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　　大基数
　　在集合论的数学领域，大基数性质是超限基数的某种性质。具有这些属性的基数通常非常「大」（例如，大于最小的α，使得α=ω下标α）。此类基数存在的命题无法在集合论最常见的公理化即ZFC中得到证明，并且此类命题可以被视为衡量在ZFC之外需要假设能够证明某些期望「多少」的方法结果。就像DanaScott所说，作为量化事实“如果你想要更多，你必须假设更多”。
　　有一个粗略的约定，即仅从ZFC可证明的结果可以在没有假设的情况下陈述，但是如果证明需要其他假设（例如大基数的存在），则应陈述这些假设。无论这仅仅是一个语言惯例惯，还是更多，在不同哲学流派中都是一个有争议的观点。
　　一个大基数是一个公理，说明存在一个具有某些特定大基数属性的基数（或者可能有更多）。
　　大多数工作及理论家认为，目前正在考虑大基数公理与ZFC是一致的。这些公理足以暗示ZFC的一致性。这导致（通过哥德尔的第二不完备性定理）它们与ZFC的一致性无法在ZFC中证明（假设ZFC是一致的）。
　　大基数属性没有普遍承认的精确定义，儘管基本上每个人都同意大基数列表中的那些是大基数属性的基数。
　　部分定义：
　　基数的性质成为大基数的一个必要条件是这样的基数存在与ZF不一致，并且这样的基数K将是一个不可数的初始序数，Lᴋ是其模型ZFC的。如果ZFC是一致的，那麽ZFC并不意味着存在任何这样的大基数。
　　一致性强度的层次结构：
　　关于大基数公理的一个显着观察是，它们似乎按照一致性强度以严格的线性顺序出现。也就是说以下情况也不例外：给两个大基数公理A₁和A₂，会发生以下三种情况之一：
　　⒈除非ZFC不一致，否则ZFC+A₁一致且仅当ZFC+A₂一致；
　　⒉ZFC+A₁证明ZFC+A₂是一致的；或者。
　　⒊ZFC+A₂证明ZFC+A₂是一致的。
　　这些是相互排斥的，除非所讨论的理论之一实际上是不一致的。
　　在情况1中，我们说A₁和A₂是等一致性。在情况2中，我们说A₁在一致性方面比A₂强（情况反之亦然）。如果A₂比A₁强，那麽ZFC+A₁不能证明ZFC+A₁是一致的，即使附加假设ZFC+A₁本身是一致的（当然前提是它的确是一致的）。这是从哥德尔的第二不完备定理得出的。
　　大基数公理按一致性强度线性排序的观察衹是观察，而不是定理。（如果没有公认的大基数性质的定义，它就不受通常意义上的证明约束。）而且，并不是在每种情况下都知道这三种情况中的哪一种成立。SaharonShelah问道：“有什麽定理可以解释这一点，还是我们的愿景比我们意识到的更统一？”然而，Woodin从Ω-猜想中推断出这一点，这是他的Ω-逻辑中主要未解决的问题。还值得注意的是，许多组合语句与某些大基数完全一致，而不是介于它们之间。
　　一致性强度的顺序不一定与大基数公理的最小见证的大小顺序相同。例如，Huge基数的存在，就一致性强度而言，比Supercompact基数的存在要强的多。但假设两者都存在，则第一个Huge的基数小于第一个Supercompact的基数。
　　动机和认知状况：
　　大基数是在冯诺伊曼宇宙V的上下文中理解的，它是通过超限迭代幂集操作构建的，幂集操作将给定集合的所有子集收集在一起。通常，大基数公理失败的模型可以用某种自然的方式被视为公理成立的模型的子模型。例如，如果有一个不可达基数，那麽在第一个这样的基数的高度「切断数学宇宙」会产生一个没有不可达基数的数学宇宙。或者如果有一个Measurable基数，那麽迭代可定义的幂集运算而不是完整的运算产生哥德尔的可构造宇宙L，它不满足“存在Measurable基数”的陈述（即使它包含Measurable基数作为序数）。
　　因此，从许多集合论者持有的某种观点来看，大基数公理「説」我们正在考虑我们「应该」考虑的所有集合，而他们的否定是「限制性的」，并说我们只考虑其中一些集合。此外，大基数公理的结果落入了自然模式。由于这些原因，这些集合论则倾向于认为大基数公理在ZFC的拓展中具有优先地位，不被动机不太明确的公理（例如Martin公理）或其他他们认为直观不太可能的公理所共享（例如V=L）。在这个组别中，大基数公理是正确的。
　　这种观点在集合论者中并不是普遍的。一些形式主义者会断言，根据定义，标准集合论是对ZFC结果的研究。虽然他们原则上可能不反对研究其他系统的结果，但他们认为没有理由将大基数作为首选。也有现实主义者否认本体论极简主义是适当的动机，甚至认为大基数公理是错误的。最后，有些人否认大基数公理的否定是限制性的，指出（例如）可以存在传递集L中的模型认为存在一个Measurable基数，即使L本身不满足该命题。