你的脑子内，会造成脑信息量太大，超过了黑洞的熵，把你的脑子变成一个黑洞。
　　TREE（3）
　　这个述准确的上限和下限都不明确。只知道这个数很大，衹能大概估计一个大小。但是想要理解TREE（3）这个数是怎麽来的还是很简单的。
　　首先先玩一个游戏。
　　计算机当中的「树」，TREE就是树。图论当中也有树。所谓树就是有一个根，然后生长出叶，中间用枝干连接。叶还可以继续生长叶，就是这样的形状。一般都是倒过来的，就是根在最上面。
　　但是要注意一点，一个树当中不能形成闭环。就是从根往下走，衹能走到某个最底端的叶，不可能走回到根去。这就是树的定义。
　　根和所有的叶叫做节点。一个树所有的节点应该比所有的枝干大，因为必须没有闭环。如果画的树不是这样的，那就画错了。然后任意一个节点上面的节点就是它的父亲，再上面一个就是它父亲的父亲。上面所有的节点一直到根都是它的祖先。基础概念就到这裡了。
　　游戏是这样的，画树。并且给每一个节点涂色，枝干不用管。先来最简单的，只用一种颜色。那可以画的树就有很多了。全部都是同一种颜色。
　　游戏的目标是要画出树儘可能多的森林。而森林其实就是树的序列“树列”。简单就是两个树以上放在一起就叫森林。既然是游戏就肯定有规则。而这个游戏有两个规则：第n棵树的节点个数不能超过n，就是第1棵树就衹能有一个节点，就祇有根。第2棵树最多两个节点，第3棵树最多三个节点，以此类推。
　　规则二，每棵树不能是它后面任意一棵树的子树。后面的数也不能包含前面的数。
　　先理解一下子树是什麽。比如说有一棵树，它砍掉任意节点之后就是前面的某一棵树。这就是子树，规则不允许。不能包含前面的树意思就是inf-preservingembeddable（下确界保留的嵌入）。比如说某一棵树的子树可以嵌入到这棵树当中，就像拼图一样能够找到相同的部分。下确界保留就是最的下界。一棵树的下确界就是对于两个或者若干个节点来说，他们的下确界就是最近的，公共的祖先。
　　画图来理解：
　　
　　比如说有这样一棵树，三个节点，三种颜色。然后来看看它后面不能出现哪些树。
　　第2棵树很明显是不可以出现的。因为第2棵树是第1棵树的子树，违反规定。第3棵树第一眼看上去不是子树，但仍然违反规定。先看第1棵树，最下面的蓝色和绿色的节点的共同祖先是红色的节点，而第3棵树蓝色和绿色节点的共同祖先不是中间的那两个红色节点，最上面的那个红色节点才是。所以这三个节点就算是包含了之前的树。因此第3棵树也违反规定。下确界两个条件：最近的，共同的祖先。也就是说衹要前面有这棵树，你在枝干上插入多少节点也不能出现。因为这些节点的公共祖先还是同一个。这其实有点拓扑的意思。现在规则已经明确，可以开始游戏了。
　　
　　先是TREE（1）就是用一种颜色。这个TREE（）函数就代表树的个数。要儘可能多的去画。你不能故意画死第2颗树。然后这个TREE（）要大写，小写的tree（）函数是弱的tree函数。
　　一种颜色，比如说红色。第1棵树衹能有一个节点，所以祇有一个根，结束了。第2棵树最多两个节点，但会发现画不下去了，无论怎麽画，第一棵树都是后面的子树，违反规定。所以TREE（1）=1，最多就衹能画一个。
　　然后是TREE（2）。两种颜色，比如说红和蓝。第1棵树选择红色，第2棵树最多两个节点，但是衹要带上红色就结束了。所以先画一个蓝色。这样也是可以的，因为节点衹要不大于两个就可以。但是如果这麽画，第3颗树无论怎麽样画都不行。肯定会包含前两个其中一个。所以第2棵树选择画了两个蓝色。第3颗树依旧不能出现红色，衹能选蓝色。所以又只剩下一种画法，就是祇有一个蓝色的根。这是允许的，因为是后面不能包含前面。前面包含后面是可以的。TREE（2）=3。最多隻能画三个。
　　TREE（3）。三种颜色可以选择，比如说红，蓝，绿。第1个还是红色，你会发现第1个颜色是没什麽意义的。因为后面都不可能出现这个颜色。第2个还是画两个蓝色。第3个可以选择绿色。比如说第3个可以按照图中这麽画。第4个可以按照图中这麽画。第5个可以按照图中这麽画。第6个，第7个，第8个，第9个……
　　然后你会发现，衹要你按照规则走下去，似乎这个游戏就不会终止。但也正因如此，所以TREE（3）是一个很大的数。
　　但是有一个问题，为什麽会知道TREE（3）是有限的。如果它是无限大，这个游戏是否永远不会终止。那样YREE（3）就没有意义了。
　　其实TREE（3）是有限的这是经过严格证明的。是由克鲁斯克尔证明的。克鲁斯科尔的证明过程可以用一句话来概括：如果是TREE（3）无限的，这个游戏可以一直画下去，那就一定存在违反规则的情况，就是后面会包含前面。所以TREE（3）肯定是有限的。就和无限猴子理论一样。
　　既然是有限的，就尝试来理解一下TREE（3）到底有多大。有很多种运算方式可以用来表示大数，而这次要运用的是超运算表示法。
　　超运算：
　　用比较简单易懂的方式解答超预算。
　　a［1］b=a+b
　　a［2］b=a×b=a［1］a［1］a……［1］a（一共有b个a进行超-1运算）
　　a［3］b=a^b=a［2］a［2］a……［2］a（一共有b个a进行超-2运算）
　　a［4］b=a［3］a［3］a……［3］a（一共有b个a进行超-3运算）
　　以此类推……
　　不过，超运算要从后往前算。
　　例如2［4］4=2［3］2［3］2［3］2
　　=2［3］2［3］4（先把最后面的两个2次方，得出4）
　　=2［3］16（把最后面两个数字计算，就是2的4次方，等于16）
　　=2^16（2的16次方）
　　现在定义超N运算，就是a［n］b。
　　A是底数，B是超指数，N是阶数。
　　这表示了有b个a进行超［n-1］阶运算。
　　比如説2［5］4=2［4］2［4］2［4］2（一共4个2）
　　=2［4］2［4］4（2［4］2等于2^2=4）
　　=2［4］65536（然后2［4］4等于2^16=65536）
　　=2^2^2……^2（一共65536个2）
　　现在利用超运算定义一个阿克曼函数。
　　定义A（x）=2［x+1］x
　　A（1）=2［2］1=2
　　A（2）=2［3］2=2^2=4
　　A（3）=2［4］3=2^2^2=16
　　A（4）=2［5］4=2^2^2……^2（一共65536个2）
　　以此类推。
　　但是这个函数增长速度仍然不够快。
　　如何纔能够更快呢？
　　举一个例子。
　　我打开一个空白word文档。
　　如何纔能够以最快的速度打字？
　　一个字一个字打增长率就是1，不够快。
　　有一个办法。
　　複製粘粘。
　　打了十个字，然后複製粘粘。增长率就是原来的十倍。
　　但依然不够快。
　　複製粘粘十次后，一共有一百个字。然后把这一百个字全选，再複製粘粘。增长率达到一百倍了。
　　一千个字时再次全选複製粘粘。增长率达到一千倍。
　　不断的重複，打字速度就会不停的增长。
　　这个办法带来的是函数的嵌套。
　　再次以阿克曼函数为例。
　　如何纔能够使函数值超级大？
　　不是把A（x）当中x的数值变大。因为这太慢了。
　　你把x写成一亿两亿上去也不够快。
　　现在已知A（4）的数值十分之大。
　　那就把A（4）放入函数之中。
　　形成A（（A（4））。
　　把上一个函数的结果当成自变量输入进去。
　　这就是函数的嵌套。
　　也可以再套一层，形成A（A（A（4）））。
　　但是如果想套一百层就需要写一百个A，过于麻烦。
　　所以需要将其简化。
　　把一百写到函数中A的右上角。
　　也就是A^1（4），如此便是进行了一百次嵌套。
　　葛立恆数大约等于A^64（4）。
　　而超运算带出了另一个比葛立恆数更大的数字，TREE（3）。
　　它的数量级是A（1）嵌套A函数A（187196）次。
　　A^A（187196）（1）
　　=A（A（A（A（A……（A（A（1）））……）一共嵌套了A（18796）层。
　　比如说你写个1，后面不停的写。从宇宙大爆炸开始，每一个普朗克时间写一个。普朗克时间是1^-44秒。这意味着每秒钟你能写1^44个。
　　就算这样从宇宙大爆炸一直写到宇宙毁灭，你写的数也没有TREE（3）大，甚至约等于。
　　但TREE（3）并不是最大的大数。在它的后面还有SSCG（3）。
　　SSCG（3）：
　　在数学中，简单子三次图(SSCG)是一个有限简单图，其中每个顶点的度数最多为3。假设我们有一系列简单的子三次图G1,G2,...这样每个图Gi最多有i+k个顶点（对于某个整数k）并且对于没有iω是明确的。另一方面α₀ＶOrd，满足相同的性质α₀。事实上，对于任何无参数公式Φ,ΦＶOrd相当于在下面T。由于许多公式，例如β∈α,α是oodle,ｎ是公式的哥德尔数，等等，对于包含而言是绝对的ＶOrd→V,这意味着αₙＶOrd对于任何ｎ<ω。我们获得Ord^ＶOrd=Ord，这与小Ord
　　总而言之，FOOT和BIGFOOT定义不明确。
　　替代公式
　　如上所示，BIGFOOT的原始定义与合理集合论相矛盾。第一个问题是定义不明确α₀，其反射属性普遍量化（Goedel数）公式φ（α）自由出现一个可变项α。另一方面，如果我们考虑理论Ｔ₀通过添加常数项符号给出α₀一阶oodle理论和图式的语言α₀∈Ｏｎ∧（（∃β∈Ｏｎ，Φ（β））关于公式Φ（α）自由出现一个可变项α原始未指定公理的变体α₀可定义为在Ｔ₀这裡表示oodinals的类。虽然α₀没有将原件形式化α₀，它可以起到类似的作用。同样，一个变体aₙ的αₙ理论上是可以定义的Ｔₙ以类似的方式构造任何元理论自然数n。
　　在这裡，最小公扩展的自然数T∞塔的（Ｔₙ）ｎ∈Ν一阶oodle理论的不一定等于元理论自然数ｎ，即自然数，其定义公式是理论上给出的语法为“ｎ-继任者”。因此构建αₙ对于每个元理论自然数ｎ没有给出明确的序列（αₙ）ｎ∈Ｎ在T∞。为了构造一个变体Ord，我们需要进一步的论证。
　　可以在这样的方向上定义BIGFOOT的变体，但结果数字将与BIGFOOT完全不同。
　　LittleBigeddon
　　LittleBigeddon是一种基于集合论语言扩展的gogogologism。它由用户Emlightened于217年1月5日定义。[1]用户LittlePeng9是BIGFOOT的创建者，他在原博文中写道“......我会说这是一个值得输给......的大量数字”。LittleBigeddon应该比BIGFOOT大。不幸的是，BIGFOOT定义不明确，因此这种比较没有意义。
　　不考虑幼稚的扩展，LittleBigeddon通常被认为是最大的命名数字。然而，Oblivion、UtterOblivion和任何基于Oblivion的函数都可以被认为比LittleBigeddon更大，但是如果它们定义得足够好并且足够符合​​googology的基本规则来获得这个称号，那就值得怀疑了。最后发现，LittleBigeddon的定义也包含很多错误。
　　LittleBigeddon的定义
　　在集合论的语言中，我们添加了一种额外的变量，称为秩变量，可以通过指定的秩量词来量化∀ʀ,和一个三元谓词T，这是超限迭代的真值谓词。然后我们将LittleBigeddon定义为最大数k这样有一些一元公式φ在语言中Ｌ={∈,Ｔ}量词等级≤12↑↑12这样∃¬ａ（φ（ａ））∧φ（ｋ）。
　　问题
　　该定义包含许多错误。例如，没有d∈c满足条件∀ｅ∃!ｆ（ｄ=〈f〉）在定义的第二行T，IET总是假的。哥德尔密码d=e和de∈在第四和第五行没有意义，因此似乎是拼写错误xᵈ=xᵉ和xᵈ∈xᵉ.。评价c（d）第四、五、六行是未定义的。
　　因此，严格来说，LittleBigeddon是不明确的，除非消除如此巨大的错误。
　　Sasquatch
　　Sasquatch是一种基于集合论语言扩展的gogogologism。它由wikia用户Emlightened于217年3月27日定义。它也被称为BigBigeddon。这将是最大的有效googolism，但社区无法理解。于是，这份荣誉就给了小比格登。然而，事实证明，它们的定义包含严重的歧义和许多错误。
　　Sasquatch的定义
　　我们以语言工作（∈，∉，<），其中相等是一个定义的符号。∈,∉和<是二元谓词，我们还定义一元函数F和R从这些。
　　然后我们将大脚野人定义为最大数k这样有一些一元公式Φ在语言中{∉，Q}（在哪裡Q（a,b）↔R（a）=b)量词秩≤12↑↑12这样∃!a（Φ（a）∧Φ（k））
　　问题
　　该定义包含许多错误。例如，在R设置条件后定义“（∉,R,F）|=tisanordinal"，这会导致循环逻辑。另外，F以类似的方式定义。也许它们只是作者滥用符号，但确切的含义是相当模煳的。例如，R（t）应表示为f（∉,R,F,t）对于一个新的功能符号f因为它的定义取决于（∉,R,F）
　　此外，语言中的公式{∉,Q}不承认解释（V,∈）.因此，在Sasquatch的定义中使用的这些公式的真实性是没有意义的。作为结论，Sasquatch是不明确的。
　　花园数
　　大数花园数等于f¹⁰（1↑¹⁰1），在哪裡f是超越高阶集理论的一阶理论中定义的函数。
　　这个数字可以被认为是最大的明确定义的gogogologism
　　定义
　　理论
　　首先，通过将一元函数符号U添加到具有可数多个变量项符号和集合成员关係符号∈的一阶集合论语言中来定义语言L。将ZFL定义为属于ZF集合论公理的L-公式的集合。在这裡，ZFL中的理解和替换公理模式由所有L公式参数化，即可以包含U的公式。通过添加可数个常数项符号、可数个函数符号、可数个函数符号来定义一阶逻辑的形式语言L许多关係符号和一个新的一元函数符号Θ使用显式哥德尔对应关係对L的显式形式化。然后，我们用ZFCL表示L-公式属于ZFC集合论公理，这裡，ZFCL中的理解和替换公理模式由所有L-公式参数化，即可以包括U的形式化的公式，附加常数项符号，附加函数符号，附加关係符号和Θ。我们在ZFL中将ε和L公式以下的序数显式编码为自然数，并形式化Henkin公理“如果存在满足P的x，则Θ(n)满足P”，对于每个变量项符号x，每个L-通过重複后续操作将代码n形式化为ZFCL的公式P，
　　用ZFCHL表示由Henkin公理模式增强的理论ZFCL。新的函数符号Θ扮演“Henkin常数族”的角色。请不要混淆基本理论ZFL和形式化理论ZFCHL。用U1表示L公式“对于任何序数α，U(α)⊨ZFCHL”。在由{U1}增广的ZFL下，U(α)形成ZFCL的模型，因此形成任何序数α的L结构。我们用UU(α)表示U在U(α)中的解释。我们用U2表示L-公式“对于任何序数α和任何β∈α，UU(α)(β)=U(β)”，并由U3得到L-公式“对于任何序数α，存在一个序数β，使得|U(α)|=Vβ并且对于任何x∈Vβ和任何y∈Vβ,x∈U(α)y等价于x∈y"，其中Vβ表示冯诺依曼层次。定义T为L-公式的集合ZFL∪{U1,U2,U3}。
　　嵌入
　　通过给ZFC集合论中的每个原子公式xi∈xj赋予L-公式(xi∈xj)∧(xj∈U())，理论T可以看作是ZFC集合论的扩展.特别是，在ZFC集合论中定义的集合N在U()处被解释为T的项，这与在ZFL下定义的项N一致，因为U()是ZFCL的传递模型。因此在ZFC集合论中可定义的大数也可在T中定义，并形成一个大数项。此外，由于L允许无限多的常数项符号、函数符号和关係符号，即使是通过将可数许多常数项符号、函数符号和关係符号添加到ZFC集合论而给出的理论中的封闭公式也可以在U()处解释为T中的一个封闭公式。此外，通过将未排序的MK集合论中的每个原子公式xi∈xj分配给L-公式(xi∈xj)∧(xj∈U())，理论T可以看作是MK集合理论的扩展。粗略地说，U()形式上扮演一阶集论宇宙的角色，U()的幂集形式上扮演二阶集论和一阶类论宇宙的角色，而它的幂集在形式上扮演了三阶集合论宇宙的角色。由于它们都包含在U(1)中，因此U在形式上起着严格递增的高阶集合论宇宙序列的作用。请注意，这种严格递增序列的存在可以在ZFC集合论中构建，该集合论由格洛腾迪克宇宙公理增强，这齣现在通常的数学中。
　　大数字
　　显式定义一个满射图：CNF:N→ε；i↦CNF(i)使用康托范式。对于L公式P，用IsDefinition(P)表示L公式“存在一个x使得P并且对于任何i，(P)[i/x]意味着i=x”。用Definable(m,i,P)表示L-公式"i∈N，P是L-公式，U(CNF(i))⊨IsDefinition(P)，并且U(CNF(i))⊨(P)[m/x]"，其中(P)[m/x]中的m被明确视为参数。对于一个n∈N，将f(n)定义为满足i∈n、P∈n和Definable(m,i,P)的m∈N之和，这样，最终就有了一个不可计算的大函数f：N→N；n↦f(n)。从这裡开始，大数花园数是f¹⁰（1↑¹⁰1）