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　　阿列夫數
　　在數學中，特別是在集合論中，阿列夫數是一個數字序列，用於表示可以有序排列的無限集的基數（或大小）。它們由數學家GeorgCantor[1]引入，並以他用來表示它們的符號命名，希伯來字母aleph(
　　ℵ
　　{\displaystyle\,\aleph\,}
　　）。[2][一]
　　自然數的基數是
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\,}
　　（讀作aleph-nought或aleph-zero；有時也使用術語aleph-null），可良序集的下一個更大的基數是aleph-one
　　ℵ
　　1
　　,
　　{\displaystyle\,\aleph_{1}\;,}
　　然後
　　ℵ
　　2
　　{\displaystyle\,\aleph_{2}\,}
　　等等。以這種方式繼續，可以定義一個基數
　　ℵ
　　α
　　{\displaystyle\,\aleph_{\alpha}\,}
　　對於每個序數
　　α
　　,
　　{\displaystyle\,\alpha\;,}
　　如下所述。
　　這個概念和符號歸功於GeorgCantor，[5]，他定義了基數的概念，並意識到無限集可以有不同的基數。
　　aleph數不同於無窮大(
　　∞
　　{\displaystyle\,\infty\,}
　　)常見於代數和微積分中，因為alephs測量集合的大小，而無窮大通常被定義為實數線的極端極限（應用於“發散到無窮大”或“不增加”的函數或序列bound")，或作為擴展實數線的極值點。
　　（aleph-nought，也aleph-zero或aleph-null）是所有自然數集合的基數，並且是無限基數。所有有限序數的集合，稱為
　　ω
　　{\displaystyle\,\omega\,}
　　或者
　　ω
　　
　　{\displaystyle\,\omega_{}\,}
　　（在哪裡
　　ω
　　{\displaystyle\,\omega\,}
　　是小寫的希臘字母omega)，具有基數
　　ℵ
　　
　　.
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\;.}
　　集合有基數
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\,}
　　當且僅當它是可數無限的，即它與自然數之間存在雙射（一一對應）。這種集合的例子是
　　所有整數的集合，
　　整數的任何無限子集，例如所有平方數的集合或所有素數的集合，
　　所有有理數的集合，
　　所有可構造數的集合（在幾何意義上），
　　所有代數數的集合，
　　所有可計算數的集合，
　　所有有限長度二進製字符串的集合，以及
　　任何給定的可數無限集的所有有限子集的集合。
　　這些無限序數：
　　ω
　　,
　　{\displaystyle\,\omega\;,}
　　ω
　　+
　　1
　　,
　　{\displaystyle\,\omega+1\;,}
　　ω
　　⋅
　　2
　　,
　　{\displaystyle\,\omega\,\cdot2\,,\,}
　　ω
　　2
　　,
　　{\displaystyle\,\omega^{2}\,,}
　　ω
　　ω
　　{\displaystyle\,\omega^{\omega}\,}
　　和
　　ε
　　
　　{\displaystyle\,\varepsilon_{}\,}
　　屬於可數無限集。[6]例如，所有正奇數後跟所有正偶數的序列（序數為ω·2）
　　{
　　1
　　,
　　3
　　,
　　5
　　,
　　7
　　,
　　9
　　,
　　.
　　.
　　.
　　,
　　2
　　,
　　4
　　,
　　6
　　,
　　8
　　,
　　1
　　,
　　.
　　.
　　.
　　}
　　{\displaystyle\,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,1,...\,\}\,}
　　是集合的一個排序（具有基數
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\aleph_{}}
　　)的正整數。
　　如果可數選擇公理（選擇公理的弱版本）成立，那麼
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\,}
　　小於任何其他無限基數。
　　是所有可數序數集合的基數，稱為
　　ω
　　1
　　{\displaystyle\,\omega_{1}\,}
　　或者有時
　　Ω
　　.
　　{\displaystyle\,\Omega\;.}
　　這
　　ω
　　1
　　{\displaystyle\,\omega_{1}\,}
　　本身是一個大於所有可數數的序數，所以它是一個不可數集。所以，
　　ℵ
　　1
　　{\displaystyle\,\aleph_{1}\,}
　　不同於
　　ℵ
　　
　　.
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\;.}
　　的定義
　　ℵ
　　1
　　{\displaystyle\,\aleph_{1}\,}
　　暗示（在ZF中，沒有選擇公理的Zermelo-Fraenkel集合論）之間沒有基數
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\,}
　　和
　　ℵ
　　1
　　.
　　{\displaystyle\,\aleph_{1}\;.}
　　如果使用選擇公理，可以進一步證明基數類是全序的，因此
　　ℵ
　　1
　　{\displaystyle\,\aleph_{1}\,}
　　是第二小的無限基數。使用選擇公理，可以顯示集合中最有用的屬性之一
　　ω
　　1
　　：
　　{\displaystyle\,\omega_{1}~:}
　　的任何可數子集
　　ω
　　1
　　{\displaystyle\,\omega_{1}\,}
　　有一個上限
　　ω
　　1
　　.
　　{\displaystyle\,\omega_{1}~.}
　　（這是因為可數集合的並集本身是可數的——這是選擇公理最常見的應用之一。）這個事實類似於
　　ℵ
　　
　　{\displaystyle\,\aleph_{}\;}
　　：每個有限自然數集都有一個最大值，它也是一個自然數，有限集的有限並集是有限的。
　　ω
　　1
　　{\displaystyle\,\omega_{1}~}
　　實際上是一個有用的概念，如果聽起來有點異國情調。一個示例應用程序是關於可數操作的“關閉”；例如，試圖明確描述由任意子集集合生成的σ-代數（參見Borel層次結構）。這比代數（向量空間、群等）中對“生成”的大多數明確描述更難，因為在這些情況下，我們只需要對有限運算（求和、乘積等）進行閉運算。該過程涉及通過超限歸納為每個可數序數定義一個集合，該集合通過“拋出”所有可能的可數並集和補集，並採用所有這些的並集
　　ω
　　1
　　.
　　{\displaystyle\,\omega_{1}~.}
　　實數集的基數（連續統的基數）是
　　2
　　ℵ
　　
　　.
　　{\displaystyle\,2^{\aleph_{}}~.}
　　它不能從ZFC（Zermelo-Fraenkel集合論增加了選擇公理）確定，其中這個數完全符合aleph數層次結構，但從ZFC可以得出連續統假設CH等價於恆等式
　　2
　　ℵ
　　
　　=
　　ℵ
　　1
　　.
　　{\displaystyle2^{\aleph_{}}=\aleph_{1}.}
　　[7]
　　CH指出不存在其基數嚴格介於整數和實數之間的集合。[8]CH獨立於ZFC：在該公理系統的上下文中，它既不能被證明也不能被證明（前提是ZFC是一致的）。194年，KurtGödel證明了CH與ZFC一致，當時他表明它的否定不是ZFC的定理。PaulCohen在1963年證明了它獨立於ZFC，當時他通過（當時新的）強制方法證明了CH本身不是ZFC的定理.[7]
　　Aleph-omega是
　　ℵ
　　ω
　　=
　　支持
　　{
　　ℵ
　　n
　　：
　　n
　　∈
　　ω
　　}
　　=
　　支持
　　{
　　ℵ
　　n
　　：
　　n
　　∈
　　{
　　
　　,
　　1
　　,
　　2
　　,
　　…
　　}
　　}
　　{\displaystyle\aleph_{\omega}=\sup\,\{\,\aleph
　　_{n}:n\in\omega\}=\sup\,\{\,\aleph_{n}:n\in\left\{\,,1,2,\dots
　　\,\right\}\,\}~}
　　其中最小的無限序數表示為ω。也就是基數
　　ℵ
　　ω
　　{\displaystyle\,\aleph_{\omega}\,}
　　是的最小上界
　　{
　　ℵ
　　n
　　：
　　n
　　∈
　　{
　　
　　,
　　1
　　,
　　2
　　,
　　…
　　}
　　}
　　.
　　{\displaystyle\left\{\,\aleph_{n}:n\in\left\{\,,1,2,\dots\,\right\}\,\right\}~.}
　　ℵ
　　ω
　　{\displaystyle\,\aleph_{\omega}}
　　是第一個在Zermelo-Fraenkel集合論中可以證明不等於所有實數集合的基數的不可數基數；對於任何正整數n，我們可以一致地假設
　　而且可以假設
　　和我們喜歡的一樣大。我們只是被迫避免將其設置為具有共定性的某些特殊基數
　　意味著有一個無界函數到它（見伊斯頓定理）。
　　界定
　　ℵ
　　α
　　{\displaystyle\,\aleph_{\alpha}\,}
　　對於任意序數
　　α
　　,
　　{\displaystyle\,\alpha~,}
　　我們必須定義後繼基數運算，它分配給任何基數
　　ρ
　　{\displaystyle\,\rho\,}
　　下一個更大的有序紅衣主教
　　ρ
　　+
　　{\displaystyle\,\rho^{+}\,}
　　（如果選擇公理成立，這是下一個更大的基數）。
　　然後，我們可以如下定義aleph數：
　　ℵ
　　
　　=
　　ω
　　{\displaystyle\aleph_{}=\omega}
　　ℵ
　　α
　　+
　　1
　　=
　　ℵ
　　α
　　+
　　{\displaystyle\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}^{+}~}
　　對於λ，一個無限極限序數，
　　ℵ
　　λ
　　=
　　⋃
　　β
　　<
　　λ
　　ℵ
　　β
　　.
　　{\displaystyle\aleph_{\lambda}=\bigcup_{\beta<\lambda}\aleph_{\beta}~.}
　　第α個無限初始序數寫成
　　ω
　　α
　　{\displaystyle\omega_{\alpha}}
　　.它的基數寫成
　　ℵ
　　α
　　.
　　{\displaystyle\,\aleph_{\alpha}~.}
　　在ZFC中，aleph函數
　　ℵ
　　{\displaystyle\,\aleph\,}
　　是從序數到無限基數的雙射。[9]
　　對於任何序數α，我們有
　　α
　　≤
　　ω
　　α
　　.
　　{\displaystyle\alpha\leq\omega_{\alpha}~.}
　　在很多情況下
　　ω
　　α
　　{\displaystyle\omega_{\alpha}}
　　嚴格大於α。例如，對於任何後繼序數α，這成立。然而，由於普通函數的定點引理，有一些極限序數是omega函數的不動點。第一個是序列的限制
　　ω
　　,
　　ω
　　ω
　　,
　　ω
　　ω
　　ω
　　,
　　…
　　.
　　{\displaystyle\omega,\,\omega_{\omega},\,\omega_{\omega_{\omega}},\,\ldots~.}
　　任何弱不可訪問的基數也是aleph函數的不動點。[1]這可以在ZFC中顯示如下。認為
　　κ
　　=
　　ℵ
　　λ
　　{\displaystyle\,\kappa=\aleph_{\lambda}\,}
　　是一個弱不可接近的紅衣主教。如果
　　λ
　　{\displaystyle\lambda}
　　是後繼序數，那麼
　　ℵ
　　λ
　　{\displaystyle\,\aleph_{\lambda}\,}
　　將是繼任紅衣主教，因此並非難以接近。如果
　　λ
　　{\displaystyle\,\lambda\,}
　　是一個極限序數小於
　　κ
　　,
　　{\displaystyle\,\kappa~,}
　　那麼它的共定性（因此它的共定性
　　ℵ
　　λ
　　{\displaystyle\aleph_{\lambda}}
　　)將小於
　　κ
　　{\displaystyle\,\kappa\,}
　　所以
　　κ
　　{\displaystyle\,\kappa\,}
　　不會是規則的，因此不是弱不可訪問的。因此
　　λ
　　≥
　　κ
　　{\displaystyle\,\lambda\geq\kappa\,}
　　因此
　　λ
　　=
　　κ
　　{\displaystyle\,\lambda=\kappa\,}
　　這使它成為一個固定點。
　　任何無限序數的基數都是阿列夫數。每個aleph是某個序數的基數。其中最少的是它的初始序數。任何基數為aleph的集合與序數是等數的，因此是良序的。
　　每個有限集都是可良序的，但沒有aleph作為其基數。
　　每個無限集的基數是阿列夫數的假設在ZF上等價於每個集合的良序的存在，這反過來又等價於選擇公理。包含選擇公理的ZFC集合論意味著每個無限集合都有一個aleph數作為其基數（即與其初始序數相等），因此aleph數的初始序數作為所有集合的代表可能的無限基數。
　　當在沒有選擇公理的情況下在ZF中研究基數時，不再可能證明每個無限集都有某個aleph數作為其基數；基數為aleph數的集合正是可以良序的無限集合。Scott技巧的方法有時被用作在ZF的設置中構造基數代表的替代方法。例如，可以將card(S)定義為具有與S相同基數的最小可能秩的集合。這具有card(S)=card(T)當且僅當S和T具有相同的基數。（集合card(S)通常與S的基數不同，但它的所有元素都有。）