第30章证明第五公设的问题

　　月净威，哈佛大学科学家，道:“外文名Non-Euclideangeometry。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。”
　　精星灵，曰:“诞生。欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，头四条公设分别为：第一.由任意一点到任意一点可作直线。第二.一条有限直线可以继续延长。第三.以任意点为心及任意的距离可以画圆。第四.凡直角都相等。第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。”
　　月净威，哈佛大学科学家，道:“罗氏几何。这些和时空的几何，或许也有一些的关系。因为我们应该非常的清楚，时空就是一种无法预测的结果。我们把这种结果，称为一种集合数。”
　　罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方，仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
　　由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了，一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
　　我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。
　　因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。
　　在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
　　下面举几个例子加以说明：欧式几何：同一直线的垂线和斜线相交。
　　垂直于同一直线的两条直线，互相平行。
　　存在相似的多边形。过不在同一直线上的三点，可以做且仅能做一个圆。
　　罗氏几何：同一直线的垂线和斜线不一定相交。
　　垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
　　不存在，相似的多边形。
　　过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
　　从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。
　　所以罗氏几何中的一些几何事实，没有像欧式几何那样容易被接受。
　　但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实，作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
　　1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
　　这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
　　直到这时，长期无人问津的非欧几何，才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究，也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
　　精星灵，曰:“黎曼几何。欧氏几何与罗氏几何中，关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。”
　　欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
　　罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
　　那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？
　　黎曼几何，就回答了这个问题。
　　黎曼几何，是德国数学家黎曼创立的。
　　他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
　　黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内，任何两条直线都有公共点(交点)。
　　在黎曼几何学中，不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
　　黎曼几何的模型，是一个经过适当“改进”的球面。
　　近代黎曼几何，在广义相对论里得到了重要的应用。
　　在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何，就是黎曼几何。
　　在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。
　　在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
　　此外，黎曼几何在数学中，也是一个重要的工具。
　　它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
　　何威大华道:“所以……我们在这颗金色的星球上面，发现的所有未解的数学模型，都跟这些有关系。这真的是，确实……让我们感到复杂。可是这些数学模型，为什么会有大量的质数呢？而且仿佛……根据这些质数的排布，我们有更多的疑惑。”
　　科学家曰:“根据那些梵音瑜伽的翻译，他们把次数称为无音数。这是一种，非常奇怪的数学。他们是如何的掌握了，这种数学？我们现在对于这些疑惑，感到非常的难以理解。非常的困惑。到底该用，什么样的呢……思想……去理解。”
　　何威大华道:“确实这些事情，真的太难了。你们可以，认真地分析这些质数。”
　　科学家曰:“我们发现这些技术都存在一种，非常大的五果树里面。”
　　何威大华道:“这到底是一种什么样的树？为什么会包含，各种各样的气息。”。
　　科学家曰:“确实我们要想理解这些，由小下大的叛逆速度……真的很难。”
　　何威大华道:“这到底是一种，什么样的速度？为什么会使，这种技术呢？难道它们……可以，超越光速。”